有限差分

Discrete analog of a derivative

有限差分は、 f ( x + b ) − f ( x + a )という形式の数学表現です。有限差分（またはそれに関連する差分商）は、数値微分などにおいて、導関数の近似値としてよく用いられます。

差分演算子 は、一般的に と表記され、関数fを で定義される関数 に写像する演算子です。 差分方程式は、微分方程式が導関数 を含むのと同様に、有限差分演算子を含む関数方程式です。差分方程式と微分方程式には多くの類似点があります。特定の漸化式は、反復記法を有限差分に置き換えることで差分方程式として表すことができます。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta [f]}$ $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

数値解析では、微分近似に差分法が広く用いられており、「差分」という用語は「微分近似の差分法」の略語としてよく用いられる。^{[1] [2] [3]}

有限差分は1715年にブルック・テイラーによって導入され、ジョージ・ブール（1860年）、LMミルン＝トムソン（1933年）、カーロイ・ジョーダン （ 1939年）などの研究においても、抽象的で自立した数学的対象として研究されてきました。有限差分の起源は、ヨスト・ビュルギ（  1592年頃）のアルゴリズムの一つと、アイザック・ニュートンをはじめとする他の研究者の研究に遡ります。有限差分の形式的な計算は、無限小積分の代替として捉えることができます。^[4]

基本タイプ

有限差分の3つの種類。x に関する中心差分は、xにおける関数の微分の最良近似値を与えます。

一般的に考えられる基本的なタイプは、順方向差分、逆方向差分、中心差分の3つです。^{[1] [2] [3]}

あ関数fの前方差分は次のように定義される関数である。 ${\displaystyle \Delta _{h}[f]}$ $${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

アプリケーションに応じて、間隔hは可変または定数になります。指定されていない場合、 hのデフォルト値は1です。つまり、 $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

あ後方差分では、 x + hとxの値の代わりに、 x と x − hの関数値を使用します 。 $${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$$

最後に、中心差は次のように与えられる。 $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{\tfrac {h}{2}}[f](x)+\nabla _{\tfrac {h}{2}}[f](x).}$$

デリバティブとの関係

有限差分による導関数の近似は、微分方程式、特に境界値問題の数値解を求める有限差分法において中心的な役割を果たします。

関数fの点xにおける微分は、次の極限 で定義される。 $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

hがゼロに近づくのではなく、固定された（ゼロではない）値を持つ場合、上記の式の右辺は次のように書かれる。 $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

したがって、 hが小さい場合、前進差分をhで割ったものが導関数を近似する。この近似の誤差はテイラーの定理から導かれる。fが2回微分可能であると仮定すると、 $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

後方差分についても同じ式が当てはまります。 $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

しかし、中心差分（または中心化差分とも呼ばれる）はより正確な近似値を与える。fが3回微分可能である場合、 $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

しかしながら、中心差分法の 主な問題^{[要出典]は、振動関数では導関数がゼロになる可能性があることです。n}が奇数の場合にf ( nh )=1、nが偶数 の場合にf ( nh )=2とすると、中心差分法で計算するとf ′( nh )=0となります。これは、 fの定義域が離散的な場合に特に問題となります。対称微分も参照してください。

有限差分を有限差分近似値とみなす著者は、前節の定義ではなく、この節で示した商を前方差分、後方差分、中心差分として定義する。^{[1] [2] [3]}

高階差分

同様の方法で、高階微分および微分演算子の差分近似を得ることができます。例えば、f  ′( x + ⁠h/2⁠ )とf  ′( x − ⁠h/2⁠）にf  ′のxにおける微分の中心差分公式を適用すると、 fの2次微分の中心差分近似が得られます 。 

第二段階の中心

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}~.}$$

同様に、他の差分式を再帰的に適用することもできます。

2次順方向

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}~.}$$

2次後方

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}~.}$$

より一般的には、n次の前方差分、後方差分、中心差分はそれぞれ次のように表される。

フォワード

$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{\binom {n}{j}}f{\bigl (}x+jh{\bigr )},}$$

後方

$${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f(x-jh),}$$

中央

$${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-j\right)h\right)~.}$$

これらの方程式では、次のように合計記号の後に二項係数を使用します。パスカルの三角形の各行は、jの各値の係数を提供します。 ${\textstyle \ {\binom {n}{j}}~.}$ 

