逆ガンマ分布

Two-parameter family of continuous probability distributions

逆ガンマ
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実寸大）スケール（実寸大） ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}$
平均	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}$のために ${\displaystyle \alpha >1}$
モード	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}$
分散	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}$のために ${\displaystyle \alpha >2}$
歪度	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}$のために ${\displaystyle \alpha >3}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}$のために ${\displaystyle \alpha >4}$
エントロピ	${\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}$ （ディガンマ関数を参照）
MGF	存在しません。
CF	${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$

確率論と統計学において、逆ガンマ分布は、正の実数直線上の2 つのパラメータを持つ連続確率分布の族であり、ガンマ分布に従って分布する変数の逆数の分布です。

おそらく逆ガンマ分布の主な用途はベイズ統計学であり、無情報事前分布が使用される場合は正規分布の未知の分散に対する周辺事後分布として分布が生じ、情報事前分布が必要な場合は解析的に扱いやすい共役事前分布として分布が生じる。^{[1]一部のベイズ主義者の間では、分散の逆数として定義される}精度によって正規分布の別のパラメータ化を検討するのが一般的であり、これによりガンマ分布を共役事前分布として直接使用できるようになる。他のベイズ主義者は、スケール逆カイ2乗分布として逆ガンマ分布を異なる方法でパラメータ化することを好む。

キャラクター設定

確率密度関数

逆ガンマ分布の確率密度関数は、サポート上で定義されます。 ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

形状パラメータ と 尺度パラメータを持つ。^[2] ここで はガンマ関数を表す。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

似たような指数項を含むガンマ分布とは異なり、密度関数が次を満たすため、 はスケールパラメータです。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

累積分布関数

累積分布関数は正規化されたガンマ関数である

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

ここで、分子は上側不完全ガンマ関数、分母はガンマ関数です。多くの数学パッケージでは、正規化ガンマ関数を直接計算できます。 ${\displaystyle Q}$

瞬間

とすると、逆ガンマ分布の - 次モーメントは^{[3]で与えられる。} ${\displaystyle \alpha >n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

特性関数

逆ガンマ分布の特性関数 は であり、は第 2 種の修正ベッセル関数です。 $${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$

プロパティ

およびについては、 ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

そして

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

情報エントロピーは

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

ここで、 はディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

逆ガンマ( α _q , β _q ) からの逆ガンマ( α _p , β _p )のカルバックライブラー発散は、ガンマ( α _q , β _q )からのガンマ( α _p , β _p )の KL 発散と同じです。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

ここで 、は逆ガンマ分布のpdf、は ガンマ分布のpdf、はGamma( αp _、 βp ₎分布に従います。 ${\displaystyle \rho ,\pi }$ ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

関連ディストリビューション

• ならば、​ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$ ${\displaystyle k>0}$
• もしそうなら（逆カイ二乗分布） ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• もしそうなら（尺度逆カイ二乗分布） ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• ならば（レヴィ分布） ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• もしそうなら（指数分布） ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• （速度パラメータ付きガンマ分布）の場合（詳細は次の段落の導出を参照） ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• （尺度パラメータ のガンマ分布）の場合、 ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• 逆ガンマ分布はタイプ5ピアソン分布の特殊なケースである。
• 逆ガンマ分布の多変量一般化は逆ウィシャート分布です。
• 独立逆ガンマ変数の和の分布についてはWitkovsky (2001)を参照。

ガンマ分布からの導出

とし、ガンマ分布のpdfは次の式で表される ことを思い出してください。 ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$、。 ${\displaystyle x>0}$

はガンマ分布の観点から見たレートパラメータであることに注意してください。 ${\displaystyle \beta }$

変換を定義する。すると、 の確率密度関数は ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}y^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

逆ガンマ分布の観点からは、 は尺度パラメータであることに注意してください。これは、が尺度パラメータとなるための条件を満たすことを見れば簡単に証明できます。 ${\displaystyle {\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(y/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {1}{y/\beta }}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}y^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{y}}\right)\\[6pt]&=f(y;\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

発生

• ウィーナー過程の到達時間分布はレヴィ分布に従う。これは逆ガンマ分布の特殊なケースであり、 となる。^[4] ${\displaystyle \alpha =0.5}$

参照

• ガンマ分布
• 逆カイ二乗分布
• 正規分布
• ピアソン分布

参考文献

1. ホフ、P. (2009). 「正規モデル」.ベイズ統計手法入門. シュプリンガー. pp.  67– 88. ISBN 978-0-387-92299-7。
2. 「InverseGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント」reference.wolfram.com . 2018年4月9日閲覧。
3. John D. Cook (2008年10月3日). 「InverseGammaDistribution」(PDF) . 2018年12月3日閲覧。
4. Ludkovski, Mike (2007). 「Math 526: Brownian Motion Notes」(PDF) . カリフォルニア大学サンタバーバラ校. pp.  5– 6. 2022年1月26日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2021年4月13日閲覧。

• Witkovsky, V. (2001). 「逆ガンマ変数の線形結合の分布の計算」. Kybernetika . 37 (1): 79– 90. MR  1825758. Zbl  1263.62022.

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