等光線

幾何学において、等輝度線とは、照明面上の等輝度点を結ぶ曲線のことです。照明は平行光で行われ、輝度 $b$ は次のスカラー積で測定されると仮定します。

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi

ここで、 ⁠ ⁠は点 ${\vec {n}}(P)$ $P$ における表面の単位法線ベクトル、⁠ ⁠ は光の方向の単位ベクトルです。b ( P $)$ $=$ $0$ $、$ つまり光が表面法線に垂直な場合、点 $P$ は方向⁠ ⁠で観測される表面シルエットの点です。明るさ1は、光ベクトルが表面に垂直であることを意味します。平面には等輝度線はありません。なぜなら、すべての点の明るさが同じだからです。 ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}.}$

天文学において、等輝度線とは、写真上で等しい明るさの点を結んだ曲線のことである。 ^[1]

応用と例

コンピュータ支援設計において、等光線は表面の接続の滑らかさを光学的に検証するために使用されます。十分に微分可能な表面（暗示的またはパラメトリック）の場合、法線ベクトルは1次導関数に依存します。したがって、等光線の微分可能性とその幾何学的連続性は、表面のそれよりも1小さくなります。表面点において接線のみが連続している場合（つまりG1連続である場合）、等光線はそこで折れ曲がります（つまりG0連続のみである場合）。

次の例（図参照）では、交差する2つのベジェ曲面が3つ目の曲面パッチによってブレンドされています。左の図では、ブレンド面はベジェ曲面とG1接触のみを持ち、右の図ではG2接触を持ちます。この違いは図からは分かりませんが、等光線の幾何学的連続性は明らかです。左側はキンク（つまりG0連続性）を持ち、右側は滑らか（つまりG1連続性）です。

2つのベジェ曲面とG1連続（左）およびG2連続（右）のブレンド曲面上の等光線：左の等光線は折れ曲がっており、右の等光線は滑らかである。

等光線の点の決定

暗黙の表面上

方程式を持つ暗黙曲面の場合、等光線条件は次式で表されます。つまり、与えられたパラメータ $cを持つ等光線上の点は、2つの暗黙曲面の$ 交差曲線とみなせる非線形系の解です。Bajajらのトレースアルゴリズム（参考文献参照）を用いると、点の多角形を計算できます。 $f(x,y,z)=0,$ ${\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .$ ${\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}$

パラメトリック面上

パラメトリック面の場合、等光線条件は ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

${\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .$

これは次の式と等価です。この式は st 平面の暗黙曲線を表します。この曲線は適切なアルゴリズム (暗黙曲線を参照) でトレースでき、によって表面点に変換できます。 $\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$ ${\vec {S}}(s,t)$

参照

等高線

参考文献

J. Hoschek、D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung、Teubner-Verlag、シュトゥットガルト、1989、ISBN 3-519-02962-6、31ページ。
Z. Sun、S. Shan、H. Sang他著：生体認証、Springer、2014年、ISBN 978-3-319-12483-4、158ページ。
CL Bajaj、CM Hoffmann、RE Lynch、JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections、(1988) Comp. Aided Geom. Design 5、pp. 285–307。
CT Leondes:コンピュータ支援および統合製造システム: 最適化手法、第3巻、World Scientific、2003年、ISBN 981-238-981-4、209ページ。

^ J. Binney、M. Merrifield：銀河天文学、プリンストン大学出版局、1998年、 ISBN 0-691-00402-1、178ページ。

外部リンク

パトリカラキス前川町：等光線図（英語）
A. ディアッタ、P. ギブリン：等光線曲線の幾何学
ジン・キム：回転面と運河面の等光線の計算

[1] J. Binney、M. Merrifield：銀河天文学、プリンストン大学出版局、1998年、 ISBN 0-691-00402-1、178ページ。