中心差は、nが奇数の場合、h に非整数を乗じたものとなることに注意してください。これは離散化の区間を変更することになるため、しばしば問題となります。この問題は、平均をとに置き換えることで解決できます 。 ${\textstyle \delta ^{n}[f](x-{\tfrac {h}{2}})}$ ${\textstyle \delta ^{n}[f](x+{\tfrac {h}{2}}).}$

数列に適用される前進差分は、数列の二項変換と呼ばれることもあり、いくつかの興味深い組み合わせ特性を持ちます。前進差分は、ネルンド・ライス積分を用いて評価できます。この種の級数の積分表現は興味深いもので、積分は漸近展開法や鞍点法を用いて評価できることが多いためです。一方、前進差分級数は、 nが大きいと二項係数が急激に増加するため、数値的に評価するのが非常に困難になる場合があります。

これらの高階差とそれぞれの導関数の関係は単純であり、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{(\mathrm {d} x)^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}\!\left(h^{2}\right).}$$

高階差分を用いてより良い近似値を構築することもできます。前述のように、1階差分は1階微分をh階の項まで近似します。しかし、この組み合わせはf  ′( x )をh ²階の項まで近似します。これは、上記の式をテイラー級数で展開するか、後述する差分法を用いることで証明できます。 $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$

必要に応じて、前方差分、後方差分、中心差分を混合して、任意の点を中心に有限差分を配置できます。

関数の低階微分は解析的に既知であるが、高階微分は既知ではない場合がある。このような場合、高階微分は低階微分の差分で近似することができ、これは関数f  ( x )自体の差分よりも精度が高く、数値的に安定していることが多い。これは半数値微分と呼ばれることもある。^[5]例えば、1階微分f  ′( x )は利用可能だが2階微分f  ''( x )が利用できない場合、後者はf  ′( x )の2階中心差分で近似できる。 $${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}~.}$$

多項式

関数P ( x )で表され、実数a ≠ 0およびbと、より低次の項（もしあれば）がlotとしてマークされている、 n ≥ 1の与えられた多項式について、 $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+\;bx^{n-1}+~l.o.t.}$$

n回のペアワイズ差を求めると、次の結果が得られる。ここでh ≠0は算術差を表す実数である。 ^[6] $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

最高次の項の係数のみが残ります。この結果はxに関して一定であるため、これ以降のペアワイズ差は0になります。

帰納的証明

ベースケース

Q ( x ) を1次多項式とします。 $${\displaystyle \Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!}$$

これは基本ケースの証明です。

帰納的ステップ

R ( x )をm  − 1次多項式（m ≥ 2 ）とし、最高次項の係数をa ≠ 0とする。すべてのm  − 1 次多項式について以下が成り立つと仮定する。 $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!}$$

S ( x )をm次多項式とする。1対差を持つ。 $${\displaystyle \Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)}$$

ahm ≠ 0なので、これはm − 1 次多項式T ( x )となり、ahm は最高次項の係数となる。上記の仮定とm − 1 個のペアワイズ差分（ S ( x )のペアワイズ差分は合計m 個）を考慮すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!}$$

これで証明は完了です。

応用

この恒等式は、 x軸上の点と点の間の差が定数h ≠ 0となるような、複数の点( x , y )を横切る最低次多項式を求めるために使用できます。例えば、次の点が与えられます。

×	y
1	4
4	109
7	772
10	2641
13	6364

差分テーブルを使用できます。このテーブルでは、最初のyの右側にあるすべてのセルについて、セル( a + 1、b + 1)に対してすぐ左の列のセルと次の関係が存在し、左上のセルの座標は(0、0)になります。 $${\displaystyle (a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)}$$

最初の項を見つけるには、次の表を使用できます。

×	y	Δ y	Δ 2年	Δ3年​​
1	4
4	109	105
7	772	663	558
10	2641	1869	1206	648
13	6364	3723	1854	648

定数648が得られます。算術差は前述の通りh = 3です。定数に達するために必要なペアワイズ差の数を考えると、これは3 次多項式であると推測できます。したがって、上記の恒等式を用いると、次の式が得られます。 $${\displaystyle 648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162}$$

aを解くと、その値は4であることがわかります。したがって、多項式の最初の項は4 x ³です。

次に、多項式の次数を下げる最初の項を減算し、再び有限差を求めます。

×	y	Δ y	Δ 2年
1	4 − 4(1) 3 = 4 − 4 = 0
4	109 − 4(4) 3 = 109 − 256 = −147	−147
7	772 − 4(7) 3 = 772 − 1372 = −600	−453	−306
10	2641 − 4(10) 3 = 2641 − 4000 = −1359	−759	−306
13	6364 − 4(13) 3 = 6364 − 8788 = −2424	−1065	−306

