コンピュータサイエンスでは、 「let」式は 関数 定義を制限された スコープ に関連付けます 。
「let」式は 数学 でも定義され、ブール条件を制限された範囲に関連付けます。
"let" 式は、 値に適用された ラムダ抽象化 と見なすことができます。数学においては、let 式は、変数のスコープを制限する 存在量指定子 内の式の 連言と見なすこともできます。
多くの関数型言語では、let式を用いて式のローカル定義を行い、別の式の定義に利用することができます。let式は、一部の関数型言語ではletまたは「let rec」という2つの形式で存在します。let recは、 固定小数点コンビネータを用いて 再帰を 実装する、単純なlet式の拡張版です 。
歴史 ダナ・スコット の LCF言語 [1] は、ラムダ計算が現代の関数型言語へと進化する過程の一段階でした。この言語はlet式を導入し、これはそれ以降のほとんどの関数型言語に見られるようになりました。
Scheme [ 2]、 ML 、そして最近では Haskell [3] などの言語は 、LCFからlet式を継承しています。
ALGOL や Pascal などの状態を持つ命令型言語は、 基本的にlet式を実装して、ブロック構造で関数のスコープを制限します。 [ 引用が必要 ]
密接に関連する「 where 」節とその再帰的な変種である「 where rec 」は、 ピーター・ランディン の 「式の機械的評価」 にすでに登場している 。 [4]
説明 「let」式は、別の式で使用する関数または値を定義します。多くの 関数型プログラミング言語で使用される構造であるだけでなく、数学のテキストでもよく使用される自然 言語構造 でもあります 。これは、where句の代替構文構造です。
Let式 where句 させて
a = 3 {\displaystyle a=3} そして
b = 4 {\displaystyle b=4} で
a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} どこ
a = 3 {\displaystyle a=3} そして
b = 4 {\displaystyle b=4}
どちらの場合も、全体の構造は値が 5 である式です。if -then-else と同様に、式によって返される型は必ずしもブール値ではありません。
let式には主に4つの形式があります。
形状 そして 再帰的 定義 / 制約 説明 単純 いいえ いいえ 意味 単純な非再帰関数の定義。 再帰的 いいえ はい 意味 再帰関数の定義（ Y コンビネータ を使用して実装）。 共通の はい はい 意味 相互再帰関数の定義。 数学 はい はい 制約 一般的なブール let 条件をサポートする数学的な定義。
関数型言語では、 let 式は式の中で呼び出すことができる関数を定義します。関数名のスコープはlet式の構造に限定されます。
数学において、let式は式に対する制約条件を定義します。この構文は、let式に局所的な存在量化変数の宣言をサポートする場合もあります。
用語、構文、意味論は言語によって異なります。Schemeでは 、 単純 形式では let 、再帰形式では let recが使用されます。MLでは、 letは 宣言ブロックの開始のみを示し、 funは 関数定義の開始を示します。Haskellでは、 letは 相互再帰になる可能性があり、コンパイラが必要な処理を判断します。
意味 ラムダ 抽象は、 名前のない関数を表します。これがラムダ抽象の定義における 矛盾の原因 です。しかし、ラムダ抽象は名前付きの関数を表すように構成することもできます。この形式では矛盾は解消されます。ラムダ項は、
( λ f . z ) ( λ x . y ) {\displaystyle (\lambda f.z)\ (\lambda x.y)} は、式 で 関数 を定義することと同等であり 、 let 式として記述することもできます。 f {\displaystyle f} f x = y {\displaystyle f\ x=y} z {\displaystyle z}
let f x = y in z {\displaystyle \operatorname {let} f\ x=y\operatorname {in} z} let 式は自然言語式として理解可能です。let 式は変数を値に置き換えることを表します。置換規則は、等号が置換としてどのような意味を持つかを記述します。
数学における定義 数学 において、 let 式 は式の連言として記述されます。関数型言語では、let式はスコープを制限するためにも用いられます。数学では、スコープは量指定子によって記述されます。let式は存在量指定子内の連言です。
( ∃ x E ∧ F ) ⟺ let x : E in F {\displaystyle (\exists xE\land F)\iff \operatorname {let} x:E\operatorname {in} F} ここで、 E と F はブール型です。
let式は 、 置換を別の式に適用することを可能にします。この置換は、限定されたスコープ内、つまり部分式に適用できます。let 式の自然な使い方は、限定されたスコープ（ ラムダドロップ と呼ばれる）への適用です。以下の規則は、スコープの制限方法を定義します。
{ x ∉ FV ( E ) ∧ x ∈ FV ( F ) ⟹ let x : G in E F = E ( let x : G in F ) x ∈ FV ( E ) ∧ x ∉ FV ( F ) ⟹ let x : G in E F = ( let x : G in E ) F x ∉ FV ( E ) ∧ x ∉ FV ( F ) ⟹ let x : G in E F = E F {\displaystyle {\begin{cases}x\not \in \operatorname {FV} (E)\land x\in \operatorname {FV} (F)\implies \operatorname {let} x:G\operatorname {in} E\ F=E\ (\operatorname {let} x:G\operatorname {in} F)\\x\in \operatorname {FV} (E)\land x\not \in \operatorname {FV} (F)\implies \operatorname {let} x:G\operatorname {in} E\ F=(\operatorname {let} x:G\operatorname {in} E)\ F\\x\not \in \operatorname {FV} (E)\land x\not \in \operatorname {FV} (F)\implies \operatorname {let} x:G\operatorname {in} E\ F=E\ F\end{cases}}} ここで、 F はブール型ではありません。この定義から、関数型言語で使用されるlet式の標準的な定義を次のように導くことができます。
x ∉ FV ( y ) ⟹ ( let x : x = y in z ) = z [ x := y ] = ( λ x . z ) y {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z)=z[x:=y]=(\lambda x.z)\ y} 簡潔にするために、存在変数を指定するマーカーは 、文脈から明らかな場合は式から省略されます。 x : {\displaystyle x:}
x ∉ FV ( y ) ⟹ ( let x = y in z ) = z [ x := y ] = ( λ x . z ) y {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies (\operatorname {let} x=y\operatorname {in} z)=z[x:=y]=(\lambda x.z)\ y}
導出 この結果を導くために、まず、
x ∉ FV ( L ) {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (L)} それから
L ( let x : x = y in z ) ⟺ ( let x : x = y in L z ) ⟺ x = y ∧ L z {\displaystyle {\begin{aligned}L\ (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z)&\iff (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} L\ z)\\&\iff x=y\land L\ z\end{aligned}}} 置換のルールを用いると、
⟺ x = y ∧ ( L z ) [ x := y ] ⟺ x = y ∧ ( L [ x := y ] z [ x := y ] ) ⟺ x = y ∧ L z [ x := y ] ⟹ L z [ x := y ] {\displaystyle {\begin{aligned}&\iff x=y\land (L\ z)[x:=y]\\&\iff x=y\land (L[x:=y]\ z[x:=y])\\&\iff x=y\land L\ z[x:=y]\\&\implies L\ z[x:=y]\end{aligned}}} したがって、すべてのL について 、
L let x : x = y in z ⟹ L z [ x := y ] {\displaystyle L\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z\implies L\ z[x:=y]} ここ で K は新しい変数です。すると、 L X = ( X = K ) {\displaystyle L\ X=(X=K)}
( let x : x = y in z ) = K ⟹ z [ x := y ] = K {\displaystyle (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z)=K\implies z[x:=y]=K} それで、
let x : x = y in z = z [ x := y ] {\displaystyle \operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z=z[x:=y]} しかし、ベータ減少の数学的解釈から、
( λ x . z ) y = z [ x := y ] {\displaystyle (\lambda x.z)\ y=z[x:=y]} ここで、yが変数xの関数である場合、zにおけるxと同じではありません。アルファリネーミングが適用される場合があります。したがって、
x ∉ FV ( y ) {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)} それで、
x ∉ FV ( y ) ⟹ let x : x = y in z = ( λ x . z ) y {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies \operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z=(\lambda x.z)\ y} この結果は関数型言語では省略形で表現され、意味は明確です。
x ∉ FV ( y ) ⟹ ( let x = y in z ) = z [ x := y ] = ( λ x . z ) y {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies (\operatorname {let} x=y\operatorname {in} z)=z[x:=y]=(\lambda x.z)\ y} ここで、変数 x は 、x を定義する方程式の一部であると同時に、存在量指定子の変数としても暗黙的に認識されます。
ブールからの持ち上げはなし Eが で定義されている場合、矛盾が生じます 。この場合、 E = ¬ {\displaystyle E=\neg }
x ∉ FV ( E ) ∧ x ∈ FV ( F ) ⟹ let x : G in E F = E ( let x : G in F ) {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (E)\land x\in \operatorname {FV} (F)\implies \operatorname {let} x:G\operatorname {in} E\ F=E\ (\operatorname {let} x:G\operatorname {in} F)} となり、
let x : G in ¬ F = ¬ ( let x : G in F ) {\displaystyle \operatorname {let} x:G\operatorname {in} \neg F=\neg \ (\operatorname {let} x:G\operatorname {in} F)} そして使用して、
( ∃ x E ∧ F ) ⟺ let x : E in F {\displaystyle (\exists xE\land F)\iff \operatorname {let} x:E\operatorname {in} F} ( ∃ x G ∧ ¬ F ) = ¬ ( ∃ x G ∧ F ) {\displaystyle (\exists xG\land \neg F)=\neg \ (\exists xG\land F)} = ( ∃ x ¬ G ∨ ¬ F ) {\displaystyle =(\exists x\neg G\lor \neg F)} Gが偽の場合、これは偽です。この矛盾を避けるため、 Fは ブール型であってはなりません。ブール型 F の場合、ドロップルールの正しい記述は等式ではなく含意を用いています。
x ∉ FV ( E ) ∧ x ∈ FV ( F ) ⟹ ( let x : G in E F → E ( let x : G in F ) ) {\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (E)\land x\in \operatorname {FV} (F)\implies (\operatorname {let} x:G\operatorname {in} E\ F\to E\ (\operatorname {let} x:G\operatorname {in} F))} ブール型に他の型とは異なるルールが適用されるのは奇妙に思えるかもしれません。その理由は、
