ブラヴェ格子

幾何学と結晶学の点配列

7つの格子系と3次元におけるブラヴェ格子

幾何学と結晶学において、ブラヴェ格子はオーギュスト・ブラヴェ （1850）にちなんで名付けられ、 ^[1] 、 3次元空間で記述された一連の離散的な並進操作によって生成される離散点の無限配列である。

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$

ここで、n _iは任意の整数、a _iは原始並進ベクトル、または原始ベクトルであり、これらは異なる方向（必ずしも互いに直交する必要はない）に存在し、格子を張る。与えられたブラヴェ格子における原始ベクトルの選択は一意ではない。ブラヴェ格子の基本的な特徴は、任意の方向を選択しても、その方向を見たときに、離散格子点のそれぞれから格子が全く同じに見えることである。

ブラヴェ格子の概念は、結晶構造とその（有限の）境界を形式的に定義するために使用されます。結晶は、各格子点における基底またはモチーフと呼ばれる1つ以上の原子で構成されています。基底は、原子、分子、または固体のポリマー鎖で構成され、格子は基底の位置を提供します。

2つのブラヴェ格子は、同型対称群を持つ場合、しばしば同値とみなされる。この意味で、2次元空間には5つ​​のブラヴェ格子が存在し、3次元空間には14のブラヴェ格子が存在する。ブラヴェ格子の14の対称群は、230の空間群のうちの14である。空間群の分類において、ブラヴェ格子はブラヴェ類、ブラヴェ算術類、またはブラヴェ群とも呼ばれる。^[2]

単位セル

結晶学には、隣接する格子点間の空間と、その空間内の原子を含む単位格子という概念があります。単位格子とは、 によって記述されるすべてのベクトルの部分集合に沿って平行移動させたときに、格子空間を重なりや隙間なく埋める空間として定義されます。（つまり、格子空間は単位格子の倍数です。）^[3] ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

ユニットセルには主に2種類あります。プリミティブユニットセルとコンベンショナルユニットセルです。プリミティブセルは格子（または結晶）の最小単位であり、格子移動操作を用いて積み重ねることで、格子（または結晶）全体を再現します。^[4]移動は、移動後も格子が変化しないように見える格子移動操作でなければならないことに注意してください。任意の移動が許容される場合、例えば、プリミティブセルを実際のセルの半分のサイズにして、移動頻度を2倍にすることができます。

格子変換操作を回避しながらプリミティブセルのサイズを定義する別の方法は、プリミティブセルとは、格子（または結晶）全体を再現するために繰り返し使用できる、かつ正確に1つの格子点を含む、格子（または結晶）の最小の構成要素である、というものです。どちらの定義においても、プリミティブセルはその小さなサイズによって特徴付けられます。

積み重ねることで格子全体を再現できるセルの選択肢は明らかに多数存在します（例えば、格子の半分を2つ重ねるなど）。そして、プリミティブセルは、その最小サイズ要件によって、他の有効な繰り返し単位と区別されます。格子または結晶が2次元の場合、プリミティブセルは最小面積を持ちます。同様に、3次元の場合、プリミティブセルは最小体積を持ちます。

この厳格な最小サイズ要件にもかかわらず、基本単位胞の唯一の選択肢は存在しません。実際、基本並進ベクトルを境界とするすべての単位胞は基本単位胞となります。与えられた格子に対して基本並進ベクトルの唯一の選択肢が存在しないという事実は、基本単位胞の多様な可能性につながります。一方、従来の単位胞は必ずしも最小サイズの単位胞ではありません。それらは単に便宜上選択されたものであり、説明のために用いられることが多いです。それらは緩く定義されています。

原始単位胞

基本単位格子は、与えられた結晶の体積が最小の単位格子として定義される。 （結晶は格子と、格子点ごとに基底を持つ。） 最小のセル体積を持つためには、基本単位格子は、（1）格子点を1つだけ含み、（2）基底構成要素の数が最小限（例えば、基底内の原子の数が最小限）でなければならない。 前者の要件に関しては、単位格子内の格子点の数を数えることは、格子点がその格子点の周りのm個の隣接単位格子によって共有されている場合、その点は1/ mとして数えられる。 後者の要件は、格子と基底の複数の組み合わせで記述できる結晶が存在するために必要である。例えば、あらゆる格子点に1種類の原子が位置する格子（最も単純な基底形式）として見られる結晶は、2つの原子の基底を持つ格子としても見られる。この場合、基本単位格子とは、単位格子体積を最小にするために結晶を記述する最初の方法において格子点を 1 つだけ持つ単位格子のことです。

