j不変

数学において、フェリックス・クラインの $j$ 不変量または $j$ 関数は、複素数の上半平面上に定義される特殊線型群の重み0のモジュラー関数である。これは、尖点における単極から離れて正則となる唯一の関数であり、 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$

$j{\big (}e^{2\pi i/3}{\big )}=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.$

の有理関数はモジュラーであり、実際に重み 0 のすべてのモジュラー関数を与えます。古典的には、不変量は上の楕円曲線のパラメーター化として研究されましたが、モンスター群の対称性との驚くべきつながりも持っています(このつながりは、 monstrous moonshineと呼ばれます)。 $j$ $j$ $\mathbb {C}$

意味

$j$ 不変量は上半平面上の関数として定義することができ、 ${\mathcal {H}}=\{\tau \in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (\tau )>0\}$

$j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}$

3番目の定義は、1728年以降、立方体として表すことができることを意味しています。この関数は、実数直線上の自然境界のため、上半平面を超えて解析的に継続することはできません。 $j(\tau )$ ${}=12^{3}$

与えられた関数はモジュラー判別式、デデキントイータ関数、モジュラー不変量である。 $\Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )$ $\eta (\tau )$

$g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}$ $g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}$

ここで、はフーリエ級数、 $G_{4}(\tau )$ $G_{6}(\tau )$

${\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}$

およびはアイゼンシュタイン級数であり、 $E_{4}(\tau )$ $E_{6}(\tau )$

${\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}$

および（ノームの2乗）である。j $不変$ 量はアイゼンシュタイン級数を用いて直接次のように表すことができる。 $q=e^{2\pi i\tau }$

$j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}$

1728以外の数値因数を持たない。これはモジュラー判別式を定義する3番目の方法を意味する。^[1]

$\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}$

例えば、上記の定義とを用いると、デデキントのイータ関数は正確にはという値を持ちます。 $\tau =2i$ $\eta (2i)$

$\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}$

超越数を暗示し、

$g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}$

しかし代数的数（実際には整数）を生じ、

$j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.$

$一般に、これは各τ$ を楕円曲線の同型類として捉えることで説明できる。C上の $すべて$ $の楕円曲線E$ は複素トーラスであるため、階数2の格子、すなわち $C$ $の2次元格子と同一視できる。この格子は回転および拡大縮小（同型類を保存する操作）が可能であり、 1$ および $τ$ $\in$ $H$ によって生成される。この格子は楕円曲線に対応する（ワイエルシュトラスの楕円関数を参照）。 $y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )$

モジュラー判別式が非ゼロであるため、 $H$ のあらゆる場所で $j$ が定義されていることに注意してください。これは、対応する 3 次多項式が異なる根を持つためです。

基本領域

$Δは重み12の$ モジュラー形式であり、 $g 2$ は重み4のモジュラー形式であるため、その3乗も重み12であることが示される。したがって、それらの商、ひいては $j$ は重み0のモジュラー関数、特に $SL(2,$ $Z$ $)$ の作用下で $H \to C$ $不変な正則関数となる。その中心{ \pmI }$ で割るとモジュラー群が得られ、これは射影特殊線型群 $PSL(2,$ $Z$ $)$ と同一視できる。

このグループに属する変換を適切に選択することにより、

$\tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,$

$τ を$ $j$ と同じ値を与え、 $j$ の基本領域にある値に減らすことができ、これは $τ が$ 以下の条件を満たす値から構成される。

${\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}$

関数 $j (τ)はこの領域に制限された場合でも、$ 複素数 $C$ のあらゆる値をちょうど一度だけ取ります。言い換えれば、 $C$ のあらゆる $cに対して、$ $c$ $=$ $j$ $($ $τ$ $)$ を満たす τ が基本領域に唯一存在します。したがって、 $j は$ 基本領域を複素平面全体に写像する性質を持っています。

さらに、2つの値 $τ,τ' \in H が$ 同じ楕円曲線を生成する場合、ある $T \in PSL(2,$ $Z$ $)に対して$ $τ = T(τ')$ が成立する。これは、 $j が$ $C$ 上の楕円曲線の集合から複素平面への全単射を与えることを意味する。^[2]

リーマン面として、基本領域は種数 $0$ であり、すべての（レベル1の）モジュラー関数は $j$ の有理関数である。また逆に、 $j$ のすべての有理関数はモジュラー関数である。言い換えれば、モジュラー関数の体は $C$ $($ $j$ $)$ である。

