派生関数

Homological construction in category theory

数学、特に圏論においては、特定の関数を導出することで、元の関数に密接に関連する他の関数を得ることができる。この操作はかなり抽象的ではあるが、数学全体にわたる多くの構成を統一するものである。

モチベーション

様々な全く異なる状況において、短い完全列がしばしば「長い完全列」を生み出すことが指摘されている。導来関手はこれらの観察の多くを明確化し、一般化する。

2つのアーベル圏との間の共 変左完全関手 が与えられているとする。もし ${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

が の短い完全シーケンスである場合、 を適用すると完全シーケンスが生成される。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$、

そして、このシーケンスを右に続けて長い正確なシーケンスを形成するにはどうすればよいかという疑問が生じるかもしれません。

厳密に言えば、この質問は不適切です。なぜなら、与えられた正確な列を右に続ける方法は常に無数に存在するからです。しかし、 が「十分に良い」場合、の右導来関手によって与えられる標準的な方法が1つ存在します。任意の に対して、関手 が存在し、上記の列は次のように続きます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \cdots }$

このことから、 が正確な関数である場合、かつ の場合に限り であることがわかります。したがって、ある意味では、 の右導関数は「どのくらい遠いか」を測るのが正確ではありません。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R^{1}F=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

上記の短完全列内のオブジェクトが単射である場合、列はを分割します。分割された列に任意の加法関数を適用すると分割された列が生成されるため、特に となります。右導来関数（ の場合）は単射に対してはゼロです。これが、以下に示す構成の理由です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R^{1}F(A)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

建設と最初の不動産

アーベル範疇Aに関して必要な重要な仮定は、それが十分な数の入射オブジェクトを持つということです。つまり、A内のすべてのオブジェクトAに対して、 IがA内の入射オブジェクトである単射A → I が存在するということです。

共変左完全関手F  : A → Bの右導来関手は次のように定義される。AのオブジェクトXから始める。十分な数の単射が存在するので、次のような長完全列を構築できる。

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

ここで、I ⁱはすべて単射である（これはXの単射的解決として知られている）。この列に関数Fを適用し、最初の項を切り落とすと、コチェーン複体が得られる。 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

注意：これは一般には正確な列ではなくなりました。しかし、 i番目のスポット（ F ( I ⁱ ) からF ( I ⁱ )への写像の像を法とした写像の核）でのコホモロジーを計算することができます。結果をR ⁱ F ( X ) と呼びます。もちろん、さまざまなことを確認する必要があります。結果はXの与えられた単射解決に依存せず、任意の射X → Yは自然に射R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ) を生み出すため、実際に関数が得られます。左正確性とは、 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) が正確であることを意味することに注意してください。したがって、R ⁰ F ( X ) = F ( X ) であり、 i >0の場合にのみ興味深い結果になります。

(技術的には、 Fの明確に定義された導関数を生成するには、 Aのすべてのオブジェクトに対して単射解決を固定する必要があります。この単射解決の選択により、関数R ⁱ Fが生成されます。解決の異なる選択は自然に同型関数を生成するため、最終的には選択はそれほど重要ではありません。)

前述の短完全列を長完全列に変換する性質は、蛇の補題の帰結である。これは、導来関手の集合がδ関手であることを意味する。

X自体が単射である場合、0 → X → X → 0という単射解決を選択でき、すべてのi ≥ 1 に対してR ⁱ F ( X ) = 0 が得られます。実際には、この事実は長完全列特性とともに、右導出関数の値を計算するためによく使用されます。

R ⁱ F ( X )を計算する同等の方法は次のとおりです。上と同様にXの単射分解を取り、K ^{i を}I ^{i -1} → I ⁱ（i =0 の場合、I ^{i -1} =0 と定義）の写像とします。これはI ⁱ → I ^{i +1}の核と同じです。 φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱを対応する全射写像とします。すると、R ⁱ F ( X ) はF (φ _i )の余核になります。