( ∃ x E ∧ F ) ⟺ let x : E in F {\displaystyle (\exists xE\land F)\iff \operatorname {let} x:E\operatorname {in} F} F がブール値の場合にのみ適用されます 。2つの規則を組み合わせると矛盾が生じ、一方の規則が成立する場合、もう一方の規則は成立しません。
let式の結合 Let式は複数の変数で定義できます。
( ∃ v ⋯ ∃ w ∃ x E ∧ F ) ⟺ let v , … , w , x : E in F {\displaystyle (\exists v\cdots \exists w\exists xE\land F)\iff \operatorname {let} v,\ldots ,w,x:E\operatorname {in} F} すると、
x ∉ F V ( E ) ⟹ ( ∃ v ⋯ ∃ w ∃ x E ∧ F ) ⟺ ( ∃ v ⋯ ∃ w ( E ∧ ∃ x F ) ) {\displaystyle x\not \in FV(E)\implies (\exists v\cdots \exists w\exists xE\land F)\iff (\exists v\cdots \exists w(E\land \exists xF))} それで、
x ∉ F V ( E ) ⟹ ( let v , … , w , x : E ∧ F in L ≡ let v , … , w : E in let x : F in L ) {\displaystyle x\not \in FV(E)\implies (\operatorname {let} v,\ldots ,w,x:E\land F\operatorname {in} L\equiv \operatorname {let} v,\ldots ,w:E\operatorname {in} \operatorname {let} x:F\operatorname {in} L)}
ラムダ計算とlet式に関する法則 イータ 還元は、 ラムダ抽象化を記述するための規則を与えます。この規則は、上で導出された2つの法則と併せて、ラムダ計算とlet式の関係を定義します。
名前 法 イータ還元等価性 f x = y ≡ f = λ x . y {\displaystyle f\ x=y\equiv f=\lambda x.y} Let-lambda同値性 f ∉ F V ( E ) ⟹ ( let f : f = E in L ≡ ( λ f . L ) E ) {\displaystyle f\notin FV(E)\implies (\operatorname {let} f:f=E\operatorname {in} L\equiv (\lambda f.L)\ E)} (ここで は変数名です。) f {\displaystyle f} 組み合わせてみましょう x ∉ F V ( E ) ⟹ ( let v , … , w , x : E ∧ F in L ≡ let v , … , w : E in let x : F in L ) {\displaystyle x\notin FV(E)\implies (\operatorname {let} v,\dots ,w,x:E\land F\operatorname {in} L\equiv \operatorname {let} v,\dots ,w:E\operatorname {in} \operatorname {let} x:F\operatorname {in} L)}
ラムダ計算から定義されたlet定義 数学的定義に伴う潜在的な問題を回避するため、 ダナ・スコットはラムダ計算から let 式を独自に定義しました。これは、トップダウン 型、つまり公理的な数学的定義とは対照的に、 ボトム アップ型、つまり構成的定義であると考えられます。
単純で非再帰的な let 式は、項に適用されるラムダ抽象化の 糖衣構文 として定義されました。その定義では、
( let s x = y in z ) ≡ ( λ x . z ) y {\displaystyle (\operatorname {let} _{s}x=y\operatorname {in} z)\equiv (\lambda x.z)\ y} その後、単純な let式の定義が拡張され、 固定小数点コンビネータ を使用した再帰が可能になりました 。
固定小数点コンビネータ 固定 小数点コンビネータは 次の式で表されます。
λ f . let x = f x in x {\displaystyle \lambda f.\operatorname {let} x=f\ x\operatorname {in} x} この表現はラムダ項に変換できます。ラムダ抽象化では、適用された式内で変数名への参照をサポートしていないため、 x は x のパラメータとして渡す必要があります 。
λ f . let x x = f ( x x ) in x x {\displaystyle \lambda f.\operatorname {let} x\ x=f\ (x\ x)\operatorname {in} x\ x} イータ減少則を用いると、
f x = y ≡ f = λ x . y {\displaystyle f\ x=y\equiv f=\lambda x.y} 与える、
λ f . let x = λ x . f ( x x ) in x x {\displaystyle \lambda f.\operatorname {let} x=\lambda x.f\ (x\ x)\operatorname {in} x\ x} let式は、次のようにラムダ抽象化として表現できる。
n ∉ F V ( E ) → ( let n = E in L ≡ ( λ n . L ) E ) {\displaystyle n\not \in FV(E)\to (\operatorname {let} n=E\operatorname {in} L\equiv (\lambda n.L)\ E)} 与える、
λ f . ( λ x . x x ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle \lambda f.(\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.f\ (x\ x))} これはおそらくラムダ計算における不動点コンビネータの最も単純な実装です。しかし、ベータ還元を1つ行うことで、CurryのYコンビネータのより対称的な形が得られます。
λ f . ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle \lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))}
再帰let式 「let rec」と呼ばれる再帰 let 式は、再帰 let 式の Y コンビネータを使用して定義されます。
( l e t r e c x = y in z ) ≡ ( λ x . z ) ( Y ( λ x . y ) ) {\displaystyle (\operatorname {let\ rec} x=y\operatorname {in} z)\equiv (\lambda x.z)\ (Y\ (\lambda x.y))}
相互再帰let式 このアプローチは、相互再帰をサポートするために一般化されます。相互再帰的なlet式は、式を並べ替えてand条件を削除することで構成できます。これは、複数の関数定義を単一の関数定義に置き換えることで実現され、変数のリストが式のリストと等しくなります。次に、Yコンビネータの一種である Y* 多変数固定小数点コンビネータ [5] を使用して、すべての関数の固定小数点を同時に計算します。その結果、 let 式の相互再帰的な実装が得られます。
複数の値 let式は集合の要素である値を表すために使われる。
let x ∈ X in x {\displaystyle \operatorname {let} x\in X\operatorname {in} x} 関数適用 では 、あるlet式を別のlet式に適用すると、
( let x ∈ X in x ) ( let y ∈ Y in y ) = let x ∈ X ∧ y ∈ Y in x y = let ( x , y ) ∈ X × Y in x y {\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {let} x\in X\operatorname {in} x)\ (\operatorname {let} y\in Y\operatorname {in} y)\\&=\operatorname {let} x\in X\land y\in Y\operatorname {in} x\ y\\&=\operatorname {let} (x,y)\in X\times Y\operatorname {in} x\ y\end{aligned}}} ただし、let 式をそれ自身に適用する場合は、異なるルールが適用されます。
( let x ∈ X in x ) ( let x ∈ X in x ) = let x ∈ X in x x {\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {let} x\in X\operatorname {in} x)\ (\operatorname {let} x\in X\operatorname {in} x)\\&=\operatorname {let} x\in X\operatorname {in} x\ x\end{aligned}}} 値の組み合わせに関する単純なルールは見当たりません。必要なのは、値が値の集合のメンバーである変数を表す一般的な表現形式です。表現は、変数と集合に基づいて記述する必要があります。
この形式に関数を適用すると、同じ形式の別の式が生成されます。このように、複数の値を持つ関数の式は、1つの値を持つかのように扱うことができます。
形式が値の集合のみを表すだけでは不十分です。それぞれの値には、式がいつその値を取るかを決定する条件が必要です。結果として得られる構成は、条件と値のペアの集合であり、「値集合」と呼ばれます。 代数的値集合の狭まりを 参照してください。
ラムダ計算とlet式間の変換規則 lambda式 と let式間の変換を記述する メタ関数 を示します 。メタ関数とは、プログラムをパラメータとして受け取る関数です。プログラムはメタプログラムのデータです。プログラムとメタプログラムは異なるメタレベルにあります。
プログラムとメタプログラムを区別するために、以下の規則が使用されます。
角括弧 [] は、メタプログラム内の関数の適用を表すために使用されます。 メタプログラム内の変数には大文字が使用されます。プログラム内の変数は小文字で表されます。 ≡ {\displaystyle \equiv } メタプログラム内のequalsに使用されます。 簡潔にするために、最初のルールが適用されます。また、これらのルールでは、ラムダ式が前処理され、各ラムダ抽象化に一意の名前が付けられていることを前提としています。
置換演算子も使用されます。式は、 L 内の Gをすべて S に 置き換え、その結果を返すことを意味します。使用される定義は、 ラムダ計算の ページに記載されている定義を拡張して、式の置換もカバーするようにしています 。式のマッチングでは、式のアルファ同値性（変数名の変更）を比較する必要があります。 L [ G := S ] {\displaystyle L[G:=S]}
ラムダ式からlet式への変換 次の規則は、構造を変更せずに ラムダ式から let式に変換する方法について説明しています。
d e - l a m b d a [ V ] ≡ V {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [V]\equiv V} d e - l a m b d a [ M N ] ≡ d e - l a m b d a [ M ] d e - l a m b d a [ N ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [M\ N]\equiv \operatorname {de-lambda} [M]\ \operatorname {de-lambda} [N]} d e - l a m b d a [ F = λ P . E ] ≡ d e - l a m b d a [ F P = E ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F=\lambda P.E]\equiv \operatorname {de-lambda} [F\ P=E]} d e - l a m b d a [ E = F ] ≡ d e - l a m b d a [ E ] = d e - l a m b d a [ F ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E=F]\equiv \operatorname {de-lambda} [E]=\operatorname {de-lambda} [F]} d e - l a m b d a [ ( λ F . E ) L ] ≡ l e t - c o m b i n e [ let F : d e - l a m b d a [ F = L ] in E ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda F.E)L]\equiv \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} F:\operatorname {de-lambda} [F=L]\operatorname {in} E]} V ∉ FV [ λ F . E ] → d e - l a m b d a [ λ F . E ] ≡ l e t - c o m b i n e [ let V : d e - l a m b d a [ V F = E ] in V ] {\displaystyle V\not \in \operatorname {FV} [\lambda F.E]\to \operatorname {de-lambda} [\lambda F.E]\equiv \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:\operatorname {de-lambda} [V\ F=E]\operatorname {in} V]} V ≠ W → l e t - c o m b i n e [ let V : E in let W : F in G ] ≡ let V , W : E ∧ F in G {\displaystyle V\neq W\to \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:E\operatorname {in} \operatorname {let} W:F\operatorname {in} G]\equiv \operatorname {let} V,W:E\land F\operatorname {in} G} l e t - c o m b i n e [ let V : E in F ] ≡ let V : E in F {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:E\operatorname {in} F]\equiv \operatorname {let} V:E\operatorname {in} F} ルール 6 は、関数の名前として一意の変数 V を作成します。
