行列の直和

2 つの行列の直和は、行列の左上隅と右下隅が 2 つの指定された行列を埋め、右上隅と左下隅がすべてゼロになる対角行列です。

意味

サイズm × nの行列Aとサイズp × qの行列Bの任意のペアの直和は、サイズ( m + p ) × ( n + q )の行列であり、次のように定義されます。 ^[1]^[2]

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$

例えば、

{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}

行列の直和はブロック行列の特殊な型です。特に、正方行列の直和はブロック対角行列です。

互いに素なグラフ（または多重グラフ）の和の隣接行列は、それらの隣接行列の直和です。2つの行列のベクトル空間の直和の任意の要素は、2つの行列の直和として表すことができます。

一般に、 n個の行列の直和は次のようになる: ^[2]

\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!

ここで、ゼロは実際にはゼロのブロック（つまり、ゼロ行列）です。

参照

注記

^ Weisstein, Eric W.「行列の直和」。MathWorld。
^ Lipschutz & Lipson 2017による。

参考文献

リプシュッツ、シーモア。マーク・リプソン (2017)。シャウムの線形代数の概要(第 6 版)。マグロウヒル教育。ISBN 9781260011449。

外部リンク

PlanetMathでの行列の直和。
抽象的なナンセンス：線形変換の直和と行列の直和

[1] Weisstein, Eric W.「行列の直和」。MathWorld。

[FOOTNOTELipschutzLipson2017-2] Lipschutz & Lipson 2017による。