有限生成代数

代数の種類

数学において、（可換）環 上の有限生成代数（有限型 の代数とも呼ばれる） 、または略して有限生成 - 代数は、環準同型によって定義される可換結合代数であり、 のすべての元がの係数を持つ有限個の生成元の多項式として表現できます。言い換えると、多項式環 からへの射影-代数準同型が存在します。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:R\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle A}$

が体であり、 の部分代数とみなされ、 が自然な注入 である場合、有限型の -代数は、のすべての元が の多項式として表現でき、 の係数を持つような元の有限集合が存在する可換結合代数です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\hookrightarrow A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle K}$

同様に、評価準同型が ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

は射影的である。したがって、第一同型定理を適用すると、となる。 ${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$

逆に、任意のイデアルに対して は有限型の -代数であり、実際、 の任意の元は の係数を持つ剰余類の多項式である。したがって、有限生成 -代数について次のような特徴づけが得られる: ^[1] ${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle A}$が有限生成-代数であることと、それが-代数としてイデアルによる型の商環に同型であることは同値である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

有限生成でない代数は無限生成と呼ばれます。

有限生成環とは、 -代数としてみなした場合に有限に生成される環を指します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

有限生成代数（有限型）は、有限代数（下記参照）と混同してはならない。上の有限代数は、モジュール として有限生成な可換結合代数である。つまり、環準同型によって定義される -代数であり、 のすべての元は の係数を持つ有限個の生成元の線形結合として表現できる。これは、代数が有限生成である場合に、有限生成元集合内の多項式として表現可能であることよりも強い条件である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:R\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle A}$

例

• 多項式代数は有限生成である。 可算無限個の生成元における多項式代数は無限生成である。 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$
• 実係数多項式環は上では有限生成ですが、 上では有限生成ではありません。 ${\displaystyle {\mathbb {R}}[x]}$ ${\displaystyle {\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$
• 無限体上の一変数有理関数体 は上の有限生成代数ではない。一方、は単一の元 によって上として生成される。 ${\displaystyle E=K(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t}$
• が有限体拡大である場合、定義から は上の有限生成代数であることが分かります。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$
• 逆に、が体拡大であり、が 上の有限生成代数である場合、体拡大は有限である。これはザリスキの補題と呼ばれる。積分拡大も参照のこと。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$
• が有限生成群である場合、群代数は 上の有限生成代数です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle KG}$ ${\displaystyle K}$

プロパティ

• 有限生成代数の準同型像は、それ自体が有限生成である。しかし、部分代数については同様の性質は一般に は成立しない。
• ヒルベルトの基底定理: がネーター環上の有限生成可換代数である場合、 Aのすべてのイデアルは有限生成、またはそれと同値で、ネーター環である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

アフィン多様体との関係

有限 生成被約可換代数は、現代代数幾何学における基本的な考察対象であり、アフィン代数多様体に対応する。そのため、これらの代数は（可換）アフィン代数とも呼ばれる。より正確には、アフィン代数集合が与えられたとき、有限生成-代数を 関連付けることができる。 ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

は のアフィン座標環と呼ばれる。さらに、 がアフィン代数集合と の間の正則写像である場合、 -代数の準同型写像を定義することができる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

は、正則写像を持つアフィン代数集合の圏から、縮約された有限生成 -代数の圏への反変関手である。この関手は^{、 [2]}の同値な圏であることが分かる。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic sets}})^{\rm {opp}}\to ({\text{reduced finitely generated }}K{\text{-algebras}}),}$

そして、アフィン多様体（すなわち、既約アフィン代数集合）に限定すると、

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

有限代数と有限型代数

可換環代数は環準同型であることを思い出してください。の加群構造は次のように定義されます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

-代数は、 -加群として有限生成である場合、つまり、 -加群の射影準同型が存在する場合、有限と呼ばれる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

また、有限代数は商によって特徴付けられる： ^[3]

-代数は、 -部分加群による商と同型である場合に限り有限である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\subseteq R}$

定義により、有限- 代数は有限型であるが、その逆は偽である。つまり、多項式環は有限型であるが有限ではない。しかし、- 代数が有限型でを積分する場合、それは有限である。より正確には、が有限生成- 加群であるためには、 が上積分の有限個の元によって - 代数として生成されることが必要である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

有限代数と有限型の代数は、有限射と有限型の射の概念に関連しています。

参考文献

1. ケンパー、グレゴール (2009). 『可換代数の講座』 シュプリンガー. p. 8. ISBN 978-3-642-03545-6。
2. Görtz, Ulrich ; Wedhorn, Torsten (2010). 代数幾何学 I. スキームと例題および演習. Springer. p. 19. doi :10.1007/978-3-8348-9722-0. ISBN 978-3-8348-0676-5。
3. アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、イアン・グラント(1994). 可換代数入門. CRC Press. p. 21. ISBN 9780201407518。

参照

• 有限生成モジュール
• 有限生成体の拡張
• アルティン・テイトの補題
• 有限代数
• 有限型の射影

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