例 例えば、 Yコンビネータ 、
λ f . ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle \lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))} に変換されます。
let p : p f = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) in p {\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p} ルール ラムダ式 6 d e - l a m b d a [ λ f . ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [\lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]} V ∉ FV [ λ F . E ] → d e - l a m b d a [ λ F . E ] {\displaystyle V\not \in \operatorname {FV} [\lambda F.E]\to \operatorname {de-lambda} [\lambda F.E]} V = p , F = f , E = ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle V=p,F=f,E=(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))} l e t - c o m b i n e [ let V : d e - l a m b d a [ V F = E ] in V ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:\operatorname {de-lambda} [V\ F=E]\operatorname {in} V]}
4 l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f = ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f=(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]\operatorname {in} p]} d e - l a m b d a [ p f = ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f=(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]} d e - l a m b d a [ E = F ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E=F]} E = p f , F = ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle E=p\ f,F=(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))} d e - l a m b d a [ E ] = d e - l a m b d a [ F ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E]=\operatorname {de-lambda} [F]} d e - l a m b d a [ p f ] = d e - l a m b d a [ ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {de-lambda} [(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]} l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f ] = d e - l a m b d a [ ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {de-lambda} [(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]\operatorname {in} p]}
5 l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f ] = d e - l a m b d a [ ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {de-lambda} [(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]\operatorname {in} p]} d e - l a m b d a [ ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))]} d e - l a m b d a [ ( λ F . E ) L ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda F.E)L]} F = x , E = f ( x x ) , L = ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle F=x,E=f\ (x\ x),L=(\lambda x.f\ (x\ x))} l e t - c o m b i n e [ let F : d e - l a m b d a [ F = L ] in E ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} F:\operatorname {de-lambda} [F=L]\operatorname {in} E]} l e t - c o m b i n e [ let x : d e - l a m b d a [ x = λ x . f ( x x ) ] in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x=\lambda x.f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]}
3 l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f ] = l e t - c o m b i n e [ let x : d e - l a m b d a [ x = λ x . f ( x x ) ] in f ( x x ) ] in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x=\lambda x.f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p]} d e - l a m b d a [ x = λ x . f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x=\lambda x.f\ (x\ x)]} d e - l a m b d a [ F = λ P . E ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F=\lambda P.E]} F = x , P = x , E = f ( x x ) {\displaystyle F=x,P=x,E=f\ (x\ x)} d e - l a m b d a [ F P = E ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F\ P=E]} d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]}
8 l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f ] = l e t - c o m b i n e [ let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) ] in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p]} l e t - c o m b i n e [ let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]} l e t - c o m b i n e [ Y ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [Y]} Y = let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) {\displaystyle Y=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)} Y {\displaystyle Y} let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) {\displaystyle \operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)}
8 l e t - c o m b i n e [ let p : d e - l a m b d a [ p f ] = let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) in p ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p]} l e t - c o m b i n e [ Y ] {\displaystyle \operatorname {let-combine} [Y]} Y = let p : d e - l a m b d a [ p f = let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) ] in p {\displaystyle Y=\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p} Y {\displaystyle Y} let p : p f = let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) in p {\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p}
4 let p : d e - l a m b d a [ p f ] = let x : d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] in f ( x x ) in p {\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p} d e - l a m b d a [ x x = f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]} d e - l a m b d a [ E = F ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E=F]} E = x x , F = f ( x x ) {\displaystyle E=x\ x,F=f\ (x\ x)} d e - l a m b d a [ E ] = d e - l a m b d a [ F ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E]=\operatorname {de-lambda} [F]} d e - l a m b d a [ x x ] = d e - l a m b d a [ f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x]=\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]}
