Curve traced by a string as it is unwrapped from another curve
放物線の2つのインボリュート（赤） 数学 において 、 インボリュート（ 展開 曲線とも呼ばれる）とは 、他の図形や曲線に依存する 特定の種類の 曲線 のことです。曲線のインボリュートとは、張られた弦が曲線からほどけたり、曲線に巻き付いたりするときの、弦上の点の 軌跡のことです。 [1]
インボリュートの縮閉線は元の曲線 です 。
これは ルーレット 曲線族によって一般化されます。つまり、曲線のインボリュートは直線によって生成される曲線のルーレットです。
曲線のインボリュートとエボリュートの概念は、 クリスティアーン・ホイヘンス が著書 『時計の振動と幾何学的性質の実証』（1673年）で導入した。この著書でホイヘンス は、サイクロイドのインボリュートもサイクロイドであることを示し、周期が振動の振幅に依存しないという有用な特性を持つサイクロイド振り子 の作り方を示した 。 [2]
パラメータ化された曲線のインボリュート を平面上の正則曲線と し 、 その 曲率は 0でなく 、のときは、パラメトリック表現を持つ曲線は c → ( t ) , t ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]} a ∈ ( t 1 , t 2 ) {\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}
C → a ( t ) = c → ( t ) − c → ′ ( t ) | c → ′ ( t ) | ∫ a t | c → ′ ( w ) | d w {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
与えられた曲線の インボリュート です。
証拠
弦は 曲線の 接線として作用する。弦の長さは、弦が巻き取られたりほどけたりする際に通過する 弧の長さ に等しい量だけ変化する 。区間 における曲線の弧の長さは 次のように与えられる
。 c → ( t ) {\displaystyle {\vec {c}}(t)} [ a , t ] {\displaystyle [a,t]} ∫ a t | c → ′ ( w ) | d w {\displaystyle \int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
ここで 、弧の長さを測る開始点です。接線ベクトルはここで張られた弦を表しているので、弦ベクトルは次のようになります。 a {\displaystyle a}
c → ′ ( t ) | c → ′ ( t ) | ∫ a t | c → ′ ( w ) | d w {\displaystyle {\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
弦の終点に対応するベクトル（ ）は ベクトルの加算 を使って簡単に計算でき 、 C → a ( t ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)}
C → a ( t ) = c → ( t ) − c → ′ ( t ) | c → ′ ( t ) | ∫ a t | c → ′ ( w ) | d w {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
積分に 任意の固定値を加えると、 糸を一定長さだけ伸ばした状態 （毛糸玉に、 ほどく 前に既にある程度の長さの糸が垂れている状態）に相当するインボリュートが得られます。したがって、インボリュートは定数 や積分に数値を加えることで変化させることができます（「半三次放物線のインボリュート」を参照）。 l 0 {\displaystyle l_{0}} ( ∫ a t | c → ′ ( w ) | d w ) {\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}} l 0 {\displaystyle l_{0}} a {\displaystyle a}
もし 誰かが c → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) T {\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}
X ( t ) = x ( t ) − x ′ ( t ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 ∫ a t x ′ ( w ) 2 + y ′ ( w ) 2 d w Y ( t ) = y ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 ∫ a t x ′ ( w ) 2 + y ′ ( w ) 2 d w . {\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}
インボリュートの特性 インボリュート：特性。図示されている角度は90度です。 正則曲線の性質を導くには、 弧長 を与えられた曲線のパラメータと仮定するのが有利である。これにより、 以下の簡略化が得られる。 および （ 曲 率 、 単位法線）である。インボリュート曲線については以下の式が得られる。 s {\displaystyle s} | c → ′ ( s ) | = 1 {\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;} c → ″ ( s ) = κ ( s ) n → ( s ) {\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;} κ {\displaystyle \kappa } n → {\displaystyle {\vec {n}}}
C → a ( s ) = c → ( s ) − c → ′ ( s ) ( s − a ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ } そして C → a ′ ( s ) = − c → ″ ( s ) ( s − a ) = − κ ( s ) n → ( s ) ( s − a ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;} そして声明:
点において インボリュートは 正則ではない （なぜなら ）。 C → a ( a ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)} | C → a ′ ( a ) | = 0 {\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0} そして、 次のようになります: C → a ′ ( s ) ⋅ c → ′ ( s ) = 0 {\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}