バリエーション

共変右完全関手から始め、カテゴリAに十分な射影関数が存在する場合（つまり、Aの任意の対象に対して射影対象となるような射影写像が存在する場合）、同様に左導来関手を定義することができる。Aの対象に対して、まず以下の形の射影分解を構築する 。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\rightarrow A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{i}G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

ここで は射影的です。この数列に適用し、最後の項を切り落とし、ホモロジーを計算すると が得られます。前述と同様に、 です。 ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L_{i}G(X)}$ ${\displaystyle L_{0}G(X)=G(X)}$

この場合、長い正確なシーケンスは右ではなく「左」に増加します。

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

に変換されます

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$。

左導関数はすべての射影オブジェクト上でゼロになります。

反変左完全関数から始めることもできる。その場合、結果として得られる右導来関数も反変となる。短完全列 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

は長完全列に変換される

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

これらの右導関数は射影的にはゼロなので、射影解析によって計算されます。

例

• がアーベル圏であるならば、その射の圏もまたアーベルである。各射をその核に写す関手は左完全である。その右導来関手は以下の通りである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$ ${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

双対的に、関数は右完全であり、その左導関数は ${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

これは、ヘビの補題の現れです。

ホモロジーとコホモロジー

層コホモロジー

が位相空間である場合、上のアーベル群のすべての層の圏は、十分な入射項を持つアーベル圏である。そのような各層に大域切断群を割り当てる関数は左完全であり、右導来関数は層コホモロジー関数であり、通常は と表記される。もう少し一般的に言えば、が環空間である場合、 -加群のすべての層の圏は十分な入射項を持つアーベル圏であり、再び層コホモロジーを大域切断関数の右導来関数として構成することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Sh(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

この特別なケースとして、コホモロジーのさまざまな概念があります。

• ド・ラーム・コホモロジーは、多様体上の局所定数 値関数の層の層コホモロジーである。ド・ラーム複体は、この層を、入射層ではなく細層によって分解したものである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• エタールコホモロジーは、スキーム上の層のもう一つのコホモロジー理論である。これは、エタールサイト上のアーベル層の大域切断の右導来関手である。

Ext関数

が環の場合、すべての左-加群の圏は、十分な数の単射を持つアーベル圏となる。が固定左-加群の場合、関数 は左完全であり、その右導来関数はExt 関数である。あるいは、 は右完全関数 の左導来関数として得ることもできる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

コホモロジーのさまざまな概念は、Ext 関数の特殊なケースであり、したがって導出関数でもあります。

• 群コホモロジーとは不変関数の右導来関数であり(ここでは自明な- 加群)と同じである。 ${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• ある可換環上のリー代数のリー 代数コホモロジーは不変量関数の右導来関数であり、（ここでもは自明な- 加群であり、の普遍包絡代数であると同じであるしたがって。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• ある-代数のホックシルトコホモロジーとは、双加群をその中心に写す不変量の右導来関手であり、その不変量集合とも呼ばれ、（ここでは の包絡代数で、は通常の左右の乗算により -双加群とみなされる）と同じである、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$ ${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

Tor関数

左 -加群のカテゴリにも十分な射影関数が存在する。が固定右-加群の場合、とのテンソル積は右完全共変関数 を与える。加群のカテゴリには十分な射影関数が存在するため、左導関数は常に存在する。テンソル関数の左導関数はTor 関数である。は の左導関数として対称的に定義できる。実際、両方の定義を組み合わせてを の左導関数として定義することもできる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$ ${\displaystyle -\otimes B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$ ${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

これには、ホモロジーのいくつかの概念が特殊なケースとして含まれます。これは、Ext関手とコホモロジーの状況とよく似ています。

• 群ホモロジーとは、 と同じ共変量を取る の左導来関手です。 ${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• リー代数ホモロジーとは、と同じ共変量を取る の左導来関手です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$ ${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• ホッホシルトホモロジーとは、と同じ共変量を取る の左導来関手である。 ${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$ ${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

