等エントロピー過程

Thermodynamic process that is reversible and adiabatic

等エントロピー過程は、断熱かつ可逆的な理想的な 熱力学過程である。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [引用過剰]} 熱力学において、断熱過程は可逆的である。クラウジウス（1875）^[7]は、「等エントロピー」をランキンの「断熱」という言葉と同じ意味として採用した。システムの仕事の伝達には摩擦がなく、熱または物質の正味の移動はない。このような理想化された過程は、工学において現実の過程のモデルや比較の基準として有用である。^{[8]この過程が理想化されているのは、可逆過程が現実には起こらないからである。ある過程を断熱かつ可逆的であると考えると、初期エントロピーと最終}エントロピーが同じであることが示され、これが等エントロピー（エントロピーが変化しない）と呼ばれる理由である。熱力学過程は、系に与える影響に基づいて命名されます（例：等容／等容積：定容、等エンタルピー：定エンタルピー）。実際には必ずしも等エントロピー過程を遂行できるとは限りませんが、いくつかの過程は等エントロピー過程として近似できます。

「等エントロピー」という言葉は、システムのエントロピーが変化しないプロセスであり、さらに断熱的かつ可逆的なプロセスであることに由来しています。

背景

熱力学の第二法則は^{[9] [10} ] 、

${\displaystyle T_{\text{surr}}dS\geq \delta Q,}$

ここで、 は加熱によってシステムが得るエネルギー量、は周囲の温度、 はエントロピーの変化です。等号は可逆過程を指し、これは想像上の理想的な理論的限界であり、物理的現実では決して起こらず、システムと周囲の温度が本質的に等しい状態です。^{[11] [12]等エントロピー過程の場合、可逆的であれば、過程は}断熱的であるため、熱としてのエネルギーの移動はありません; δQ = 0。対照的に、過程が不可逆的であれば、システム内にエントロピーが生成されます。したがって、システム内のエントロピーを一定に保つためには、同時にシステムからエネルギーを熱として除去する必要があります。 ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle T_{\text{surr}}}$ ${\displaystyle dS}$

可逆過程の場合、等エントロピー変換は、系を周囲から熱的に「遮断」することによって行われます。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であるため、共役過程は等温過程となり、系は一定温度の熱浴に熱的に「接続」されます。

熱力学系における等エントロピー過程

等エントロピー過程のT-s（エントロピー対温度）図。これは垂直線分である。

与えられた質量のエントロピーは、内部的に可逆かつ断熱的な過程においては変化しない。エントロピーが一定に保たれる過程は等エントロピー過程と呼ばれ、等エントロピー過程と表記される。^[13]理論的に等エントロピーな熱力学装置の例としては、ポンプ、ガス圧縮機、タービン、ノズル、ディフューザーなどが挙げられる。 ${\displaystyle \Delta s=0}$ ${\displaystyle s_{1}=s_{2}}$

熱力学システムにおける定常流装置の等エントロピー効率

ほとんどの定常流装置は断熱条件下で動作し、これらの装置にとって理想的なプロセスは等エントロピー過程です。装置が対応する等エントロピー装置にどれだけ効率的に近似しているかを表すパラメータは、等エントロピー効率または断熱効率と呼ばれます。^[13]

タービンの等エントロピー効率:

${\displaystyle \eta _{\text{t}}={\frac {\text{actual turbine work}}{\text{isentropic turbine work}}}={\frac {W_{a}}{W_{s}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}$

圧縮機の等エントロピー効率：

${\displaystyle \eta _{\text{c}}={\frac {\text{isentropic compressor work}}{\text{actual compressor work}}}={\frac {W_{s}}{W_{a}}}\cong {\frac {h_{2s}-h_{1}}{h_{2a}-h_{1}}}.}$

ノズルの等エントロピー効率:

${\displaystyle \eta _{\text{n}}={\frac {\text{actual KE at nozzle exit}}{\text{isentropic KE at nozzle exit}}}={\frac {V_{2a}^{2}}{V_{2s}^{2}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}$