点 におけるインボリュートの法線は 、点 における指定された曲線の接線です 。 C → a ( s ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)} c → ( s ) {\displaystyle {\vec {c}}(s)} インボリュートは、 および における単位法線である という事実 により、 平行曲線 です。 C → a ( s ) = C → 0 ( s ) + a c → ′ ( s ) {\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)} c → ′ ( s ) {\displaystyle {\vec {c}}'(s)} C → 0 ( s ) {\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)} インボリュート曲線の族と元の曲線の接線の族は 直交座標系 を構成します。したがって、インボリュートを図形的に作図することができます。まず、接線の族を描きます。次に、点を通る接線に常に直交するようにインボリュートを作図します。
カスプ このセクションはホイヘンスとバローの研究に基づいています。 [3]
インボリュート曲線には、一般的に2種類のカスプがあります。1つ目は、インボリュート曲線が曲線自体に接する点に生じるカスプで、次数3/2のカスプです。2つ目は、曲線が変曲点を持つ点に生じるカスプで、次数5/2のカスプです。
これは、 で定義される 写像を構築することで視覚的に確認できます。 ここで は曲線の弧長媒介変数化、 は 点 における曲線の傾斜角です 。これは、2次元平面を3次元空間の曲面に変換します。例えば、これは円を 1枚の双曲面 に写像します。 f : R 2 → R 3 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}} ( s , t ) ↦ ( x ( s ) + t cos ( θ ) , y ( s ) + t sin ( θ ) , t ) {\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)} ( x ( s ) , y ( s ) ) {\displaystyle (x(s),y(s))} θ {\displaystyle \theta } ( x ( s ) , y ( s ) ) {\displaystyle (x(s),y(s))}
この写像により、インボリュートは 3 段階のプロセスで得られます。 まず を に写像し 、次に の曲面に写像し、最後に Z 軸を削除して に投影します。 ここで は任意の実定数です。 R {\displaystyle \mathbb {R} } R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} s ↦ ( s , l − s ) ↦ f ( s , l − s ) ↦ ( f ( s , l − s ) x , f ( s , l − s ) y ) {\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})} l {\displaystyle l}
マッピングはの 導関数がまったくゼロではないため 、インボリュートの尖点は の導関数が 垂直 (Z 軸に平行) な場合にのみ発生し、これは の曲面に 垂直接線平面がある場合にのみ発生します。 s ↦ f ( s , l − s ) {\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)} s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } s ↦ f ( s , l − s ) {\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
一般的に、サーフェスが垂直接線面を持つのは、サーフェスが曲線に接する場合と、曲線に変曲点がある場合の 2 つの場合のみです。
3/2の順序の尖点 最初のタイプでは、円のインボリュートから始めて、方程式 を 設定し 、小さい について展開して 、 次数 3/2 の曲線 、つまり 半三次放物線 を得ることができます。 X ( t ) = r ( cos t + ( t − a ) sin t ) Y ( t ) = r ( sin t − ( t − a ) cos t ) {\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}} a = 0 {\displaystyle a=0} t {\displaystyle t} X ( t ) = r + r t 2 / 2 + O ( t 4 ) Y ( t ) = r t 3 / 3 + O ( t 5 ) {\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}} Y 2 − 8 9 r ( X − r ) 3 + O ( Y 8 / 3 ) = 0 {\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}
5/2の順序の尖点 3次曲線の接線とインボリュート 。3/2次の尖点は3次曲線上にあり、5/2次の尖点はx軸（変曲点における接線）上にあります。 y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}} 2つ目のタイプとして、曲線 を考えてみましょう。 から へ の弧の 長さは で 、 における接線の 角度は です。したがって、 から の 距離 で始まるインボリュートは、 媒介変数の公式で 表されます。これを 次数 まで展開すると 、 次数 5/2 のカスプが得られます。明示的には、 を満たす多項式展開を解くことができます 。 または は、カスプの形状を明確に示します。 