個々の左導来関手を取る代わりに、テンソル関手の全導来関手を取ることもできます。これにより、導来テンソル積 が生じます。ここで、は導来カテゴリです。 ${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$ ${\displaystyle D}$

自然さ

導関数と長完全列は、いくつかの技術的な意味で「自然」です。

まず、次の形の可換図式が与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

（行が正確である場合）、結果として得られる 2 つの長い正確なシーケンスは、交換可能な平方によって関連付けられます。

次に、 η : F → Gが左完全関数Fから左完全関数Gへの自然変換であると仮定する。すると、自然変換R ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ Gが誘導され、R ⁱはAからBへのすべての左完全関数の関数圏から、 AからBへのすべての関数の完全関数圏への関数となる。さらに、この関数は長完全列と以下の意味で両立する。

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

は短完全列であり、可換図式である。

が誘発されます。

これら両方の自然性は、スネーク補題によって提供されるシーケンスの自然性から生じます。

逆に、導出関数の次の特徴付けが成り立ちます。上記を満たす関数R ⁱ : A → Bの族が与えられ、短い完全シーケンスを長い完全シーケンスにマッピングし、 Aのすべての注入オブジェクトIに対して、すべての正のiに対してR ⁱ ( I )=0である場合、これらの関数はR ⁰の右導出関数です。

一般化

導出関数に対するより現代的な（そしてより一般的な）アプローチでは、導出カテゴリの言語を使用します。

1968 年、Quillen はモデル カテゴリの理論を展開しました。これは、ファイブレーション、コファイブレーション、および弱同値性の抽象カテゴリ理論システムを提供します。通常、弱同値性に対して局所化することによって得られる基礎となるホモトピー カテゴリに興味があります。Quillen随伴は、モデル カテゴリ間の随伴であり、ホモトピー カテゴリ間の随伴につながります。たとえば、位相空間のカテゴリと単体集合のカテゴリはどちらも、神経随伴と実現随伴によって実際にホモトピー カテゴリの同値である Quillen 随伴を与える Quillen モデル構造を許容します。モデル構造内の特定のオブジェクトには、「ファイブラント」オブジェクトと「コファイブラント」オブジェクトという「優れた特性」（特定の射に対するリフトの存在に関する）があり、すべてのオブジェクトは、ファイブラント-コファイブラント「解決」と弱同値です。

もともと位相空間のカテゴリーを扱うために開発されたが、Quillen モデル構造は数学のさまざまな場所で登場する。特に、任意のアーベルカテゴリー (位相空間またはスキーム上のモジュールの層など) からの連鎖複体のカテゴリーは、ホモロジーを保存する連鎖複体間の射を弱同値とするモデル構造を許容する。多くの場合、2 つのそのようなモデルカテゴリーの間には、“良い” (フィブラントまたはコフィブラント) オブジェクト のサブカテゴリー内で弱同値を保存する関手 (たとえば、アーベル層の複体をアーベル群の明らかな複体に送る大域セクション関手)がある。最初にオブジェクトのフィブラントまたはコフィブラント解決を取り、次にその関手を適用することで、弱同値は常に保存されるように (したがってホモトピーカテゴリーから関手に下降するように) カテゴリー全体に拡張することに成功した。これが「導来関手」である。例えば、層コホモロジーの「導来関手」は、この導来関手の出力のホモロジーである。これを、ホモロジーに集中した複体として自明に解釈されるアーベル群の層に適用すると、大域切断関手がそのような弱同値性を維持できないこと、つまり「正確性」が保たれないことが測定される。モデル構造の一般理論は、この構成の一意性（フィブラント分解やコフィブラント分解の選択などに依存しないこと）を示している。

参考文献

• マニン、ユーリ・イワノビッチ; Gelfand, Sergei I. (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-43583-9
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .

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