ある結晶に対してプリミティブセルを選択する方法は複数あり、それぞれの選択によってプリミティブセルの形状は異なりますが、プリミティブセルの体積はどの選択でも同じです。また、プリミティブ単位セルと関連する格子上の離散格子点との間に1対1の対応関係が確立できるという特性があります。ある結晶に対して異なる形状を持つすべてのプリミティブ単位セルは、定義により同じ体積を持ちます。ある結晶において、nを格子点の密度とし、基本構成要素の最小量を確保する場合、vを選択されたプリミティブセルの体積とすると、nv = 1となり、 v = 1/ nとなり、すべてのプリミティブセルの体積は1/ nと同じになります。^[3]

与えられた結晶のあらゆる可能な原始格子の中で、明らかに原始格子となるのは、選択された原始並進ベクトルの集合によって形成される平行六面体である。（ここでも、これらのベクトルは、最小量の基底構成要素を持つ格子を形成する必要がある。）^[3]つまり、とが選択された原始ベクトルとなるすべての点の集合である。この原始格子は、必ずしも与え​​られた結晶の明確な対称性を示すとは限らない。このような場合、結晶の対称性を容易に示す従来の単位格子がしばしば用いられる。従来の単位格子の体積は、原始単位格子の体積の整数倍となる。 ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}<1}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

概念の起源

2次元では、任意の格子は、2つの基本並進ベクトルの長さとそれらの間の角度によって指定できます。このように記述できる格子の数は無限にあります。異なるタイプの格子を分類する何らかの方法が求められています。その1つの方法は、一部の格子が固有の対称性を持つことを認識することです。基本並進ベクトルの長さとそれらの間の角度に条件を課すことで、さまざまな対称格子を生成できます。これらの対称性自体は、点群（鏡映対称性、反転対称性、回転対称性を含む）や並進対称性など、さまざまなタイプに分類されます。したがって、格子は、どの点群または並進対称性が適用されるかに基づいて分類できます。

2次元において、最も基本的な点群は、2πとπ、つまり1回と2回の回転対称性の下での回転不変性に対応します。これは実際にはすべての2次元格子に自動的に適用され、最も一般的な点群です。この群に含まれる格子（技術的にはすべての格子ですが、慣習的には他の点群のいずれにも属さないすべての格子）は斜格子と呼ばれます。そこから、並進要素を持つ点群の組み合わせ（または、基本並進ベクトルの長さ/角度に対する4種類の制約）がさらに4つあり、これらは残りの4つの格子カテゴリ（正方格子、六角形格子、長方形格子、中心長方形格子）に対応します。したがって、2次元には合計5つのブラヴェ格子が存在します。

同様に、3次元では14種類のブラヴェ格子が存在します。1つは一般的な「ゴミ箱」カテゴリ（三斜晶系）で、もう1つはその他のカテゴリです。これらの14種類の格子は、点群によって7つの格子系（三斜晶系、単斜晶系、斜方晶系、正方晶系、立方晶系、菱面体晶系、六方晶系）に分類されます。

2次元では

二次元空間には5つ​​のブラヴェ格子^{[5]があり、以下の表に示すように4つの}格子系に分類されます。各図の下には、そのブラヴェ格子のピアソン記号が示されています。

注:以下の表の単位格子図では、格子点は黒丸で示され、単位セルは黒枠で囲まれた平行四辺形（正方形または長方形）で示されています。各平行四辺形の4つの頂点はそれぞれ格子点に接続されていますが、4つの格子点のうち1つだけが特定の単位セルに属し、他の3つの格子点はそれぞれ隣接する単位セルのいずれかに属します。これは、格子点の黒丸をすべて固定したまま、単位セルの平行四辺形をわずかに左とわずかに下に移動することを想像することで確認できます。