ここでは、2 回のペアワイズ差異のみで定数が達成されるため、次の結果が得られます。 $${\displaystyle -306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18}$$

a （ −17）を解くと、多項式の2番目の項は−17 x ²になります。

2 番目の項を減算して次の項に進みます。

×	y	Δ y
1	0 − (−17(1) 2 ) = 0 + 17 = 17
4	−147 − (−17(4) 2 ) = −147 + 272 = 125	108
7	−600 − (−17(7) 2 ) = −600 + 833 = 233	108
10	−1359 − (−17(10) 2 ) = −1359 + 1700 = 341	108
13	−2424 − (−17(13) 2 ) = −2424 + 2873 = 449	108

したがって、定数は 1 回のペアワイズ差異だけで達成されます。 $${\displaystyle 108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3}$$

a = 36なので、多項式の第3項は36 xとなります。第3項を引くと、次のようになります。

×	y
1	17 − 36(1) = 17 − 36 = −19
4	125 − 36(4) = 125 − 144 = −19
7	233 − 36(7) = 233 − 252 = −19
10	341 − 36(10) = 341 − 360 = −19
13	449 − 36(13) = 449 − 468 = −19

ペアワイズ差がない場合、多項式の4番目で最後の項は定数-19であることがわかります。したがって、最初の表のすべての点を横切る最も低次の多項式が見つかります。 $${\displaystyle 4x^{3}-17x^{2}+36x-19}$$

任意サイズのカーネル

線型代数を用いることで、任意の次数の微分に対して、評価点の左側の任意の数の点と右側の（場合によっては異なる）数の点を用いた差分近似を構築することができる。これは、評価点の周囲の点の和のテイラー展開が、所望の微分におけるテイラー展開を最もよく近似するように線型系を解くことを意味する。このような式は、六角形または菱形のグリッド上にグラフィカルに表すことができる。 ^[7]これは、グリッドの端に近づくにつれて、片側でサンプリングする点の数が少なくなるグリッド上で関数を微分するのに有用である。^[8]任意のステンシルと所望の微分次数が与えられれば、非標準（さらには非整数）ステンシルに対する差分近似を構築することができる。^[9]

プロパティ

• すべての正のkとnについて $${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}\left(f,x\right)=\sum \limits _{j_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{j_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{j_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+j_{1}h+j_{2}h+\cdots +j_{n}h\right).}$$
• ライプニッツの法則： $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}\left(fg,x\right)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}\left(f,x\right)\cdot \Delta _{h}^{n-k}\left(g,x+kh\right).}$$

微分方程式では

差分法の重要な応用の一つは数値解析、特に常微分方程式および偏微分方程式の数値解を求める数値微分方程式です。その考え方は、微分方程式に現れる導関数を、それらを近似する差分に置き換えることです。このようにして得られる手法は差分法と呼ばれます。

有限差分法の一般的な応用分野は、熱工学、流体力学など の計算科学および工学分野です。

ニュートン級数

ニュートン級数は、アイザック・ニュートンにちなんで名付けられたニュートン前進差分方程式の項から構成されています。本質的には、1687年にニュートンがプリンキピア・マテマティカで初めて発表したグレゴリー・ニュートン補間公式^[10]（アイザック・ニュートンとジェームズ・グレゴリーにちなんで名付けられました）であり、 ^{[11] [12]}、連続テイラー展開の離散アナログです。

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),}$

これは、任意の多項式関数fと多くの（ただしすべてではない） 解析関数に対して成立します。（fが指数型 のときは成立しません。これは、正弦関数が の整数倍でゼロになることから簡単にわかります。この場合、すべての有限差分がゼロなので、対応するニュートン級数は常にゼロです。しかし、明らかに、正弦関数はゼロではありません。）ここで、式は二項係数、は「下降階乗」または「下降階乗」であり、空の積( x ) _{0 は1 と定義されています。この特定のケースでは、以下の一般化の}h = 1において、xの値の変化に対して単位ステップが仮定されています。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$