2 let p : d e - l a m b d a [ p f ] = let x : d e - l a m b d a [ x x ] = d e - l a m b d a [ f ( x x ) ] in f ( x x ) in p {\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x]=\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p} d e - l a m b d a [ x x ] , d e - l a m b d a [ f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x],\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]} d e - l a m b d a [ p f ] , d e - l a m b d a [ M 1 N 1 ] , d e - l a m b d a [ M 2 N 2 ] , {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f],\operatorname {de-lambda} [M_{1}\ N_{1}],\operatorname {de-lambda} [M_{2}\ N_{2}],} M 1 = p , N 1 = f , M 2 = x , N 2 = x , M 3 = f , N 3 = x x {\displaystyle M_{1}=p,N_{1}=f,M_{2}=x,N_{2}=x,M_{3}=f,N_{3}=x\ x} d e - l a m b d a [ M 1 ] d e - l a m b d a [ N 1 ] , d e - l a m b d a [ M 2 ] d e - l a m b d a [ N 2 ] , d e - l a m b d a [ M 3 ] d e - l a m b d a [ N 3 ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [M_{1}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{1}],\operatorname {de-lambda} [M_{2}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{2}],\operatorname {de-lambda} [M_{3}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{3}]} d e - l a m b d a [ p ] d e - l a m b d a [ f ] , d e - l a m b d a [ x ] d e - l a m b d a [ x ] , d e - l a m b d a [ f ] d e - l a m b d a [ x ] d e - l a m b d a [ x ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p]\ \operatorname {de-lambda} [f],\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x],\operatorname {de-lambda} [f]\ \operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x]}
1 let p : d e - l a m b d a [ p ] d e - l a m b d a [ f ] = let x : d e - l a m b d a [ x ] d e - l a m b d a [ x ] = d e - l a m b d a [ f ] ( d e - l a m b d a [ x ] d e - l a m b d a [ x ] ) in f ( x x ) ] in p {\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p]\ \operatorname {de-lambda} [f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x]=\operatorname {de-lambda} [f]\ (\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x])\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p} d e - l a m b d a [ V ] {\displaystyle \operatorname {de-lambda} [V]} V {\displaystyle V}
let p : p f = let x : x x = f ( x x ) in f ( x x ) ] in p {\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ x=f\ (x\ x)\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p}
let式からlambda式への変換 これらの規則は、上記の変換を逆にします。let 式を lambda 式に変換しますが 、 構造は変更しません。ただし、すべての let 式がこれらの規則を用いて変換できるわけではありません。これらの規則は、式が de-lambda によって生成されたかのように既に配置されていることを前提としています。
g e t - l a m b d a [ F , G V = E ] = g e t - l a m b d a [ F , G = λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G\ V=E]=\operatorname {get-lambda} [F,G=\lambda V.E]} g e t - l a m b d a [ F , F = E ] = d e - l e t [ E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,F=E]=\operatorname {de-let} [E]} d e - l e t [ λ V . E ] ≡ λ V . d e - l e t [ E ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda V.E]\equiv \lambda V.\operatorname {de-let} [E]} d e - l e t [ M N ] ≡ d e - l e t [ M ] d e - l e t [ N ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M\ N]\equiv \operatorname {de-let} [M]\ \operatorname {de-let} [N]} d e - l e t [ V ] ≡ V {\displaystyle \operatorname {de-let} [V]\equiv V} V ∉ F V [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V : E in V ] ≡ g e t - l a m b d a [ V , E ] {\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} V]\equiv \operatorname {get-lambda} [V,E]} V ∉ F V [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V : E in L ] ≡ ( λ V . d e - l e t [ L ] ) g e t - l a m b d a [ V , E ] {\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]\equiv (\lambda V.\operatorname {de-let} [L])\ \operatorname {get-lambda} [V,E]} W ∉ FV [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V , W : E ∧ F in G ] ≡ d e - l e t [ let V : E in let W : F in G ] {\displaystyle W\not \in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V,W:E\land F\ \operatorname {in} G]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} \operatorname {let} W:F\ \operatorname {in} G]} V ∈ FV [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V : E in L ] ≡ d e - l e t [ let V : V V = g e t - l a m b d a [ V , E ] [ V := V V ] in L [ V := V V ] ] {\displaystyle V\in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:V\ V=\operatorname {get-lambda} [V,E][V:=V\ V]\ \operatorname {in} L[V:=V\ V]]} W ∈ FV [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V , W : E ∧ F in L ] ≡ d e - l e t [ let V : V W = g e t - l a m b d a [ V , E ] [ V := V W ] in let W : F [ V := V W ] in L [ V := V W ] ] {\displaystyle W\in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V,W:E\land F\ \operatorname {in} L]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:V\ W=\operatorname {get-lambda} [V,E][V:=V\ W]\ \operatorname {in} \operatorname {let} W:F[V:=V\ W]\ \operatorname {in} L[V:=V\ W]]} ラムダ計算には、再帰的に使用される自由変数を持つlet 式と全く同じ構造を持つものはありません 。この場合、パラメータを追加する必要があります。規則8と10はこれらのパラメータを追加します。
ルール8と10は、 let 式内の相互再帰方程式が2つであれば十分です 。しかし、相互再帰方程式が3つ以上ある場合は機能しません。一般的なケースではループ処理が1段階追加されるため、メタ関数の実装が少し難しくなります。以下のルールは、一般的なケースを実装する際にルール8と10を置き換えます。ルール8と10は、より単純なケースを先に検討できるように残されています。
lambda-form - 式を、それぞれが 変数 = 式 という形式の式の連結に変換します 。 l a m b d a - f o r m [ G V = E ] = l a m b d a - f o r m [ G = λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {lambda-form} [G\ V=E]=\operatorname {lambda-form} [G=\lambda V.E]} l a m b d a - f o r m [ E ∧ F ] = l a m b d a - f o r m [ E ] ∧ l a m b d a - f o r m [ F ] {\displaystyle \operatorname {lambda-form} [E\land F]=\operatorname {lambda-form} [E]\land \operatorname {lambda-form} [F]} l a m b d a - f o r m [ V = E ] = V = E {\displaystyle \operatorname {lambda-form} [V=E]=V=E} ......ここで、 V は変数です。 lift-vars -式には 自由変数として Xがあるため、パラメーターとして X を必要とする変数のセットを取得します。 X ∈ FV [ E ] → l i f t - v a r s [ X , V = E ] = { V } {\displaystyle X\in \operatorname {FV} [E]\to \operatorname {lift-vars} [X,V=E]=\{V\}} X ∉ FV [ E ] → l i f t - v a r s [ X , V = E ] = { } {\displaystyle X\not \in \operatorname {FV} [E]\to \operatorname {lift-vars} [X,V=E]=\{\}} l i f t - v a r s [ X , E ∧ F ] = l i f t - v a r s [ X , E ] ∪ l i f t - v a r s [ X . F ] {\displaystyle \operatorname {lift-vars} [X,E\land F]=\operatorname {lift-vars} [X,E]\cup \operatorname {lift-vars} [X.F]} サブ変数 - セット内の各変数を、式内のXに適用されている変数に置き換えます。これにより、 Xは 式の右辺の自由変数ではなく、パラメータとして渡される変数になります。 s u b - v a r s [ E , { V } ∪ S , X ] = s u b - v a r s [ E [ V := V X ] , S , X ] {\displaystyle \operatorname {sub-vars} [E,\{V\}\cup S,X]=\operatorname {sub-vars} [E[V:=V\ X],S,X]} s u b - v a r s [ E , { } , X ] = E {\displaystyle \operatorname {sub-vars} [E,\{\},X]=E} de-let - E の各条件 を解除して、 X が 方程式の右側の自由変数にならない ようにします。 L = l a m b d a - f o r m [ E ] ∧ S = l i f t - v a r s [ X , L ] → d e - l e t [ let V … W , X : E ∧ F in G ] ≡ d e - l e t [ let V … W : s u b - v a r s [ L , S , X ] in let s u b - v a r s [ l a m b d a - f o r m [ F ] , S , X ] in s u b - v a r s [ G , S , X ] ] {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\operatorname {lambda-form} [E]\land S=\operatorname {lift-vars} [X,L]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V\ldots W,X:E\land F\ \operatorname {in} G]\\&\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V\ldots W:\operatorname {sub-vars} [L,S,X]\ \operatorname {in} \operatorname {let} \operatorname {sub-vars} [\operatorname {lambda-form} [F],S,X]\ \operatorname {in} \operatorname {sub-vars} [G,S,X]]\end{aligned}}}