上記のすべての方程式について:

${\displaystyle h_{1}}$入口状態における比エンタルピーである。

${\displaystyle h_{2a}}$実際のプロセスの出口状態における比エンタルピーであり、

${\displaystyle h_{2s}}$等エントロピー過程の出口状態における比エンタルピーです。

熱力学サイクルにおける等エントロピー装置

サイクル	等エントロピーステップ	説明
理想的なランキンサイクル	1→2	ポンプにおける等エントロピー圧縮
理想的なランキンサイクル	3→4	タービンにおける等エントロピー膨張
理想的なカルノーサイクル	2→3	等エントロピー膨張
理想的なカルノーサイクル	4→1	等エントロピー圧縮
理想的なオットーサイクル	1→2	等エントロピー圧縮
理想的なオットーサイクル	3→4	等エントロピー膨張
理想的なディーゼルサイクル	1→2	等エントロピー圧縮
理想的なディーゼルサイクル	3→4	等エントロピー膨張
理想的なブレイトンサイクル	1→2	圧縮機における等エントロピー圧縮
理想的なブレイトンサイクル	3→4	タービンにおける等エントロピー膨張
理想的な蒸気圧縮冷凍サイクル	1→2	圧縮機における等エントロピー圧縮
理想的なレノアサイクル	2→3	等エントロピー膨張
理想的なザイリガーサイクル	1→2	等エントロピー圧縮
理想的なザイリガーサイクル	4→5	等エントロピー圧縮

注：等エントロピー仮定は理想的なサイクルにのみ適用されます。実際のサイクルでは、圧縮機とタービンの非効率性、そして熱力学第二法則により、固有の損失が生じます。実際のシステムは完全に等エントロピーではありませんが、等エントロピー挙動は多くの計算目的において適切な近似値となります。

等エントロピー流

流体力学において、等エントロピー流とは、断熱かつ可逆的な流れのことです。つまり、流れに熱が加わらず、摩擦や散逸効果によるエネルギー変換も起こりません。完全気体の等エントロピー流の場合、流線に沿った圧力、密度、温度を定義するためのいくつかの関係式を導くことができます。

熱交換として起こらない限り、等エントロピー変換によってエネルギーが流れと交換される可能性があることに注意してください。このような交換の例としては、流れに対して、または流れによって行われる仕事を伴う等エントロピー膨張または圧縮が挙げられます。

等エントロピー流の場合、エントロピー密度は流線ごとに異なります。エントロピー密度が流線全体で同じであれば、その流れは等エントロピー流と呼ばれます。

等エントロピー関係の導出

閉鎖系の場合、系のエネルギーの総変化は、行われた仕事と加えられた熱の合計です。

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q.}$

体積を変化させることによってシステムに対して行われる可逆的な仕事は

${\displaystyle \delta W=-p\,dV,}$

ここでは圧力、 は体積である。エンタルピーの変化（）は次のように与えられる。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H=U+pV}$

${\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp.}$

すると、可逆かつ断熱過程（つまり熱伝達が起こらない過程）の場合、 となり、したがって、すべての可逆断熱過程は等エントロピー過程である。このことから、2つの重要な観察結果が得られる。 ${\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}$ ${\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}$

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0,}$

${\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp.}$

次に、理想気体の等エントロピー過程については多くのことが計算できる。理想気体のいかなる変化においても、常に次の式が成り立つ。

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}$、 そして ${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT.}$

およびについて上で導出した一般的な結果を用いると、 ${\displaystyle dU}$ ${\displaystyle dH}$

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV,}$

${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp.}$

したがって、理想気体の場合、熱容量比は次のように表される。

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}.}$

熱量的に完全である気体の場合、定数となる。したがって、熱量的に完全である気体を仮定して、上記の式を積分すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}},}$

つまり、

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }.}$

理想気体の状態方程式を用いると、 ${\displaystyle pV=nRT}$

${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.}$

(証明:しかし、nR = 定数そのものなので、。) ${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}.}$ ${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\text{constant}}}$