この結果がテイラーの定理と形式的に対応していることに注目してください。歴史的に、この定理と、チュー・ヴァンデルモンド恒等式（ この定理から導かれ、二項定理に対応する）は、陰影計算の体系へと発展した観察結果に含まれています。 $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$

ニュートン級数展開は、量子スピン（ホルスタイン・プリマコフ変換参照）、ボソン演算子関数、離散計数統計などの離散量に適用する場合、テイラー級数展開よりも優れている場合がある。^[13]

ニュートンの公式を実際にどのように使うかを説明するために、フィボナッチ数列 f = 2, 2, 4, ...の最初の数項を2倍にしたときのことを考えてみましょう。まず差分表を計算し、次にx ₀ （下線部）に対応する差分を式に代入することで、これらの値を再現する多項式を見つけることができます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

xの値が一様でないステップの場合、ニュートンは差商、 積の級数を計算し、結果として得られる多項式はスカラー積である、^[14] $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ $${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

p進数の解析では、マーラーの定理によれば、 fが多項式関数であるという仮定は、f が単に連続であるという仮定まで弱められる可能性がある。

カールソンの定理は、ニュートン級数が存在する場合、それが一意となるための必要十分条件を規定する。しかし、ニュートン級数は一般には存在しない。

ニュートン級数は、スターリング級数やセルバーグ級数とともに、適切にスケールされた前進差分によって定義される一般差分級数の特殊なケースです。

圧縮され、やや一般的な形式と等距離ノードでは、式は次のようになります。 $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

差分積分

前進差分は差分演算子と呼ばれる演算子として考えることができ、関数fをΔ _h [ f ]にマッピングします。^{[15] [16]}この演算子は次のようになります。_ここで、 Th_はステップhのシフト演算子でTh [ f ]( x ) = f ( x + h )で定義され、I は恒等演算子です。 $${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} ,}$$

高次の差分は再帰的にΔとして定義できる。ⁿ
_時間≡ Δ _h (Δ^{n − 1}
_時間）。もう一つの同等の定義はΔⁿ
_時間≡[Th ₋ I] ⁿ。

差分演算子Δ _hは線形演算子なので、Δ _h [ α f + β g ]( x ) = α Δ _h [ f ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x )を満たします。

これは特別なライプニッツ規則も満たします。

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}={\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}f(x){\bigr )}g(x+h)+f(x){\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}g(x){\bigr )}~.}$

同様のライプニッツの規則は、後方差異と中心差異にも当てはまります。

テイラー級数をhに関して正式に適用すると、演算子方程式が得られます。ここで、D は、 fをその導関数f ′に写像する、従来の連続微分演算子を表します。この展開は、両辺が解析関数に作用する場合に、十分に小さいhに対して有効です。導関数の級数が終了（作用する関数が有限多項式の場合）する特別なケースでは、すべての有限ステップサイズhに対して、式は正確です。したがって、T _h = e ^{h D}となり、指数関数を正式に反転すると、 この式が得られます。この式は、両方の演算子を多項式に適用した場合に同じ結果になるという意味で成立します。 $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} ,}$$ $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$

解析関数であっても、右辺の級数は必ずしも収束するとは限りません。漸近級数となる場合もあります。しかし、これを用いることで、より正確な微分近似値を得ることができます。例えば、級数の最初の2項を保持すると、§ 高階差分の節の最後で述べたf  ′( x )の2次近似値が得られます。

後方差分演算子と中心差分演算子の類似の式は、 $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

差分積分は、組合せ論の暗黒計算と関連している。この驚くほど体系的な対応は、暗黒量の交換子が連続体における類似物（ h → 0の極限）と同一であることによる。

${\displaystyle \left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,\operatorname {T} _{h}^{-1}\right]=[\operatorname {D} ,x]=I.}$

関数f ( x )を含む標準的な微分積分​​の多数の形式的な微分関係は、f ( x Tを含む暗黒差分類似物に体系的にマッピングされます。⁻¹
_時間)。

たとえば、単項式x ⁿのアンブラルアナログは、上記の下降階乗 (ポッホハマーの k 記号) の一般化である ため 、上記のニュートン補間式 (任意の関数f ( x )の展開で係数をそのような記号に一致させることにより) などとなります。 $${\displaystyle (x)_{n}=\left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)h{\bigr )},}$$ $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$$

例えば、陰影正弦は $${\displaystyle \sin \left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$$