例 例えば、 Yコンビネータ から得られる let 式は、
let p : p f = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) in p {\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)\ \operatorname {in} p} に変換されます。
λ f . ( λ x . f ( x x ) ) ( λ q . f ( q q ) ) {\displaystyle \lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda q.f\ (q\ q))} ルール ラムダ式 6 d e - l e t [ let p : p f = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) in p ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)\ \operatorname {in} p]} d e - l e t [ let V : E in V ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} V]} V = p , E = p f = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) {\displaystyle V=p,E=p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)} g e t - l a m b d a [ V , E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [V,E]}
1 g e t - l a m b d a [ p , p f = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [p,p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]} g e t - l a m b d a [ F , G V = E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G\ V=E]} F = p , G = p , V = f , E = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) {\displaystyle F=p,G=p,V=f,E=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)} g e t - l a m b d a [ F , G = λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G=\lambda V.E]}
2 g e t - l a m b d a [ p , p = λ f . let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [p,p=\lambda f.\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]} g e t - l a m b d a [ F , F = E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,F=E]} F = p , E = λ f . let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) {\displaystyle F=p,E=\lambda f.\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)} d e - l e t [ E ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [E]}
3 d e - l e t [ λ f . let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda f.\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]} d e - l e t [ λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda V.E]} V = f , E = let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) {\displaystyle V=f,E=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)} λ V . d e - l e t [ E ] {\displaystyle \lambda V.\operatorname {de-let} [E]}
7 λ f . d e - l e t [ let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) ] {\displaystyle \lambda f.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]} d e - l e t [ let x : x q = f ( q q ) in f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]} V ∉ F V [ g e t - l a m b d a [ V , E ] ] → d e - l e t [ let V : E in L ] {\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]} V = x , E = x q = f ( q q ) , L = f ( x x ) {\displaystyle V=x,E=x\ q=f\ (q\ q),L=f\ (x\ x)} ( λ V . d e - l e t [ L ] ) g e t - l a m b d a [ V , E ] {\displaystyle (\lambda V.\operatorname {de-let} [L])\ \operatorname {get-lambda} [V,E]}
4 ( λ x . d e - l e t [ f ( x x ) ] ) g e t - l a m b d a [ x , x q = f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f\ (x\ x)])\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]} d e - l e t [ f ( x x ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [f\ (x\ x)]} d e - l e t [ M N ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M\ N]} M = f , N = ( x x ) {\displaystyle M=f,N=(x\ x)} d e - l e t [ M ] d e - l e t [ N ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M]\ \operatorname {de-let} [N]} d e - l e t [ f ] d e - l e t [ x x ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [x\ x]}
4 ( λ x . d e - l e t [ f ] d e - l e t [ x x ] ) g e t - l a m b d a [ x , x q = f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [x\ x])\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]} d e - l e t [ x x ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [x\ x]} d e - l e t [ M N ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M\ N]} M = x , N = x {\displaystyle M=x,N=x} d e - l e t [ M ] d e - l e t [ N ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M]\ \operatorname {de-let} [N]} d e - l e t [ x ] d e - l e t [ x ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [x]\ \operatorname {de-let} [x]}
5 ( λ x . d e - l e t [ f ] ( d e - l e t [ x ] d e - l e t [ x ] ) ) g e t - l a m b d a [ x , x q = f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f]\ (\operatorname {de-let} [x]\ \operatorname {de-let} [x]))\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]} d e - l e t [ V ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [V]} V {\displaystyle V}
1 ( λ x . f ( x x ) ) g e t - l a m b d a [ x , x q = f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]} g e t - l a m b d a [ x , x q = f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]} g e t - l a m b d a [ F , G V = E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G\ V=E]} F = x , G = x , V = q , E = f ( q q ) {\displaystyle F=x,G=x,V=q,E=f\ (q\ q)} g e t - l a m b d a [ F , G = λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G=\lambda V.E]} g e t - l a m b d a [ x , x = λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda q.f\ (q\ q)]}
2 ( λ x . f ( x x ) ) g e t - l a m b d a [ x , x = λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda q.f\ (q\ q)]} g e t - l a m b d a [ x , x = λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda q.f\ (q\ q)]} g e t - l a m b d a [ F , F = E ] {\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,F=E]} F = x , E = λ q . f ( q q ) {\displaystyle F=x,E=\lambda q.f\ (q\ q)} d e - l e t [ E ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [E]} d e - l e t [ λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda q.f\ (q\ q)]}
3 ( λ x . f ( x x ) ) d e - l e t [ λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ \operatorname {de-let} [\lambda q.f\ (q\ q)]} d e - l e t [ λ q . f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda q.f\ (q\ q)]} d e - l e t [ λ V . E ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda V.E]} V = q , E = f ( q q ) {\displaystyle V=q,E=f\ (q\ q)} λ V . d e - l e t [ E ] {\displaystyle \lambda V.\operatorname {de-let} [E]} λ q . d e - l e t [ f ( q q ) ] {\displaystyle \lambda q.\operatorname {de-let} [f\ (q\ q)]}
