はしご運転手

Raising and lowering operators in quantum mechanics

線型代数学（および量子力学への応用）において、上昇演算子または下降演算子（総称してラダー演算子と呼ばれる）は、別の演算子の固有値を増加または減少させる演算子です。量子力学では、上昇演算子と下降演算子はそれぞれ生成演算子と消滅演算子として一般的に知られています。量子力学におけるラダー演算子のよく知られた応用としては、量子調和振動子と角運動量の形式論があります。

用語

量子場理論で一般的に用いられる生成演算子および消滅演算子と、上昇および下降ラダー演算子との間には、表現論に基づく関係があります。生成演算子a _i ^†は状態iにある粒子の数を増加させ、対応する消滅演算子a _iは状態iにある粒子の数を減少させます。これは、上記のラダー演算子の定義、すなわち別の演算子（この場合は粒子数演算子）の固有値を増加または減少させるという要件を明確に満たしています。

混乱が生じるのは、 「ラダー演算子」という用語は通常、系の状態を記述する量子数を増減させる演算子を指すために用いられるためです。QFTの生成/消滅演算子を用いて粒子の状態を変化させるには、消滅演算子と生成演算子の両方を使用する必要があります。消滅演算子は粒子を初期状態から除去するために用いられ、生成演算子は粒子を最終状態に追加するために用いられます。

「ラダー演算子」あるいは「上昇演算子と下降演算子」という用語は、数学においても、リー代数、特にアフィン・リー代数の理論の文脈で用いられることがある。例えば、su(2)部分代数を記述するために、ルート系と最高重みのモジュールはラダー演算子を用いて構成することができる。^[1]特に、最高重みは上昇演算子によって消滅し、残りの正のルート空間は下降演算子を繰り返し適用することによって得られる（部分代数ごとにラダー演算子の1セット）。

数学からの動機

表現論の観点から見ると、連続実パラメータにおける半単純リー群の線型表現は、リー代数の生成元の集合を誘導する^[要説明]。それらの複雑な線型結合がラダー演算子である^[要説明] 。 各パラメータにはラダー演算子の集合があり、これらはルートシステムとルート格子の1次元をナビゲートするための標準化された方法である。^[2]量子調和振動子のラダー演算子、あるいは第二量子化の「数表現」は、この事実の特殊なケースに過ぎない。ラダー演算子は、角運動量演算子からコヒーレント状態、離散磁気並進演算子に至るまで、量子力学において遍在する。

一般的な定式化

2つの演算子XとNが、 あるスカラーcに対して交換関係にあると仮定する。がNの固有値方程式を持つ固有状態である場合、演算子Xは固有値をcだけシフトするように作用する。 $${\displaystyle [N,X]=cX}$$ ${\displaystyle {|n\rangle }}$ $${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

言い換えれば、 がNの固有値nを持つ固有状態である場合、 はNの固有値n + cを持つ固有状態、または 0 となります。演算子Xは、 cが実数かつ正の場合にはNの上乗せ演算子となり、cが実数かつ負の場合にはNの下乗せ演算子となります。 ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle X|n\rangle }$

Nがエルミート作用素ならば、cは実数でなければならず、Xのエルミート随伴項は交換関係に従う。 $${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

特に、XがNの下降演算子である場合、X ^†はNの上降演算子であり、その逆も同様です。^{[疑わしい–議論する]}

角運動量

ラダー演算子の概念の特別な応用は、角運動量の量子力学的扱いに見られる。J _x、J y _、 J _zの成分を持つ一般的な角運動量ベクトルJに対して、2つのラダー演算子^[3]が定義される。ここでiは虚数単位である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

任意の角運動量演算子の直交座標成分間の交換関係は次のように与えられます。ここで、ε _ijkはレヴィ・チヴィタ記号であり、i、j、kはそれぞれx、y、zのいずれかの値を取ることができます。 $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

これから、ラダー演算子とJ _zの間の交換関係が得られます。 (技術的には、これは のリー代数です)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

ラダー演算子の特性は、与えられた状態におけるJ _{z演算子のアクションをどのように変更するかを観察することによって決定できます。} $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

この結果を比較する $${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

したがって、 はあるスカラーに を掛けたものであることがわかります。 ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$ ${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

これは量子力学におけるラダー演算子の特徴、すなわち量子数を増加（または減少）させることで、ある量子状態を別の量子状態にマッピングすることを示しています。これが、これらの演算子がしばしば「上昇演算子」や「下降演算子」と呼ばれる理由です。

αとβの値を得るには、まず各演算子のノルムを取ります。その際、J ₊とJ _−はエルミート共役対 ( )であることを認識します。 ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

ラダー演算子の積は、交換可能なペアJ ²とJ _zで表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

したがって、| α | ²と | β | ²の値は、J ²とJ _zの固有値で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

αとβの位相は物理的に重要ではないため、正かつ実数として選択することができる（コンドン・ショートリー位相規約）。すると^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

mがj（）の値によって制限されることを確認すると、 ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

上記のデモンストレーションは、実質的にはクレプシュ・ゴルダン係数の構築です。

原子・分子物理学への応用

原子・分子系のハミルトニアンにおける多くの項は、角運動量演算子のスカラー積を含んでいます。一例として、超微細ハミルトニアンにおける磁気双極子項が挙げられます：^[5]ここで、Iは核スピンです。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