連続体極限と同様に、⁠の固有関数はΔ _h/h⁠ は指数関数的でもある。

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

したがって、連続関数のフーリエ和は、容易に、忠実に、暗部フーリエ和に写像される。すなわち、これらの暗部基底指数を乗じた同じフーリエ係数を含む。^{[17]この暗部指数は、したがって、}ポッホハマー記号の指数生成関数に相当する。

例えば、ディラックのデルタ関数はその本影関数である基数正弦関数 などに写像されます 。^[18]差分方程式は、微分方程式を解くのと非常によく似た手法で解くことができます。 $${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$$

前進差分演算子の逆演算子、つまり暗積分は、不定和または反差分演算子です。

差分演算子の計算規則

導関数を求める規則と同様に、次の式が得られます。

• 定数ルール：cが定数の場合、 $${\displaystyle \Delta c=0}$$
• 直線性： aとbが定数の、 $${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}$$

上記の規則はすべて、 δと∇ を含むΔに関する任意の差分演算子に等しく適用されます。

• 製品ルール： $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g\end{aligned}}}$$
• 商の法則：または $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)}$$ $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$$
• 合計規則: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}}$$

参考文献を参照。^{[19] [20] [21] [22]}

一般化

• 一般化差分は通常、係数ベクトルμ = ( μ ₀ , …, μ _N )として定義されます。無限差分はさらに一般化されたもので、上記の有限和を無限級数に置き換えたものです。一般化のもう1つの方法は、係数μ _{k を}点xに依存させることです：μ _k = μ _k ( x ) 。これは重み付き差分を考慮した方法です。また、ステップh を点xに依存させることも可能です：h = h ( x ) 。このような一般化は、異なる連続性係数を構築するのに役立ちます。 $${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$
• 一般化された差分は多項式環R [ T _h ]として見ることができ、差分代数へと導く。
• 差分演算子は、半順序集合上のメビウス反転に一般化されます。
• 畳み込み演算子として:接続代数の形式論により、差分演算子やその他のメビウス反転は、メビウス関数μと呼ばれる半順序集合上の関数との畳み込みによって表すことができます。差分演算子の場合、μはシーケンス(1, −1, 0, 0, 0, …)です。

多変量有限差分

有限差分は複数の変数で考えることができます。これは、複数の変数における偏微分に類似しています。

いくつかの偏微分近似は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

あるいは、 fの計算が 最もコストのかかるステップであり、 1 次導関数と 2 次導関数の両方を計算する必要があるアプリケーションでは、前の 4 つの方程式でまだ必要のない計算する値はf ( x + h , y + k ) とf ( x − h , y − k )だけなので、最後のケースのより効率的な式は次のようになります。 $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$

変数を持つ関数の場合、有限差分によって完全な - 階微分テンソルを評価するには、関数 の呼び出し（ここでは漸近的スケーリング動作を示すためにBig O 表記法を使用している）または関数の - 階微分の呼び出し（ここで）が必要である。しかし、多くの関数のクラスでは、- 階微分テンソルはスパースであるか、その非対角ブロックのランクが低い可能性がある。これらの場合、 - 階微分の呼び出しよりも少ない呼び出しを使用して - 階微分テンソルを数値的に推定できるアルゴリズムが存在する可能性がある（たとえば、および の場合）。後者の場合、従来の有限差分アルゴリズムで必要な勾配の代わりに、勾配のみを使用してヘッセ行列を推定することができる。 ^[23] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle O(N^{m})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O(N^{m-m'})}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m'<m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle O(N^{m-m'})}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle m'=1}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle O(N)}$

参照

• 離散微積分
• 相違点の分割
• 有限差分時間領域法（FDTD）
• 有限体積法
• FTCSスキーム
• ギルブレスの予想
• シェファー配列
• 部分ごとの合計
• 時間スケール計算
• 対流の風上差分法

参考文献

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• リチャードソン、CH（1954）：差分法入門（ヴァン・ノストランド（1954）オンラインコピー
• ミケンズ、RE（1991）：差分方程式：理論と応用（チャップマン＆ホール/CRC）ISBN 978-0442001360

外部リンク

• 「差分計算」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathematica を使って生成された便利な差分式の表
• D. Gleich (2005) 『有限微分積分：厄介な和を解くためのチュートリアル』
• 不等間隔の点からの離散2階微分

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