着陸地点

着陸フットプリント（着陸楕円とも呼ばれる）とは、宇宙船の天体への着陸地点の不確実性領域である。大気圏突入後、宇宙船の着陸地点は、制御の程度（ある場合）、突入角度、突入質量、大気条件、および抗力によって決まる。（月と小惑星には空気因子がないことに注意。）こうした多数の変数を統合することで、宇宙船の着陸地点をある程度の精度でモデル化することが可能になる。様々な条件下での突入をシミュレートすることで、確率楕円を計算することができる。楕円の大きさは、与えられた信頼区間における不確実性の度合いを表す。^[1]

数学的な説明

宇宙船の着陸地点を作成する標準的な方法は、モンテカルロ法を使用して初期突入条件と大気パラメータの分布を生成し、再突入の運動方程式を解き、着陸時の最終的な経度/緯度のペアをカタログ化することです。^[2]^{[3]結果として得られる着陸地点の分布は、}2変量ガウス分布に従うと一般的に想定されています。 $(\lambda ,\phi )$

f(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\Sigma |}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right]

どこ：

$x=(\lambda ,\phi )$ 経度/緯度のペアを含むベクトルである
$\mu$ 期待値ベクトル
$\Sigma$ 共分散行列である
$|\Sigma |$ 共分散行列の行列式を表す

数値シミュレーションからパラメータが推定されると、パーセンタイルの楕円を計算できます。多変量ガウス分布に従う実数値ベクトルの場合、マハラノビス距離の2乗は自由度のカイ2乗分布に従うことが知られています。 $(\mu ,\Sigma )$ $p$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $n$

(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\sim \chi _{n}^{2}

これはベクトルを定義することで確認でき、これはとなり、は結果として得られる分布を構築するために用いられるカイ二乗統計量の定義です。したがって、二変量ガウス分布の場合、与えられたパーセンタイルにおける楕円の境界はとなります。これは、原点を中心とし半径の円の方程式であり、以下の方程式が導かれます。 $z=\Sigma ^{-1/2}(x-\mu )$ $Q=z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}$ $z^{T}z=\chi _{2}^{2}(p)$ ${\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}$

z={\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\Rightarrow x(\theta )=\mu +{\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}\Sigma ^{1/2}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}

ここでは角度です。行列の平方根は共分散行列の固有値分解から求められ、次のように表されます。 $\theta \in [0,2\pi )$ $\Sigma ^{1/2}$ $\Sigma$

\Sigma =V\Lambda V^{T}\implies \Sigma ^{1/2}=V\Lambda ^{1/2}V^{T}

ここで、固有値はの対角線上にあります。の値は、パーセンタイルの選択によって表される、与えられた信頼度レベルにおける着陸フットプリントを定義します。 $\Lambda$ $x$

参照

参考文献

^ Lakdawalla, Emily (2008年5月13日). 「Landing Ellipse」. 惑星協会. 2018年5月7日閲覧。
^ ジェフ・トゥーリー、ダニエル・ライオンズ、プラスン・デサイ、ジェフリー・ワルジニアク (2006年8月21日). 「スターダスト突入：ミッション計画と運用における着陸と人口危険」. AIAA/AAS アストロダイナミクス・スペシャリスト会議・展示会. アメリカ航空宇宙学会. doi :10.2514/6.2006-6412. hdl : 2060/20070022844 . ISBN 978-1-62410-048-2。
^ Golombek, M.; Kipp, D.; Warner, N.; Daubar, IJ; Fergason, R.; Kirk, RL; Beyer, R.; Huertas, A.; Piqueux, S.; Putzig, NE; Campbell, BA; Morgan, GA; Charalambous, C.; Pike, WT; Gwinner, K. (2017-10-01). 「インサイト着陸地点の選定」 . Space Science Reviews . 211 (1): 5– 95. doi :10.1007/s11214-016-0321-9. ISSN 1572-9672.

[1] Lakdawalla, Emily (2008年5月13日). 「Landing Ellipse」. 惑星協会. 2018年5月7日閲覧。

[2] ジェフ・トゥーリー、ダニエル・ライオンズ、プラスン・デサイ、ジェフリー・ワルジニアク (2006年8月21日). 「スターダスト突入：ミッション計画と運用における着陸と人口危険」. AIAA/AAS アストロダイナミクス・スペシャリスト会議・展示会. アメリカ航空宇宙学会. doi :10.2514/6.2006-6412. hdl : 2060/20070022844 . ISBN 978-1-62410-048-2。

[3] Golombek, M.; Kipp, D.; Warner, N.; Daubar, IJ; Fergason, R.; Kirk, RL; Beyer, R.; Huertas, A.; Piqueux, S.; Putzig, NE; Campbell, BA; Morgan, GA; Charalambous, C.; Pike, WT; Gwinner, K. (2017-10-01). 「インサイト着陸地点の選定」 . Space Science Reviews . 211 (1): 5– 95. doi :10.1007/s11214-016-0321-9. ISSN 1572-9672.