類体理論と $j$

$j$ 不変量には多くの注目すべき特性があります。

$τ が$ 上半平面上の任意の点であり、その対応する楕円曲線が複素乗法を持つ場合（つまり、 $τ が正の虚部を持つ虚数$ 二次体の任意の元であり、 $j$ が定義されている場合）、 $j (τ)は$ 代数的整数である。^{[3]これらの特別な値は}特異モジュライと呼ばれる。
体拡大 $Q [j (τ), τ]/ Q (τ)$ はアーベル体である、つまりアーベルガロア群を持つ。
$Λ を$ ${1,$ $τ$ }によって生成される $C$ の格子とします $。$ 乗法の下で $Λ を$ 固定する $Q$ $($ $τ$ $)$ のすべての元が、単位を持つ環、つまり位数を形成することは容易にわかります。同様に同じ位数に関連付けられた、生成元が ${1,$ $τ$ $'$ $}である他の格子は、$ $Q$ $($ $τ$ $)$ 上の $j$ $($ $τ$ $)$ の代数共役 $j$ $($ $τ$ $'$ $)を定義します。包含によって順序付けされた$ $Q$ $($ $τ$ $)$ の唯一の最大位数は $Q$ $($ $τ$ $)$ の代数的整数の環であり、この位数を関連付けられた位数とする $τ$ の値は、 $Q$ $($ $τ$ $)$ の非分岐拡大につながります。

これらの古典的な結果は、複素乗算の理論の出発点となります。

超越特性

1937年、テオドール・シュナイダーは、 $τ が$ 上半平面における二次無理数であるとき、 $j (τ)$ は代数的整数であるという前述の結果を証明した。さらに彼は、 $τが$ 代数的数であるが虚数二次数ではないとき、 $j (τ)$ は超越数であることを証明した。

$j$ 関数には他にも多くの超越的性質があります。クルト・マーラーは、しばしばマーラー予想と呼ばれる超越的な結果を予想しましたが、これは1990年代にユウ・V・ネステレンコとパトリス・フィリポンによって証明されました。マーラー予想（現在証明済み）は、 $τが$ 上半平面にある場合、 $e 2π iτ$ と $j (τ)$ が同時に代数的になることはないというものです。現在ではより強い結果が知られており、例えば $e 2π iτ$ が代数的である場合、以下の3つの数は代数的に独立であり、したがって少なくとも2つは超越的になります。

$j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}$

その $q$ -拡張と密造酒

$j$ の注目すべき特性のいくつかは、 $q$ 展開（フーリエ級数展開）と関係があります。これは、 $q$ $=$ $e$ $2π$ $iτ$ で表されるローラン級数として表され、次のように始まります。

$j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots$

$j は$ カスプに単純な極を持つため、その $q展開には$ $q -1$ より下の項がないことに注意してください。

すべてのフーリエ係数は整数であり、その結果、ラマヌジャン定数などいくつかの定数はほぼ整数になります。

$e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744.$

$q$ $n$ の係数の漸近式は次のように与えられる。

${\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}},$

これはハーディ・リトルウッド円法によって証明できる。^[4]^[5]

密造酒

$さらに注目すべきは、 q$ の正の指数のフーリエ係数は、ムーンシャイン加群 と呼ばれるモンスター群の無限次元次数代数表現の次数部分の次元であることです。具体的には、 $q$ $n$ の係数はムーンシャイン加群の $n$ 次部分の次元であり、最初の例は196,884次元のグリース代数で、これは $196884$ $q$ という項に対応します。ジョン・マッケイによって初めて発見されたこの驚くべき観察は、ムーンシャイン理論の出発点となりました。

ムーンシャイン予想の研究は、ジョン・ホートン・コンウェイとサイモン・P・ノートンを種数ゼロのモジュラー関数へと導いた。もし、それらが以下の形に正規化されるとするならば、

$q^{-1}+{O}(q)$

その後、ジョン・G・トンプソンはそのような関数（ある有限レベルの関数）は有限個しか存在しないことを示し、クリス・J・カミンズは後にそのような関数が正確に6486個存在し、そのうち616個が整数係数を持つことを示した。^[6]

代替表現

我々は持っています

$j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$

ここで $x = λ (1 - λ)$ であり、 $λは$ モジュラーラムダ関数である。

$\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )$

ヤコビシータ関数の比 $θ m で$ あり、楕円係数 $k (τ)$ の2乗である。^[7] $λを$ クロス比の6つの値のいずれかに置き換えても $j$ の値は変化しない。[ ^8]

$\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace$

$j$ の分岐点は ${0, 1, \infty}$ なので、 $j$ はベリイ関数となる。^[9]

シータ関数による表現

$q$ $=$ $e$ $π$ $iτ$ とヤコビのシータ関数を定義する。

$\vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$

ここから、ここで定義される補助シータ関数を導くことができる。

${\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}$

ここで $ϑ ij$ と $θ n$ は別の表記であり、 $a 4 - b 4 + c 4 = 0$ である。すると、モジュラー不変量 $g 2$ 、 $g 3$ 、

${\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}$

モジュラー判別式、

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}$

デデキントのイータ関数 $η (τ)$ を用いると、 $j (τ)$ は次のように迅速に計算できる。

$j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}$

代数的定義

これまで $jを$ 複素変数の関数として考えてきた。しかし、楕円曲線の同型類の不変量として、jは純粋に代数的に定義することができる。^[10]

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

は任意の体上の平面楕円曲線とする。そして、上記の式を標準形 $y 2 = 4 x 3 - g 2 x - g 3$ に変換するために、連続的な変換を実行することができる（この変換は、体の標数が2または3でない場合にのみ実行できることに注意）。結果として得られる係数は以下のとおりである。