角運動量代数は、球面基底に書き直すことで簡略化できることが多い。球面テンソル演算子の表記を用いると、 J ⁽¹⁾ ≡ Jの「−1」、「0」、「+1」成分は^[6]で与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

これらの定義から、上記のスカラー積は次のように展開できることが示される。 $${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

この展開の重要性は、ハミルトニアンにおいてどの状態がこの項によって結合されているか、つまり、量子数がm _i = ±1 とm _j = ∓1だけ異なる状態が明確に示されることです。

調和振動子

ラダー演算子の概念のもう一つの応用は、調和振動子の量子力学的扱いに見られる。下げ演算子と上げ演算子は次のように定義できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

これらは、システムの微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出する便利な手段を提供します。

調和振動子のエネルギーレベルに適用されるラダー演算子: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

水素のような原子

文献にはラダー演算子を使用する主なアプローチが 2 つ記載されており、1 つはラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルを使用するもので、もう 1 つはハミルトニアンの因数分解を使用するものです。

ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル

ラダー演算子の概念のもう一つの応用は、水素のような原子やイオンの電子エネルギーの量子力学的取り扱いに見られる。ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルは、逆二乗球対称ポテンシャルのハミルトニアンと可換であり、このポテンシャルのラダー演算子を決定するために使用できる。^{[7] [8]古典的な}ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルに基づいて、下げ演算子と上げ演算子を定義できる。ここで、 は角運動量、は線型運動量、は系の換算質量、は電子電荷、は原子核の原子番号である。角運動量ラダー演算子と同様に、 および が成り立つ。 $${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$ ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$ ${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

続行するために必要な交換子は、およびであり、したがって、であり 、ここで「？」は、議論から生じる初期の量子数を示します。 $${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$ $${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$ $${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

パウリ方程式^{[9] [10]} IV:およびIII: が与えられ、方程式から始めて 展開すると、（他のすべての条件と一致する角運動量量子数の最大値であると仮定）が得られ、これは、 を意味するリュードベリの公式につながり、ここでは従来の量子数です。 $${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$ $${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$ $${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$ ${\displaystyle n}$

ハミルトニアンの因数分解

水素のようなポテンシャルのハミルトニアンは、球座標では と表すことができます。ここで、 、および実数かつ自己共役なラジアル運動量 です。 $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$ ${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$ $${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

がハミルトニアンの固有ベクトルで、が角運動量、 がエネルギーを表すとすると、となり、ハミルトニアンは とラベル付けできます。 ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l}}$ $${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

因数分解法は、微分方程式に対してインフェルドとハル^{[11]によって開発された。ニューマーチとゴールドイング[12]は}、演算子表記を用いてこれを球対称ポテンシャルに適用した。

ハミルトニアンの因数分解を次のように 演算子で見つけられると仮定する。 ${\displaystyle C_{l}}$

${\displaystyle C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l},}$

1

およびのスカラーと に対して。ベクトルはという2つの異なる方法で評価することができ、これは のように整理することができ、が の固有状態であり、固有値が で あることを示します。 の場合、 となり、状態と は同じエネルギーを持ちます。 $${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$ ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle G_{l}}$ ${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l+1}}$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$ ${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$ ${\displaystyle n'=n}$ ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

水素原子の場合、適切な方程式を と 設定すると、エネルギーが負の場合 （つまり、ある の場合）はラダー演算子に上限があり、方程式（ 1）から が成り立ち、 と同一視できる。 $${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$ $${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$ ${\displaystyle C_{l}}$ $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$ $${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

群論との関係

系に縮退が存在する場合、通常は関連する対称性の性質と群が存在する。同じ値だが異なる角運動量に対するエネルギー準位の縮退は、球対称クーロンポテンシャルのSO(4)対称性として同定されている。^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$

3D等方性調和振動子

3次元等方性調和振動子のポテンシャルは次のように与えられる。 $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

同様に因数分解法を使って管理することも可能です。

因数分解法

^{適切な因数分解は[12]}で与えられ、そしてこれを続けると、ハミルトニアン は次式からわかるように正のエネルギー準位のみを持つ。 これは、級数のある値に対しては必ず終了し、そして これはある値に対してでない限り、エネルギーが減少することを意味する。この値を とすれば、次式が得られる 。 $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$ $${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$ $${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$ $${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$ ${\displaystyle \omega \hbar }$ ${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

すると、解に再帰関係を与えると、 ${\displaystyle n'=n-1}$ $${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

角運動量による縮退があり、振動子ポテンシャルによる追加の縮退もあります。状態を考慮し、下降演算子を適用すると、 エネルギーは同じですが2ずつ減少するシーケンスが得られます。角運動量の縮退に加えて、これは^{[15]の全体の縮退を与えます。} ${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

群論との関係

3次元等方調和振動子の退化は特殊ユニタリー群SU(3)と関連している^{[15] [16]}

歴史

多くの文献では、ラダー演算子の発明者はポール・ディラックであるとされている。 ^[17]ディラックによるラダー演算子の使用は、全角運動量量子数が ħの非負の半整数倍である必要があることを示している。 ${\displaystyle j}$

参照

• シュヴァレー基底
• 生成と消滅の演算子

参考文献

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