4 ( λ x . f ( x x ) ) ( λ q . d e - l e t [ f ( q q ) ] ) {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda q.\operatorname {de-let} [f\ (q\ q)])} d e - l e t [ f ( q q ) ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [f\ (q\ q)]} d e - l e t [ M 1 N 1 ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{1}\ N_{1}]} M 1 = f , N 1 = q q {\displaystyle M_{1}=f,N_{1}=q\ q} d e - l e t [ M 1 ] d e - l e t [ N 1 ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{1}]\ \operatorname {de-let} [N_{1}]} d e - l e t [ f ] d e - l e t [ q q ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [q\ q]} d e - l e t [ M 2 N 2 ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{2}\ N_{2}]} M 2 = q , N 2 = q {\displaystyle M_{2}=q,N_{2}=q} d e - l e t [ q ] d e - l e t [ q ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [q]\ \operatorname {de-let} [q]}
5 ( λ x . f ( x x ) ) ( λ q . d e - l e t [ f ] ( d e - l e t [ q ] d e - l e t [ q ] ) ) {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda q.\operatorname {de-let} [f]\ (\operatorname {de-let} [q]\ \operatorname {de-let} [q]))} d e - l e t [ V ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [V]} {\displaystyle } V {\displaystyle V}
( λ x . f ( x x ) ) ( λ q . f ( q q ) ) {\displaystyle (\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda q.f\ (q\ q))}
2つ目の例として、 Yコンビネータ のリフトバージョンを取り上げます 。
let p , q : p f x = f ( x x ) ∧ q p f = ( p f ) ( p f ) in q p {\displaystyle \operatorname {let} p,q:p\ f\ x=f\ (x\ x)\land q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p} に変換されます。
( λ p . ( λ q . q p ) λ p . λ f . ( p f ) ( p f ) ) λ f . λ x . f ( x x ) {\displaystyle (\lambda p.(\lambda q.q\ p)\ \lambda p.\lambda f.(p\ f)\ (p\ f))\ \lambda f.\lambda x.f\ (x\ x)} ルール ラムダ式 8 d e - l e t [ let p , q : p f x = f ( x x ) ∧ q p f = ( p f ) ( p f ) in q p ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p,q:p\ f\ x=f\ (x\ x)\land q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p]} 7 d e - l e t [ let p : p f x = f ( x x ) in let q : q p f = ( p f ) ( p f ) in q p ] {\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p:p\ f\ x=f\ (x\ x)\ \operatorname {in} \operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p]} 1、2 ( λ p . d e - l e t [ let q : q p f = ( p f ) ( p f ) in q p ] ) g e t - l a m b d a [ p , p f x = f ( x x ) ] {\displaystyle (\lambda p.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p])\ \operatorname {get-lambda} [p,p\ f\ x=f\ (x\ x)]} 7、4、5 ( λ p . d e - l e t [ let q : q p f = ( p f ) ( p f ) in q p ] ) λ f . λ x . f ( x x ) {\displaystyle (\lambda p.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p])\ \lambda f.\lambda x.f\ (x\ x)} 1、2 ( λ p . ( λ q . q p ) g e t - l a m b d a [ q , q p f = ( p f ) ( p f ) ] ) λ f . λ x . f ( x x ) {\displaystyle (\lambda p.(\lambda q.q\ p)\ \operatorname {get-lambda} [q,q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)])\ \lambda f.\lambda x.f\ (x\ x)} ( λ p . ( λ q . q p ) λ p . λ f . ( p f ) ( p f ) ) λ f . λ x . f ( x x ) {\displaystyle (\lambda p.(\lambda q.q\ p)\ \lambda p.\lambda f.(p\ f)\ (p\ f))\ \lambda f.\lambda x.f\ (x\ x)}
3つ目の例として、
let x : x f = f ( x f ) in x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ f=f\ (x\ f)\ \operatorname {in} x} は、
( λ x . x x ) ( λ x . λ f . f ( x x f ) ) {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.\lambda f.f\ (x\ x\ f))} ルール ラムダ式 9 let x : x f = f ( x f ) in x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ f=f\ (x\ f)\ \operatorname {in} x} 1 let x : x x = g e t - l a m b d a [ x , x f = f ( x f ) ] [ x := x x ] in x [ x := x x ] {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x\ f=f\ (x\ f)][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x[x:=x\ x]} 2 let x : x x = g e t - l a m b d a [ x , x = λ f . f ( x f ) ] [ x := x x ] in x x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda f.f\ (x\ f)][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x} let x : x x = ( λ f . f ( x f ) ) [ x := x x ] in x x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=(\lambda f.f\ (x\ f))[x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x} 7 let x : x x = λ f . f ( x x f ) in x x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\lambda f.f\ (x\ x\ f)\ \operatorname {in} x\ x} 1 ( λ x . x x ) g e t - l a m b d a [ x , x x = λ f . f ( x x f ) ] {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ x=\lambda f.f\ (x\ x\ f)]} 2 ( λ x . x x ) g e t - l a m b d a [ x , x = λ x . λ f . f ( x x f ) ] {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda x.\lambda f.f\ (x\ x\ f)]} ( λ x . x x ) ( λ x . λ f . f ( x x f ) ) {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.\lambda f.f\ (x\ x\ f))}
4番目の例として、
let x : x = f x in x {\displaystyle \operatorname {let} x:x=f\ x\ \operatorname {in} x} は、
( λ x . x x ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.f\ (x\ x))} これは有名な y コンビネータ です。
ルール ラムダ式 9 let x : x = f x in x {\displaystyle \operatorname {let} x:x=f\ x\ \operatorname {in} x} 2 let x : x x = g e t - l a m b d a [ x , x = f x ] [ x := x x ] in x [ x := x x ] {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x=f\ x][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x[x:=x\ x]} let x : x x = ( f x ) [ x := x x ] in x x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=(f\ x)[x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x} 7 let x : x x = f ( x x ) in x x {\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=f\ (x\ x)\ \operatorname {in} x\ x} 1 ( λ x . x x ) g e t - l a m b d a [ x , x x = f ( x x ) ] {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ x=f\ (x\ x)]} 2 ( λ x . x x ) g e t - l a m b d a [ x , x = λ x . f ( x x ) ] {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda x.f\ (x\ x)]} ( λ x . x x ) ( λ x . f ( x x ) ) {\displaystyle (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.f\ (x\ x))}
主要人物
参照
参考文献 ^ 「PCFは、スコットの計算可能関数の論理であるLCFに基づいた、計算可能関数のためのプログラミング言語です」（Plotkin 1977）。Programming Computable Functionsは、 (Mitchell 1996)で使用されています。これは 、Programming with Computable Functions または Programming language for Computable Functions とも呼ばれます 。 ^ 「Scheme - 変数と Let 式」。 ^ Simon, Marlow (2010). 「Haskell 2010 言語レポート - Let 式」 ^ Landin, Peter J. (1964). 「式の機械的な評価」. コンピュータジャーナル . 6 (4). 英国コンピュータ協会 : 308–320 . doi : 10.1093/comjnl/6.4.308 . ^ 「相互再帰のための最も単純な多変数固定小数点コンビネータ」。
引用文献 ミッチェル、ジョン・C. (1996). 『プログラミング言語の基礎』MIT出版. ISBN 978-0-262-13321-0 。 Plotkin, GD (1977年12月). 「プログラミング言語としてのLCF」. 理論計算機科学 . 5 (3): 223– 255. doi : 10.1016/0304-3975(77)90044-5 . 
