数学 において 、 フレドホルム核（フレドホルムかく）とは、 バナッハ空間 上の 核 の一種であり 、バナッハ空間上の 核作用素と関連付けられている。 フレドホルム積分方程式 と フレドホルム作用素 の概念を抽象化したものであり、 フレドホルム理論 の研究対象の一つである。フレドホルム核は、 エリック・イヴァー・フレドホルム にちなんで名付けられた 。フレドホルム核の抽象理論の大部分は、 アレクサンダー・グロタンディーク によって発展させられ、1955年に発表された。
意味 B を 任意の バナッハ空間 とし 、 B * をその双対空間、すなわち B 上の 有界線型汎関数 の空間とする。 テンソル積 は ノルム B ∗ ⊗ B {\displaystyle B^{*}\otimes B}
‖ X ‖ π ＝ 無限大 ∑ { 私 } ‖ e 私 ∗ ‖ ‖ e 私 ‖ {\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert } ここで、 最小値 はすべての有限表現にわたって取られる。
X ＝ ∑ { 私 } e 私 ∗ ⊗ e 私 ∈ B ∗ ⊗ B {\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B} この規範の下での完了は、しばしば次のように表される。
B ∗ ⊗ ^ π B {\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B} は射影位相テンソル積 と呼ばれる 。この空間の元は フレドホルム核 と呼ばれる。
プロパティ あらゆるフレドホルム核は次のような形式で表現される。
X ＝ ∑ { 私 } λ 私 e 私 ∗ ⊗ e 私 {\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}} およびと 、 およびと なる e 私 ∈ B {\displaystyle e_{i}\in B} e 私 ∗ ∈ B ∗ {\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}} ‖ e 私 ‖ ＝ ‖ e 私 ∗ ‖ ＝ 1 {\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}
∑ { 私 } | λ 私 | < ∞ 。 {\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,} このような各カーネルには線形演算子が関連付けられている。
L X : B → B {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B} 標準的な表現を持つ
L X f ＝ ∑ { 私 } λ 私 e 私 ∗ （ f ） e 私 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,} フレドホルム核にはトレースが関連しており、次のように定義される。
tr X ＝ ∑ { 私 } λ 私 e 私 ∗ （ e 私 ） 。 {\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,}
p -合計可能なカーネル フレドホルム核が p 和可能 と言われるのは、
∑ { 私 } | λ 私 | p < ∞ 。 {\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p} フレドホルム核は、 p 合計可能であるすべての p に対して q が すべての 最小値 である 場合、 順序 q であると言われます。 0 < p ≤ 1 {\displaystyle 0<p\leq 1}
バナッハ空間上の核作用素 演算子 L : B → B は、 L = L X を 満たすような X ∈ が存在するとき、 核演算子 と呼ばれる。そのような演算子は、 Xが p 加算可能 であり、かつ q 位数であるとは、X が p 加算可能で あるときである。一般に、そのような核演算子には複数の X が 関連付けられる可能性があり、その場合、トレースは一意に定義されない。しかし、位数 q ≤ 2/3 のとき、グロタンディークの定理によって、トレースは一意に定義される。 B ∗ ⊗ ^ π B {\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}
グロタンディークの定理 が順序演算子である 場合 、トレースを定義することができ、 L : B → B {\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B} q ≤ 2 / 3 {\displaystyle q\leq 2/3}
Tr L ＝ ∑ { 私 } ρ 私 {\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}} ここで、 の 固有値 である 。さらに、 フレドホルム行列式 ρ 私 {\displaystyle \rho_{i}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}}
詳細 （ 1 − z L ） ＝ ∏ 私 （ 1 − ρ 私 z ） {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)} はz の 整関数 である 。式
詳細 （ 1 − z L ） ＝ 経験 Tr ログ （ 1 − z L ） {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)} も成り立つ。最後に、 が何らかの 複素数 値パラメータ w によってパラメータ化されている場合 、つまり であり 、パラメータ化が 何らかの 領域上で 正則で ある場合、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} L ＝ L わ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}
詳細 （ 1 − z L わ ） {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)} 同じ定義域上で正則です。
例 重要な例として、領域 上の正則関数のバナッハ空間が挙げられます 。この空間では、すべての核作用素は零位であり、したがって トレースクラス となります。 D ⊂ C け {\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{k}}
核空間 核作用素の考え方は フレシェ空間 にも適用できる。 核空間 とは、その空間から任意のバナッハ空間へのすべての有界写像が核となるフレシェ空間のことである。
参考文献 グロタンディーク A (1955)。 「テンソリエルのトポロジーと空間核の生成」。 メム。アメール。数学。社会 。 １６ ． グロタンディーク A (1956)。 「フレッドホルムの理論」。 ブル。社会数学。フランス 。 84 : 319– 84. 土井 : 10.24033/bsmf.1476 。 BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], 「フレドホルム核」, 数学百科事典 , EMS Press Fréchet M (1932年11月). 「nが無限大になった場合のフレドホルム核のn回目の反復の挙動について」 Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 18 (11): 671–3 . Bibcode :1932PNAS...18..671F. doi : 10.1073/pnas.18.11.671 . PMC 1076308 . PMID 16577494.
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