格子システム	点群 (シェーンフライス記法)	5つのブラヴェ格子
		プリミティブ（p）	中央揃え（c）
単斜晶系（m）	C 2	斜筋 （mp）
斜方晶系（o）	D2​	長方形 （op）	中央揃えの長方形 （oc）
正方晶（t）	D4​	スクエア （tp）
六角形（h）	D6​	六角形 （hp）

単位格子は、格子辺の相対的な長さ（aとb）と、それらの間の角度（θ ）によって規定されます。単位格子の面積は、ノルム ‖a × b‖を計算することで計算できます。ここで、aとbは格子ベクトルです。格子系の特性は以下のとおりです。

格子システム	エリア	軸方向距離（辺の長さ）	軸角
単斜晶系	${\displaystyle ab\,\sin \theta }$
斜方晶系	${\displaystyle ab}$		θ = 90°
正方晶	${\displaystyle a^{2}}$	a = b	θ = 90°
六角	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}}$	a = b	θ = 120°

3次元で

ダイヤモンド立方格子の2×2×2単位格子

三次元空間には14種類のブラヴェ格子が存在する。これらは、7種類の格子系とセンタリングタイプのいずれかを組み合わせることで得られる。センタリングタイプは、単位格子内の格子点の位置を以下のように特定する。

• プリミティブ（P）：セルの角のみの格子点（シンプルとも呼ばれる）
• 底心（S: A、B、または C）: 格子点はセルの角にあり、セルの平行面のペアの各面の中心に 1 つの追加点があります（端心と呼ばれることもあります）。
• 体心（I）：格子点はセルの角にあり、セルの中心に1つの追加点がある
• 面心（F）：セルの角に格子点を配置し、セルの各面の中心に1つの追加点を配置します。

格子系と中心化の種類のすべての組み合わせは、すべての可能な格子を記述するのに必要というわけではありません。なぜなら、これらのいくつかは実際には互いに等価であることが示されるからです。例えば、単斜晶系I格子は、結晶軸の選択を変えることで単斜晶系C格子で記述できます。同様に、すべてのA中心またはB中心格子は、C中心またはP中心のいずれかで記述できます。これにより、組み合わせの数は14種類の従来のブラヴェ格子にまで削減され、以下の表に示されています。^{[6] : 744}各図の下には、そのブラヴェ格子のピアソン記号が示されています。

注:次の表の単位格子図には、セル境界 (コーナーと面) 上のすべての格子点が表示されていますが、これらの格子点のすべてが厳密には特定の単位格子に属するわけではありません。これは、格子点を固定したまま単位格子を各軸の負の方向にわずかに移動することを想像するとわかります。大まかに言えば、これは単位格子をわずかに左、わずかに下、わずかに画面外に移動することと考えることができます。これは、8 つのコーナー格子点のうち 1 つ (具体的には前面、左側、下部) だけが特定の単位格子に属している (他の 7 つの格子点は隣接する単位格子に属している) ことを示しています。さらに、底心列の上部と下部の面に表示されている 2 つの格子点のうち 1 つだけが特定の単位格子に属しています。最後に、面心列の面にある 6 つの格子点のうち 3 つだけが特定の単位格子に属しています。

クリスタルファミリー	格子システム	点群 (シェーンフライス記法)	点群 (ヘルマン・モーガン表記)	14 ブラヴェ格子
				プリミティブ（P）	底辺中心（S）	身体中心（I）	面心（F）
三斜晶系（a）		C i	${\displaystyle {\bar {1}}}$	ap
単斜晶系（m）		C 2時間	${\displaystyle 2/m}$	mP	MS
斜方晶系（o）		D 2時間	${\displaystyle mmm}$	oP	oS	oI	の
正方晶（t）		D 4時間	${\displaystyle 4/mmm}$	tP		私
六角形（h）	菱面体	D 3d	${\displaystyle {\bar {3}}m}$	hR
	六角	D 6時間	${\displaystyle 6/mmm}$	hP
立方体（c）		おお​	${\displaystyle m{\bar {3}}m}$	cP		cI	cF