![{\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z)=z[x:=y]=(\lambda xz)\ y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81eac6e91e95d921c9394ea1a0bf03c75fa04bc)
![{\displaystyle x\not \in \operatorname {FV} (y)\implies (\operatorname {let} x=y\operatorname {in} z)=z[x:=y]=(\lambda xz)\ y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e111c0893f106c22e85dd1fe949354b3b0a348)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iff x=y\land (L\ z)[x:=y]\\&\iff x=y\land (L[x:=y]\ z[x:=y])\\&\iff x=y\land L\ z[x:=y]\\&\implies L\ z[x:=y]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7398de56fc1b42dbfb49d5a68ff2e1f7bac64c)
![{\displaystyle L\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z\implies L\ z[x:=y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d587c9dc81797c6072bff072d2423720fdf45b64)
![{\displaystyle (\operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z)=K\implies z[x:=y]=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9daffc57101f507dedd3a3cc49b0f7821ace954)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x=y\operatorname {in} z=z[x:=y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61107edd6e0ebf29b86f858071985c945ef019b)
![{\displaystyle (\lambda xz)\ y=z[x:=y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba408977fa51632f2ed9a40ad81da9ceb47adc14)
![{\displaystyle L[G:=S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7716db852899ef7e3eb2a00dbbea76bc11279afb)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [V]\equiv V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0de3dc641d38384f918a819d631abebb34ecbaf)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [M\ N]\equiv \operatorname {de-lambda} [M]\ \operatorname {de-lambda} [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5efb4a24f7d8e6b766adc58d0c70bfba8afaf5b)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F=\lambda PE]\equiv \operatorname {de-lambda} [F\ P=E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43437dbae7c4406b94f3a4e8ef1b53fcad6c9dc)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E=F]\equiv \operatorname {de-lambda} [E]=\operatorname {de-lambda} [F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfbac0a8cd94ec34f53ba953dd3ec4ab880983)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda FE)L]\equiv \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} F:\operatorname {de-lambda} [F=L]\operatorname {in} E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e58135f7eeeed6d46554387e773918f06e75192)
![{\displaystyle V\not \in \operatorname {FV} [\lambda FE]\to \operatorname {de-lambda} [\lambda FE]\equiv \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:\operatorname {de-lambda} [V\ F=E]\operatorname {in} V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0783bf1eeef16742355b1604ac7c49f690df9899)
![{\displaystyle V\neq W\to \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:E\operatorname {in} \operatorname {let} W:F\operatorname {in} G]\equiv \operatorname {let} V,W:E\land F\operatorname {in} G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5c94d973f7d9b8430c467eb6c85be0818bd406)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:E\operatorname {in} F]\equiv \operatorname {let} V:E\operatorname {in} F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcdf7a95bed9af991b9bf78be112f172ebae2744)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [\lambda f.(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc8e3c48d21e1c3461b168a49ac7b272033983b)
![{\displaystyle V\not \in \operatorname {FV} [\lambda FE]\to \operatorname {de-lambda} [\lambda FE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72de502b4dd9bd462869c49e809e6ab4c576266)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} V:\operatorname {de-lambda} [V\ F=E]\operatorname {in} V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6af8323dc2b1debb31a587de246e8823bf12bb0)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f=(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]\operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dac43ea95c9c78acf236fb9617729b511edfaa0)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f=(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad21d59ee4947595a069e864aed22f95bd44c0a)
![{\displaystyle \operatorname {ラムダ解除} [E=F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab35a85b1ec150a00fe1a7974eb242ac27c7826)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [E]=\operatorname {de-lambda} [F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb26cf7e0a93bf1c795bec332c5ce3b78e6cae9)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {de-lambda} [(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e3f407b9817a16531861570568ce1799069636)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {de-lambda} [(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]\operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66d701622d32f67f5a0493287fa678b5fad8ac3)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda xf\ (x\ x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ecc68b56237237e724f61ab338d29bf394ac15)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [(\lambda FE)L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5d46bb0d7e45cf35c6c278858512973a0220fc)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} F:\operatorname {de-lambda} [F=L]\operatorname {in} E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a1d5088d051d8f7ec4e322d8a003ca66f8f27b)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x=\lambda xf\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d81492114061e99b1fb95fc13a3db92c027b35)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x=\lambda xf\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11e42fdeab23b8146680e33a3134c9887befe63)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x=\lambda xf\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6e5e6c04c2826975bc8dc1e97d895eea68dc2e)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F=\lambda PE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6ccb3bc568b55bac9b99ed3bff946e8e1c284a)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [F\ P=E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00576c98275cebfb554e43c30aecd53d17d1e5a5)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb52ee78f23b4502aada39a439c6fce50a825ac8)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9efd711c0a9693c21e31d5cd3fa13becee9d6)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369c417ae986aa1ccae4e7cb4f75ff86ed596ba6)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0edd376a3807815ce840f5916572f38874c3d84)
![{\displaystyle Y=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0eb5e6a7dd6afc361f2301489a25624b804433)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357671794cb0b40ead6a94495ddcd902369c24e6)
![{\displaystyle \operatorname {let-combine} [\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bba3b08006c2fa0e011f20e5765bdd844bafbfa)
![{\displaystyle Y=\operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9d281e5043f1879b09c356ed769a89b4e88658)
![{\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4eeb696c5350daf7c5205fc8a7748e064fb066)
![{\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x=f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49dc2877bb18e3ca9c5724238e5bc1e757e7310)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x]=\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a199d50357c05dd4189713f8759c601a80af5a)
![{\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p\ f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x\ x]=\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]\operatorname {in} f\ (x\ x)\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ac532177ae510f8a11e7fac25cad5069c53952)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [x\ x],\operatorname {de-lambda} [f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440eb41db8fd0954fe8c9eaa406778d4985fa6ff)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p\ f],\operatorname {de-lambda} [M_{1}\ N_{1}],\operatorname {de-lambda} [M_{2}\ N_{2}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690e0bff212f8b1ed0d112cb1137dc440a6f018c)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [M_{1}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{1}],\operatorname {de-lambda} [M_{2}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{2}],\operatorname {de-lambda} [M_{3}]\ \operatorname {de-lambda} [N_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96e111c3abcb3d4b90a543292a38870f351f58f)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [p]\ \operatorname {de-lambda} [f],\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x],\operatorname {de-lambda} [f]\ \operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1b1f9b086138e8289983409ea724b408c305c9)
![{\displaystyle \operatorname {let} p:\operatorname {de-lambda} [p]\ \operatorname {de-lambda} [f]=\operatorname {let} x:\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x]=\operatorname {de-lambda} [f]\ (\operatorname {de-lambda} [x]\ \operatorname {de-lambda} [x])\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680ddbbf0aca672464bd8a7367db1819248d9f21)
![{\displaystyle \operatorname {de-lambda} [V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4a1270727a7a13e9b3ba285bc022fd888f545b)
![{\displaystyle \operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ x=f\ (x\ x)\operatorname {in} f\ (x\ x)]\operatorname {in} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdac5ddfcc6f25aa2872b00a61cbbd7925cc478)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G\ V=E]=\operatorname {get-lambda} [F,G=\lambda VE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebe7c990955401b0e7b09f2ce999efc2d3aa880)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,F=E]=\operatorname {de-let} [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2c34813e9a28ad6599cde30756f34399bb75aa)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda VE]\equiv \lambda V.\operatorname {de-let} [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d291dbf31803a054bd445a1066e8cbf4ae9bbc)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M\ N]\equiv \operatorname {de-let} [M]\ \operatorname {de-let} [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c876a5018468b6518441738d9e5203aba224f92)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [V]\equiv V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c944cdb61bb1733806f6baf95a4cef7d406112)
![{\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} V]\equiv \operatorname {get-lambda} [V,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c24acfa12980073afc4f2a54ce80561396ca401)
![{\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]\equiv (\lambda V.\operatorname {de-let} [L])\ \operatorname {get-lambda} [V,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0a7613d63994c0a89b90abb14262845e30da74)
![{\displaystyle W\not \in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V,W:E\land F\ \operatorname {in} G]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} \operatorname {let} W:F\ \operatorname {in} G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b3bb04975aee17d86003a77bb817c2e3d47090)
![{\displaystyle V\in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:V\ V=\operatorname {get-lambda} [V,E][V:=V\ V]\ \演算子名 {in} L[V:=V\ V]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fd9a064d9680ba5a82296a94207a5820d8d92e)
