マルコフカーネル

Concept in probability theory

確率論において、マルコフ核（確率核または確率核とも呼ばれる）は、マルコフ過程の一般理論において、有限状態空間を持つマルコフ過程の理論における遷移行列の役割を果たすマップである。^[1]

正式な定義

とを測定可能空間とする。をソース、 をターゲットとするマルコフ核（ と表記されることもある）は、以下の特性を持つ 関数である。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$

1. あらゆる（固定された）に対して、地図は測定可能である ${\displaystyle B_{0}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \kappa (B_{0},x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. 任意の（固定された） に対して、マップは確率測度である。 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle B\mapsto \kappa (B,x_{0})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$

言い換えれば、各点に上の確率測度を関連付け、すべての測定可能な集合に対して、写像は-代数に関して測定可能である。^[2] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \kappa (dy|x):B\mapsto \kappa (B,x)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \kappa (B,x)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

例

単純ランダムウォーク整数について

、および（の冪集合）をとる。すると、マルコフ核は、各 についてシングルトンに割り当てる確率によって完全に決定される。 ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\in X=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$。

確率で右へ 、確率で左へ進むランダムウォークは次のよう に定義されます。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$

${\displaystyle \kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z} }$

ここでクロネッカーのデルタです。ランダムウォークの遷移確率はマルコフ核と等価です。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)}$

一般的なマルコフ過程可算な状態空間を持つ

より一般的には、可算かつ と をとる。ここでもマルコフ核は、各シングルトン集合に割り当てる確率によって定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$、

マルコフ過程は、遷移確率を定義することによって定義される。ここで、数値は（可算な）確率行列を定義する。 ${\displaystyle P(j|i)=K_{ji}}$ ${\displaystyle K_{ji}}$ ${\displaystyle (K_{ji})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji}&=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}}$

次に定義する

${\displaystyle \kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$。

ここでも、遷移確率、確率行列、およびマルコフカーネルは同等の再定式化です。

カーネル関数と測度によって定義されるマルコフカーネル

を 上の測度とし、を積代数に関する測定可能な関数とし、 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle k:Y\times X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X}$、

つまりマッピング ${\displaystyle \kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}}$

はマルコフ核を定義する。^{[3]この例は}、計数測度が であった可算マルコフ過程の例を一般化したものである。さらに、畳み込み核、特に熱方程式によって定義されるマルコフ核など、他の重要な例も包含している。後者の例には、標準的なルベーグ測度を持つ上のガウス核と ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu (dx)=dx}$

${\displaystyle k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(y-x)^{2}/(2t^{2})}.}$

測定可能な関数

任意の可測空間をとり、可測関数をとします。ここで、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)}$

${\displaystyle \kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$すべてのために。 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

指示関数は、測定可能である場合にのみ、すべてに対して- 測定可能であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{f^{-1}(B)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$

この例から、マルコフカーネルは、（一般的には）特定の値ではなくランダムな値を持つ一般化関数として考えることができます。つまり、マルコフカーネルは、各値に均等な重みが与えられていない多値関数です。

ゴルトン・ワトソン過程

あまり明白ではない例として、ボレル集合の標準的なシグマ代数を持つ実数と実数 を取ります。すると、 ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}}$

ここで、 は状態 における要素の数、 はIID確率変数（通常平均0）、は指示関数です。コイン投げという単純なケースでは、これはゴルトンボードの異なるレベルをモデル化します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{B}}$

マルコフ核の構成

測定可能空間 が与えられた場合、 マルコフ核を射 として考える。直感的に言えば、マルコフ核は各 に明確に定義された点を割り当てるのではなく、実際の物理的測定と同様に、ある程度の不確実性を伴うのみで知られる「曖昧な」点を割り当てる。もし第三の測定可能空間と確率核およびがあれば、チャップマン・コルモゴロフ方程式によって合成を定義できる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$ ${\displaystyle \kappa :X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \kappa :X\to Y}$ ${\displaystyle \lambda :Y\to Z}$ ${\displaystyle \lambda \circ \kappa :X\to Z}$

${\displaystyle (\lambda \circ \kappa )(dz|x)=\int _{Y}\lambda (dz|y)\kappa (dy|x)}$。

この合成は単調収束定理によって結合的であり、マルコフ核として考慮される恒等関数（すなわちデルタ測度 ）がこの合成の単位となる。 ${\displaystyle \kappa _{1}(dx'|x)=\delta _{x}(dx')}$

この構成は、マルコフ核を射として持つ測定空間上のカテゴリの構造を定義し、これはローヴェレ^{[4]によって}マルコフ核のカテゴリとして初めて定義されました。

確率分布とマルコフ核によって定義される確率空間

確率空間と確率核の合成は確率空間を定義し、確率測度は次のように与えられる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P_{X})}$ ${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},P_{Y}=\kappa \circ P_{X})}$

${\displaystyle P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy|x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B|x)P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B|\cdot ).}$

プロパティ

半直積

を確率空間とし、 からへのマルコフ核 とする。このとき、上には 次を満たす唯一の測度が存在する 。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$

${\displaystyle Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.}$

正規条件付き分布

をボレル空間、を測度空間上の -値確率変数、を部分-代数とする。すると、からまでのマルコフ核が存在し、 は任意の に対する条件付き期待値の変形である。すなわち、 ${\displaystyle (S,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (S,Y)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle (S,Y)}$ ${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B\in Y}$

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in {\mathcal {G}}.}$

これは与えられた正規条件付き分布と呼ばれ、一意に定義されません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

一般化

遷移カーネルは、すべての に対して、写像 ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (B|x)}$

必ずしも確率測度ではなく、任意のタイプの（負でない）測度にすることができます。

外部リンク

• nLab のマルコフカーネル。

参考文献

1. Reiss, RD (1993).点過程講座. Springer Series in Statistics. doi :10.1007/978-1-4613-9308-5. ISBN 978-1-4613-9310-8。
2. Klenke, Achim (2014).確率論：総合講座. Universitext (第2版). Springer. p. 180. doi :10.1007/978-1-4471-5361-0. ISBN 978-1-4471-5360-3。
3. エルハン・シンラー（2011年）『確率とストキャスティックス』ニューヨーク：シュプリンガー、  pp.37-38、ISBN 978-0-387-87858-4。
4. FW Lawvere (1962). 「確率的写像のカテゴリー」(PDF) .

• バウアー、ハインツ (1996)、確率理論、デ・グリュイター、ISBN 3-11-013935-9

§36. 核と核の半群

参照

• マルコフ核のカテゴリ

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