単位格子は、格子辺の相対的な長さ（a、b、c）とそれらの間の角度（α、β、γ ）からなる6つの格子定数によって規定されます。ここで、αはbとcの間の角度、βはaとcの間の角度、γはaとbの間の角度です。単位格子の体積は、三重積a・（b × c）を求めることで計算できます。ここで、 a、b、cは格子ベクトルです。格子系の特性は以下のとおりです。

クリスタルファミリー	格子システム	音量	軸方向距離（辺の長さ）[6] : 758	軸角[6]	対応する例
三斜晶系		${\displaystyle abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}$			K 2 Cr 2 O 7、CuSO 4 ·5H 2 O、H 3 BO 3
単斜晶系		${\displaystyle abc\,\sin \beta }$		α = γ = 90°	単斜晶系硫黄、Na 2 SO 4 ·10H 2 O、PbCrO 3
斜方晶系		${\displaystyle abc}$		α = β = γ = 90°	菱形硫黄、KNO 3、BaSO 4
正方晶		${\displaystyle a^{2}c}$	a = b	α = β = γ = 90°	白錫、SnO 2、TiO 2、CaSO 4
六角	菱面体	${\displaystyle a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}}$	a = b = c	α = β = γ	方解石（CaCO 3）、辰砂（HgS）
	六角	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}c}$	a = b	α = β = 90°、γ = 120°	グラファイト、ZnO、CdS
キュービック		${\displaystyle a^{3}}$	a = b = c	α = β = γ = 90°	NaCl、閃亜鉛鉱、銅、KCl、ダイヤモンド、銀

3次元における格子系とブラヴェ格子に関する基本情報は、このページ冒頭の図にまとめられています。7辺の多角形（七角形）と中央の数字「7」は、7つの格子系を表しています。内側の七角形は、それぞれの格子系の格子角、格子定数、ブラヴェ格子、そしてシェーンフライ表記法を表しています。

4次元で

4次元には64個のブラヴェ格子が存在する。このうち23個は原始格子、41個は中心格子である。10個のブラヴェ格子は鏡像対に分割される。^[7]

参照

• クリスタル習慣
• 結晶系
• アインシュタインの問題
• X線以前の幾何学的結晶学
• ミラー指数
• 逆格子
• 変換演算子（量子力学）
• 並進対称性
• ゾーン軸

参考文献

1. Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). 「Historical Introduction」. International Tables for Crystallography . A1 (1.1): 2– 5. CiteSeerX  10.1.1.471.4170 . doi :10.1107/97809553602060000537. 2013年7月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年4月21日閲覧。
2. 「ブラヴェ級」.オンライン結晶学辞典. IUCr . 2019年8月8日閲覧。
3. アシュクロフト, ニール; マーミン, ナサニエル (1976).固体物理学. サンダース大学出版. pp.  71– 72. ISBN 0030839939。
4. Peidong Yang (2016). 「材料と固体化学（コースノート）」（PDF） . カリフォルニア大学バークレー校. Chem 253.
5. キッテル、チャールズ (1996) [1953]. 「第1章」.固体物理学入門（第7版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. 2008年4月21日閲覧。
6. Hahn, Theo編 (2002). 国際結晶学表 A巻：空間群対称性. A巻（第5版）. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7。
7. ブラウン、ハロルド; ビューロー、ロルフ; ノイビューザー、ヨアヒム; ウォンドラッチェク、ハンス;ザッセンハウス、ハンス(1978)、「4次元空間の結晶学的群」、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス [ジョン・ワイリー＆サンズ]、ISBN 978-0-471-03095-9、MR  0484179

さらに読む

• ブラベ、A. (1850)。 「Mémoire sur les systèmes formés par les point distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace」[平面または空間上に規則的に分布した点によって形成されるシステムに関する回想録]。J. エコール ポリテック（フランス語で）。19 : 1-128 .(英訳: Memoir 1、アメリカ結晶学会、1949年)。

外部リンク

• 格子カタログ（ネーベとスローン著）
• スミス、ウォルター・フォックス（2002年）「ブラヴェ格子の歌」

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