${\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}$

ここで $g 2 = c 4$ 、 $g 3 = c 6$ である。判別式も次のように表せる。

$\Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.$

楕円曲線の $j$ 不変量は次のように定義される。

$j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}$

曲線が定義されるフィールドの特性が2または3と異なる場合、これは次の式に等しい。

$j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.$

逆関数

$j$ 不変量の逆関数は、超幾何関数 $2$ $F$ $1$ を用いて表すことができます（ピカール・フックス方程式の項も参照）。具体的には、数 $N$ が与えられたとき、方程式 $j$ $($ $τ$ $) =$ $N$ $をτ$ について解くには、少なくとも4つの方法があります。

方法1： $λ$ の6次方程式を解く、

$j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$

ここで $x = λ (1 - λ)$ であり、 $λは$ モジュラーラムダ関数なので、6次関数は $x$ の3次関数として解くことができる。すると、

$\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}$

$λ$ の6つの値のいずれに対しても、 $Mは$ 算術幾何平均です。^{[注 1]}

方法2： $γ$ の4次方程式を解く、

$j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}$

すると、4つの根のいずれに対しても、

$\tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}$

方法3： $β$ の3次方程式を解く、

$j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}$

3つのルートのいずれに対しても、

$\tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}$

方法4： $α$ の二次方程式を解く、

$j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}$

それから、

$\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}$

一方の根は $τ$ を与え、もう一方は $− .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/τ⁠$ ですが、 $j (τ) = j (- ⁠ 1 / τ ⁠) 、どの$ $α$ を選択しても違いはありません。後者の3つの方法は、ラマヌジャンの楕円関数の代替基底に見られます

この逆変換は、楕円関数の周期の比が無限大になる場合でも、高精度計算に適用される。^[要出典]関連する結果として、虚軸上の点における $j$ の値が2のべき乗となる場合（したがってコンパスと定規による作図が可能になる）、その2乗根号によって表せることが示される。後者の結果は、 $j$ の2次のモジュラー方程式が3次式であるため、ほとんど明らかではない。^[11]

円周率の公式

チュドノフスキー兄弟は1987年に^{[12]を発見した。}

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}$

その証明は、

$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.$

同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数を参照してください。

楕円曲線を他の体で分類できない

-不変量は、複素数体、あるいはより一般的には代数閉体上の楕円曲線の同型類にのみ影響されます。他の体上では、-不変量が同じでありながら同型ではない楕円曲線の例も存在します。例えば、多項式に関連付けられた楕円曲線をとします。 $j$ $j$ $E_{1},E_{2}$

${\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}$

どちらも-不変である。すると、の有理点は次のように計算できる。 $j$ $1728$ $E_{2}$

$E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}$

であるので、には有理解は存在しません。これはカルダノの公式を用いて示され、その場合の解はすべて無理数であることが示されます。 $x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2)$ $y=a\neq 0$ $x^{3}-4x-a^{2}$

一方、点の集合においては

$\{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}$

の方程式はとなる。をで割って解を消去すると、二次方程式の公式は有理解を与える。 $E_{1}$ $36n^{2}=-64n^{3}+100n$ $4n$ $(0,0)$

$n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.$

これらの曲線を上で考えると、同型性があり、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {10}})$ $E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))$

$(x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.$

参考文献

注記

^ 複素数（となる）の算術幾何平均が次のように定義されるとき、等式が成り立ちます。、、とし、すべてのに対してとなる符号を選びます。ならば、となる符号を選びます。するととなります。が正の実数（となる）のとき、この定義は正の実数に対する算術幾何平均の通常の定義と一致します。David A. Cox著『The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss』を参照してください。 $\operatorname {M} (a,b)$ $a,b$ $a,b\neq 0;a\neq \pm b$ $a_{0}=a$ $b_{0}=b$ $a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$ $b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}$ $|a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|$ $n\in \mathbb {N}$ $|a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|$ $\Im (b_{n}/a_{n})>0$ $\operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ $a,b$ $a\neq b$

他の

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[11] 複素数（となる）の算術幾何平均が次のように定義されるとき、等式が成り立ちます。、、とし、すべてのに対してとなる符号を選びます。ならば、となる符号を選びます。するととなります。が正の実数（となる）のとき、この定義は正の実数に対する算術幾何平均の通常の定義と一致します。David A. Cox著『The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss』を参照してください。 $\operatorname {M} (a,b)$ $a,b$ $a,b\neq 0;a\neq \pm b$ $a_{0}=a$ $b_{0}=b$ $a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$ $b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}$ $|a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|$ $n\in \mathbb {N}$ $|a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|$ $\Im (b_{n}/a_{n})>0$ $\operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ $a,b$ $a\neq b$

[1] Milne, Steven C. (2000). 「アイゼンシュタイン級数のハンケル行列式」. arXiv : math/0009130v3 .この論文ではの非同等の定義が使用されていますが、これは本記事で説明されています。 $\Delta$

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j不変

意味