y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}} x = 0 {\displaystyle x=0} x = s {\displaystyle x=s} ∫ 0 s 1 + ( 3 t 2 ) 2 d t = s + 9 10 s 5 − 9 8 s 9 + O ( s 13 ) {\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})} x = s {\displaystyle x=s} θ = arctan ( 3 s 2 ) {\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})} x = 0 {\displaystyle x=0} L {\displaystyle L} { x ( s ) = s + ( L − s − 9 10 s 5 + ⋯ ) cos θ y ( s ) = s 3 + ( L − s − 9 10 s 5 + ⋯ ) sin θ {\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}} s 5 {\displaystyle s^{5}} { x ( s ) = L − 9 2 L s 4 + ( 9 2 L − 9 10 ) s 5 + O ( s 6 ) y ( s ) = 3 L s 2 − 2 s 3 + O ( s 6 ) {\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}} x , y {\displaystyle x,y} ( x − L + y 2 2 L ) 2 − ( 9 2 L + 51 10 ) 2 ( y 3 L ) 5 + O ( s 11 ) = 0 {\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0} x = L − y 2 2 L ± ( 9 2 L + 51 10 ) ( y 3 L ) 2.5 + O ( y 2.75 ) , y ≥ 0 {\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}
とおくと 、原点を通るインボリュートが得られます。これはカスプを含まないため特殊です。級数展開により、媒介変数方程式 または L = 0 {\displaystyle L=0} { x ( s ) = 18 5 s 5 − 126 5 s 9 + O ( s 13 ) y ( s ) = − 2 s 3 + 54 5 s 7 − 318 5 s 11 + O ( s 15 ) {\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}} x = − 18 5 ⋅ 2 1 / 3 y 5 / 3 + O ( y 3 ) {\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}
例
円のインボリュート 円のインボリュート パラメトリック表現 を持つ円の場合 、 が成り立ちます 。したがって 、 となり、経路長は となります 。 ( r cos ( t ) , r sin ( t ) ) {\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))} c → ′ ( t ) = ( − r sin t , r cos t ) {\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)} | c → ′ ( t ) | = r {\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r} r ( t − a ) {\displaystyle r(t-a)}
上記のインボリュートの方程式を評価すると、次の式が得られる。
X ( t ) = r ( cos ( t + a ) + t sin ( t + a ) ) Y ( t ) = r ( sin ( t + a ) − t cos ( t + a ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}} 円のインボリュートの 媒介変数方程式 について。
この 項はオプションで、円上の曲線の開始位置を指定するために使用されます。図は 、(緑)、 (赤)、 (紫)、 (水色)のインボリュートを示しています。インボリュートは アルキメデスの螺旋 のように見えますが、実際にはそうではありません。 a {\displaystyle a} a = − 0.5 {\displaystyle a=-0.5} a = 0 {\displaystyle a=0} a = 0.5 {\displaystyle a=0.5} a = 1 {\displaystyle a=1}
インボリュートの 弧の長さ は a = 0 {\displaystyle a=0} 0 ≤ t ≤ t 2 {\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}
L = r 2 t 2 2 . {\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.} 半三次放物線（青）のインボリュート。赤い曲線だけが放物線です。インボリュートと接線が直交座標系を構成していることに注目してください。これは一般的な事実です。
半三次放物線のインボリュート 媒介 変数方程式は 半三次放物線 を記述する 。から、 およびが 得られる 。文字列を拡張することで 計算がさらに簡略化され、以下の式が得られる。 c → ( t ) = ( t 3 3 , t 2 2 ) {\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})} c → ′ ( t ) = ( t 2 , t ) {\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)} | c → ′ ( t ) | = t t 2 + 1 {\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}} ∫ 0 t w w 2 + 1 d w = 1 3 t 2 + 1 3 − 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}} l 0 = 1 3 {\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}
X ( t ) = − t 3 Y ( t ) = t 2 6 − 1 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}} t を 消去すると 、このインボリュートが 放物線である ことが示されます。 Y = 3 2 X 2 − 1 3 , {\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}
したがって、その他のインボリュートは 放物線の 平行曲線であり、6 次曲線であるため放物線ではありません ( 平行曲線 § その他の例を 参照)。
カテナリー線 (青) の赤いインボリュートはトラクトリクスです。