また、定数（モルあたり）の場合、 ${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$

${\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}$そして ${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

したがって、理想気体の場合の等エントロピー過程においては、

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}$または ${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}$

理想気体の等エントロピー関係表

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{1}}{P_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$

由来

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}$

${\displaystyle PV=mR_{s}T,}$

${\displaystyle P=\rho R_{s}T,}$

どこ：

${\displaystyle P}$= 圧力、

${\displaystyle V}$= ボリューム、

${\displaystyle \gamma }$= 比熱比 = 、 ${\displaystyle C_{p}/C_{v}}$

${\displaystyle T}$= 温度、

${\displaystyle m}$= 質量、

${\displaystyle R_{s}}$= 特定のガスの気体定数 = 、 ${\displaystyle R/M}$

${\displaystyle R}$= 普遍気体定数、

${\displaystyle M}$= 特定のガスの分子量、

${\displaystyle \rho }$= 密度、

${\displaystyle C_{p}}$= 定圧モル比熱、

${\displaystyle C_{v}}$= 定積モル比熱。

参照

• 気体の法則
• 断熱過程
• 等エンタルピー過程
• 等エントロピー分析
• ポリトロープ過程

注記

1. Partington, JR (1949), 『物理化学の先端的論文集』第1巻、基本原理、気体の性質、ロンドン：Longmans, Green and Co.、122ページ。
2. Kestin, J. (1966).『熱力学講座』Blaisdell Publishing Company, Waltham MA, p. 196.
3. Münster, A. (1970).古典熱力学, ES Halberstadt訳, Wiley–Interscience, London, ISBN 0-471-62430-6、13ページ。
4. Haase, R. (1971).『熱力学』第1章「基本法則の概説」、W. Jost編『物理化学の高度な論文集』第1巻1～97ページ、H. Eyring、D. Henderson、W. Jost編、Academic Press、ニューヨーク、lcn 73–117081、p. 71.
5. Borgnakke, C.、Sonntag.、RE (2009)。 Fundamentals of Thermodynamics、第 7 版、Wiley、 ISBN 978-0-470-04192-5、310ページ。
6. Massey, BS (1970),『流体力学』第12.2節（第2版）Van Nostrand Reinhold Company, London. Library of Congress Catalog Card Number: 67-25005, p. 19.
7. クラウジウス. 「熱の機械的理論」(PDF) . 2025年8月20日閲覧。
8. Çengel, YA, Boles, MA (2015).熱力学：工学的アプローチ, 第8版, McGraw-Hill, ニューヨーク, ISBN 978-0-07-339817-4、340ページ。
9. モーティマー、RG物理化学、第3版、p.120、アカデミックプレス、2008年。
10. Fermi, E. Thermodynamics、p. 48の脚注、Dover Publications、1956年（現在も印刷中）。
11. グッゲンハイム, EA (1985).熱力学. 化学者と物理学者のための上級入門書, 第7版, 北ホラント州, アムステルダム, ISBN 0444869514、12ページ：「自然過程と非自然過程の極限例として、可逆過程があります。これは、一連の連続した平衡状態をどちらの方向にも通過する過程です。可逆過程は実際には起こりません…」
12. Kestin, J. (1966).『熱力学講座』 Blaisdell Publishing Company, Waltham MA, p. 127：「しかし、想像力を働かせると、圧縮や膨張といったプロセスは、必要に応じて『無限にゆっくりと』[,]、あるいは時に準静的に実行される可能性があると認められていた。 」p. 130：「すべての自然プロセスは不可逆的であり、可逆プロセスは都合の良い理想化に過ぎないことは明らかである。」
13. Cengel, Yunus A., Michaeul A. Boles. 熱力学：工学的アプローチ. 第7版. ニューヨーク：Mcgraw-Hill, 2012年. 印刷.

参考文献

• Van Wylen, G. J. and Sonntag, R. E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics , John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Catalog Card Number: 65-19470

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Isentropic_process&oldid=1318369377"