![{\displaystyle W\in \operatorname {FV} [\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V,W:E\land F\ \operatorname {in} L]\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:V\ W=\operatorname {get-lambda} [V,E][V:=V\ W]\ \operatorname {in} \operatorname {let} W:F[V:=V\ W]\ \operatorname {in} L[V:=V\ W]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eadaab087243563e90735087c573a09f4c0ecd1)
![{\displaystyle \operatorname {ラムダ形式} [G\ V=E]=\operatorname {ラムダ形式} [G=\lambda VE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a529daca5a067b288ced8e70265306e75c7c6f7d)
![{\displaystyle \operatorname {ラムダ形式} [E\land F]=\operatorname {ラムダ形式} [E]\land \operatorname {ラムダ形式} [F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61282e56970fc6cecb987f58e6332b6ee5aed60e)
![{\displaystyle \operatorname {ラムダ形式} [V=E]=V=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f927ed1fe97c12be47fe988daacf7c07522bd987)
![{\displaystyle X\in \operatorname {FV} [E]\to \operatorname {lift-vars} [X,V=E]=\{V\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781f4c031aa544d4609a24d1296e693a9200964b)
![{\displaystyle X\not \in \operatorname {FV} [E]\to \operatorname {lift-vars} [X,V=E]=\{\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abd2c0de357d206d497fcba9fc1465840a3d468)
![{\displaystyle \operatorname {lift-vars} [X,E\land F]=\operatorname {lift-vars} [X,E]\cup \operatorname {lift-vars} [XF]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef8f757579f1f0e70c9f3efc0771ebaf4cee899)
![{\displaystyle \operatorname {sub-vars} [E,\{V\}\cup S,X]=\operatorname {sub-vars} [E[V:=V\ X],S,X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65e0d873c3c7806828ca58dd88f821f21193c97)
![{\displaystyle \operatorname {sub-vars} [E,\{\},X]=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c8d37c0478acf003ef19a2687b889a9f5c8a8b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\operatorname {lambda-form} [E]\land S=\operatorname {lift-vars} [X,L]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V\ldots W,X:E\land F\ \operatorname {in} G]\\&\equiv \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V\ldots W:\operatorname {sub-vars} [L,S,X]\ \operatorname {in} \operatorname {let} \operatorname {sub-vars} [\operatorname {lambda-form} [F],S,X]\ \operatorname {in} \operatorname {sub-vars} [G,S,X]]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec69c81e23f469d3f6e09fbc140c95413643727)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p:p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)\ \operatorname {in} p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060ccb2e76e9ffc68c2aea46a1bbc45d48d1bf9d)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6349026df0c417689ed310a06f94b1b1654b336d)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [V,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cec842e117892dcfd9f5aa7f539843ab98a866)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [p,p\ f=\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd736209fd0b0ac4952fedbb591c00c88c3e01aa)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G\ V=E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a15b4906111c9a1797fce3ccd787b127627b4c3)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,G=\lambda VE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6f13b3bcb0ebce5b1a1ccee45f295c23e4d637)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [p,p=\lambda f.\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8124337afe174611a37ae0a2f6342db2b396c38c)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [F,F=E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb457fd8361f051e4f27201c49f7e50173838699)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1f180f637034c5b09784eebdcc65853a620a9a)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda f.\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7415b25827ab77c5f8820e005011ad91f845b0f)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda VE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b134911fd89f15523a49fbd8b3c0abbf701c85b4)
![{\displaystyle \lambda V.\operatorname {de-let} [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2683303011d8de1723f852a3c73f0efeafe7a381)
![{\displaystyle \lambda f.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349f2af1e6b5e48e3a5d05a8d49d1b00dcfdde53)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} x:x\ q=f\ (q\ q)\ \operatorname {in} f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a579fe259ea9d08bcd163d0b72c528f7c7fd19b4)
![{\displaystyle V\not \in FV[\operatorname {get-lambda} [V,E]]\to \operatorname {de-let} [\operatorname {let} V:E\ \operatorname {in} L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a72dfdde3d0e6e35b0dde246b7641a38ba76da5)
![{\displaystyle (\lambda V.\operatorname {de-let} [L])\ \operatorname {get-lambda} [V,E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185aa16c7f9d1c684b22b69c134521d95f94de51)
![{\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f\ (x\ x)])\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379ea4ef911b84fe2686471434c7b5881db553b0)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387628cd1c2e1f498d6379f6b52ccb00a5da31bb)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M\ N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e75e2d0f35c9a877b139ae7b3b6a225988be2f4)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M]\ \operatorname {de-let} [N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c2eeb85fe1db7f878a2eaa315f2ac10ae96823)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [x\ x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d21ab71c9e25f89e51e33c477f8b4cc9bedd964)
![{\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [x\ x])\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942b80b5e21db74c239e2db9866441938e9dcd7f)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [x\ x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96693d9e25adffb19eb0c719c323ab958f45741f)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [x]\ \operatorname {de-let} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af1511e5c7ff0799a4e280b7ce2750563dd9074)
![{\displaystyle (\lambda x.\operatorname {de-let} [f]\ (\operatorname {de-let} [x]\ \operatorname {de-let} [x]))\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dba5d9475d1ba786dbf5c42dd36d0c46d4592a7)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [V]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5434e47a37bdde6d3e3d8d682bbf0f804d6058)
![{\displaystyle (\lambda xf\ (x\ x))\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5582d1ad337e68579c5c782e75b99a0de8b602b)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [x,x\ q=f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6fd0ed4e360860031a742c8344a66c59b7f26d)
![{\displaystyle \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda qf\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75cf1aa279e29d474fb17f4ebc5cc4f5defb52c9)
![{\displaystyle (\lambda xf\ (x\ x))\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda qf\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48982f92b0dd3cd90baacd0535d9ee2892151d4e)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\lambda qf\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814f281b8beddb0bc1a7a6aeab517b5002ddfb0a)
![{\displaystyle (\lambda xf\ (x\ x))\ \operatorname {de-let} [\lambda qf\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6ed52b3681844c1124a3be966ebdd4028d89f)
![{\displaystyle \lambda q.\operatorname {de-let} [f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2660370566c50314d4b8215200ec2849c9d652)
![{\displaystyle (\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda q.\operatorname {de-let} [f\ (q\ q)])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1257c95b087859328d26f1d420d9cd14081304)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [f\ (q\ q)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e07bbd0ebb6d8af2a8a79c623d945ab41ee0f)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{1}\ N_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f26c5ad209de349ab41f3927fd3d2828adcbe0f)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{1}]\ \operatorname {de-let} [N_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af82cbe2c7ecc59768f024d6d8f6a3a8b1c761c4)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [f]\ \operatorname {de-let} [q\ q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fe5f42cd47e697c7d8aa58b92f91638506476d)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [M_{2}\ N_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c661cf033de8426a29b368adbe48afb43a64c02)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [q]\ \operatorname {de-let} [q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae26a059875a2f904c35e31b9ed9e064cfa02d0a)
![{\displaystyle (\lambda xf\ (x\ x))\ (\lambda q.\operatorname {de-let} [f]\ (\operatorname {de-let} [q]\ \operatorname {de-let} [q]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bfce1b42e25e7fb55d6835d2c05a24124a4c83)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p,q:p\ f\ x=f\ (x\ x)\land q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3ce5b0a6240331d58e9f461167d91987480b4e)
![{\displaystyle \operatorname {de-let} [\operatorname {let} p:p\ f\ x=f\ (x\ x)\ \operatorname {in} \operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28135191be9d81a2d353d075f03f6a3811f8c0d8)
![{\displaystyle (\lambda p.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p])\ \operatorname {get-lambda} [p,p\ f\ x=f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a908181486d232a045ff5e8d7e97ced4e79d6)
![{\displaystyle (\lambda p.\operatorname {de-let} [\operatorname {let} q:q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)\ \operatorname {in} q\ p])\ \lambda f.\lambda xf\ (x\ x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6a06fc779c37752eb653c01d5efa43f5702da3)
![{\displaystyle (\lambda p.(\lambda qq\ p)\ \operatorname {get-lambda} [q,q\ p\ f=(p\ f)\ (p\ f)])\ \lambda f.\lambda xf\ (x\ x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c54fd2563f751cb8da941fc0e9776b2fc59818)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x\ f=f\ (x\ f)][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x[x:=x\ x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4faca7a3f76762e8f0081555f15e166a9ae475)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda ff\ (x\ f)][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa877f9d0eda6aa55c4b8983dae2a83bdf3d1763)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=(\lambda ff\ (x\ f))[x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54849eef55bcf0eae0701c309f3243a189c5e3c3)
![{\displaystyle (\lambda xx\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ x=\lambda ff\ (x\ x\ f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5d914121974ea870197522719b9831ace2a34f)
![{\displaystyle (\lambda xx\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda x.\lambda ff\ (x\ x\ f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4579dd21410fabbb333f7653bc2c1ad6dab058cf)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=\operatorname {get-lambda} [x,x=f\ x][x:=x\ x]\ \operatorname {in} x[x:=x\ x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9598ee5545bbd91cc3bf9c0c1f1a1655f5b9ea3)
![{\displaystyle \operatorname {let} x:x\ x=(f\ x)[x:=x\ x]\ \operatorname {in} x\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b796c96e98de229c6cd91cba90e6699e46833ed0)
![{\displaystyle (\lambda xx\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x\ x=f\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8b82fefe5045fcd5e98e7b734402f41f4102cb)
![{\displaystyle (\lambda xx\ x)\ \operatorname {get-lambda} [x,x=\lambda xf\ (x\ x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6386310f7e178162210c20282f523e981296962)