カテナリーのインボリュート カテナリー線 の場合 、接線ベクトルは 、 長さは であるので、 となる 。したがって、点 (0, 1) からの弧の長さは ( t , cosh t ) {\displaystyle (t,\cosh t)} c → ′ ( t ) = ( 1 , sinh t ) {\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)} 1 + sinh 2 t = cosh 2 t , {\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,} | c → ′ ( t ) | = cosh t {\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t} ∫ 0 t cosh w d w = sinh t . {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}
したがって、 (0, 1) から始まるインボリュートは 次のようにパラメータ化される。
( t − tanh t , 1 / cosh t ) , {\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),} したがって、それは tractrix です。
その他のインボリュートはトラクトリクスの平行曲線であるため、トラクトリクスではありません。
サイクロイドのインボリュート サイクロイドのインボリュート（青）：赤い曲線だけが別のサイクロイドです 媒介変数表現は サイクロイド を表す 。 から （いくつかの三角関数の公式を用いた後） c → ( t ) = ( t − sin t , 1 − cos t ) {\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)} c → ′ ( t ) = ( 1 − cos t , sin t ) {\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}
| c → ′ ( t ) | = 2 sin t 2 , {\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},} そして
∫ π t 2 sin w 2 d w = − 4 cos t 2 . {\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.} したがって、対応するインボリュートの方程式は
X ( t ) = t + sin t , {\displaystyle X(t)=t+\sin t,} Y ( t ) = 3 + cos t , {\displaystyle Y(t)=3+\cos t,} これは図のシフトした赤いサイクロイドを表しています。したがって
サイクロイドのインボリュートは サイクロイドの平行曲線である ( t − sin t , 1 − cos t ) {\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)} ( t + sin t , 3 + cos t ) . {\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).} (サイクロイドの平行曲線はサイクロイドではありません。)
縮退と縮退 与えられた曲線の 縮閉線は 、 曲線の曲率中心から構成される 。縮閉線と縮閉線の間では、次の命題が成り立つ： [4] [5] c 0 {\displaystyle c_{0}} c 0 {\displaystyle c_{0}}
曲線は、そのいずれかの閉曲線の閉曲線です。
応用 現代の歯車の 歯の最も一般的な形状は 、円のインボリュートです。 インボリュート歯車 機構では、噛み合う2つの歯車の歯は、単一の作用線に沿って瞬間的に1点で接触します。接触する歯が互いに及ぼす力もこの作用線に沿っており、歯に垂直です。これらの条件を維持するインボリュート歯車機構は、歯車機構の基本法則、すなわち2つの歯車間の角速度比が常に一定でなければならないという法則に従います。
他の形状の歯では、歯が連続して噛み合うにつれて相対速度と力が増減し、振動、騒音、過度の摩耗が発生します。このため、現代の平面歯車システムのほとんどは、インボリュート歯車またはそれに近い サイクロイド歯車 システムのいずれかです。 [6]
スクロールコンプレッサーの仕組み 円のインボリュートは ガス圧縮 において重要な形状であり、この形状に基づいて スクロールコンプレッサーを設計することができます。スクロールコンプレッサーは従来のコンプレッサーよりも騒音が少なく、非常に 効率的で あることが証明されています 。
高 中性子束同位体原子炉で は、インボリュート形状の燃料要素を使用します。これにより、燃料要素間に一定幅の冷却材用チャネルを確保できます。
参照
参考文献 ^ Rutter, JW (2000). 曲線の幾何学. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667 。 ^ McCleary, John (2013). 微分可能な視点からの幾何学 . Cambridge University Press. pp. 89. ISBN 9780521116077 。 ^ Arnold, VI (1990). ホイヘンス、バロー、ニュートン、フック：進化論から準結晶までの数学的解析とカタストロフィー理論の先駆者たち . バーゼル：ビルクハウザー出版社. ISBN 0-8176-2383-3 . OCLC 21873606。 ^ K. Burg、H. Haf、F. Wille、A. Meister: Vektoranalogy: Höhere Mathematik für Ingenieure、Naturwissenschaftler und ... 、Springer-Verlag、2012、 ISBN 3834883468 、S.30。 ^ R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung、1. Band 、Springer-Verlag、1955、S. 267. ^ VGA Goss (2013)「歯車の歯の形状への解析幾何学の応用」、 Resonance 18(9):817～31 Springerlink（購読が必要）。
外部リンク
![{\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b014b9d8601fa970d2eaa1f8132f2f34ec432233)
![{\displaystyle [a,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7e4d6424116f83d1d8eadea305b1ccc9c8744e)
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