等軸図

多面体または1種類の辺を持つタイリング

幾何学において、多面体（例えば、多角形や多面体）やタイリングは、その対称性が辺に対して推移的に作用する場合、等軸（ギリシャ語の τόξον 「円弧」に由来）または辺推移的である。非公式には、これはオブジェクトに1種類の辺しか存在しないことを意味する。つまり、2つの辺が与えられた場合、平行移動、回転、または反射によって、オブジェクトが占める領域を変更せずに、一方の辺をもう一方の辺に移動する。  

等軸多角形

等倍多角形は、辺が偶数、つまり正多角形ですが、すべての正多角形が等倍多角形であるとは限りません。等倍多角形の双対は等角多角形です。等倍多角形は中心対称であるため、等角多角形でもあります。 ${\displaystyle 4n}$

一般に、（非正則）等角形 -角形は二面対称性を持ちます。例えば、（正方形でない）菱形は対称性を持つ等角形の「× -角形」（四角形）です。すべての正角形（奇数角形も含む）は等角形であり、最小対称位数の2倍を持ちます。つまり、正角形- 角形は二面対称性を持ちます。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

外側の内角を持つ等角多角形は、 で表すことができます。内側の内角は、それぞれ凸多角形または凹多角形よりも小さくなったり大きくなったりすることがあります。 ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

星型角形は ${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$等角形とも呼ばれ、と最大公約数で表され、は回転数または密度である。^[1]凹状の内頂点は で定義され、であれば は回転したコピーの合成物に「縮小」される。 ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q<n/2.}$ ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

注意：

の頂点は必ずしも の頂点のようには配置されないが、正則 の頂点は正則 の頂点のように配置される。 ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle \{n/q\}}$ ${\displaystyle \{n\}.}$

一連の「均一な」タイリング、つまり、等角多角形を通常の面よりも対称性の低い面として使用する等角タイリングを定義できます。

非正多角形および複合多角形の例

辺の数: ${\displaystyle 2n}$	2×2 （中心対称）	2×3	2×4 （センター対称）	2×5	2×6 （センター対称）	2×7	2×8 （センター対称）
${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$ 凸面：凹面： ${\displaystyle \beta <180^{\circ }.}$ ${\displaystyle \beta >180^{\circ }.}$	${\displaystyle \{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{3_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{4_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{5_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{6_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{7_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{8_{\alpha }\}}$
2ターン ${\displaystyle \{(n/2)_{\alpha }\}}$	--	${\displaystyle \{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(5/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{3_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{4_{\alpha }\}}$
3ターン ${\displaystyle \{(n/3)_{\alpha }\}}$	--	--	${\displaystyle \{(4/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(5/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 3\{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/3)_{\alpha }\}}$
4ターン ${\displaystyle \{(n/4)_{\alpha }\}}$	--	--	--	${\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 4\{2_{\alpha }\}}$
5ターン ${\displaystyle \{(n/5)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	${\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }\}}$
6ターン ${\displaystyle \{(n/6)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }\}}$
7ターン ${\displaystyle \{(n/7)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(8/7)_{\alpha }\}}$

等軸多面体とタイル張り

正多面体は、等面体（面推移的）、等角体（頂点推移的）、等軸体（辺推移的）です。

準正多面体（例えば、立方八面体や二十十二面体）は、等角形かつ等軸多面体であるが、等面体ではない。それらの双対多面体（例えば、菱形十二面体や菱形三十面体）は、等角形かつ等軸多面体であるが、等角形ではない。

例

準正 多面体	準正双対 多面体	準正 星型多面体	準正双 星多面体	準規則的な タイリング	準規則的な二重 タイリング
立方八面体は等角形かつ等等値の多面体です	菱形十二面体は等面体であり、等軸多面体である。	大二十面体（ぎょうにいどででくたい）は、等角で等軸の星型多面体である。	大菱形三十面体は等面体で等軸星型多面体である。	三六角形のタイル張りは等角形と等軸タイル張りである	菱形タイリングは、p6m (*632) 対称性を持つ等面体および等軸タイリングです。

正多角形から構成される多面体や2次元のモザイク構造は、必ずしも等軸幾何学的ではありません。例えば、切頂二十面体（おなじみのサッカーボール）は等軸幾何学的ではありません。切頂二十面体には六角形-六角形と六角形-五角形の2種類の辺があり、立体の対称性によって六角形-六角形の辺を六角形-五角形の辺に移動させることはできません。

等角多面体は、すべての辺の二面角が同じです。

凸多面体の双対もまた凸多面体である。^[2]

非凸多面体の双対もまた非凸多面体である。^[2]（対置により）

等軸多面体の双対もまた等軸多面体です。（双対多面体の記事を参照してください。）

凸等曲多面体は9 個あります。5 つの (正)プラトン立体、2 つの (準正) 双対プラトン立体の共通核、およびそれらの 2 つの双対です。

非凸等軸多面体は 14 個あります。4 つの (正多面体)ケプラー・ポアンソ多面体、2 つの (準正多面体) 双対ケプラー・ポアンソ多面体の共通核とそれらの 2 つの双対、さらに 3 つの準正多角形 (3 | pq ) 星型多面体とそれらの 3 つの双対です。

少なくとも 5 つの同軸多面体化合物、すなわち 5 つの正多面体化合物があり、それらの 5 つの双対もまた 5 つの正多面体化合物 (または 1 つのキラル双対) です。

ユークリッド平面には少なくとも 5 つの等倍多角形タイリングがあり、双曲面には、正規双曲タイリング{ p、q } からの Wythoff 構成や非右 ( pqr ) グループなど、無数の等倍多角形タイリングがあります。

参照

• 多面体の二面角表
• 頂点推移
• 顔推移
• 細胞推移性

参考文献

1. タイリングとパターン、Branko Gruenbaum、GC Shephard、1987年、2.5「スターポリゴンを使用したタイリング」、pp. 82–85。
2. "duality". maths.ac-noumea.nc . 2020年9月30日閲覧。

• ピーター・R・クロムウェル『多面体』ケンブリッジ大学出版局、1997年、ISBN 0-521-55432-2推移性、371ページ
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC (1987). 『タイルとパターン』 ニューヨーク: WHフリーマン. ISBN 0-7167-1193-1。（6.4 イソトキサルタイル、309～321ページ）
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド；ロンゲット＝ヒギンズ、MS；ミラー、JCP (1954)、「均一多面体」、ロンドン王立協会哲学論文集、シリーズA、数学・物理科学、246 (916): 401– 450、Bibcode :1954RSPTA.246..401C、doi :10.1098/rsta.1954.0003、ISSN  0080-4614、JSTOR  91532、MR  0062446、S2CID  202575183

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