限界下位と限界上位

Bounds of a sequence

数学において、数列の下限と上限は、数列に対する極限（つまり、最終的な極限）と考えることができます。これらは、関数についても同様に考えることができます（関数の極限を参照）。集合の場合、これらはそれぞれ、集合の極限点の最小値と最大値です。一般に、数列、関数、または集合が複数のオブジェクトを集積する場合、下限と上限は、それらの最小値と最大値を抽出します。オブジェクトのタイプとサイズの測定はコンテキストに依存しますが、極限の概念は不変です。下限は、下限極限、極限最小値、 liminf 、下位極限、下限、または内部極限とも呼ばれ、上限は、上限極限、限界上限、limsup、上位極限、上限、または外部極限とも呼ばれます。

上極限と下極限の図解。数列x _nは青で示されています。2本の赤い曲線は、黒の破線で示されているx _nの上極限と下極限に近づいています。この場合、数列は2つの極限の周りで累積します。上極限は2つのうち大きい方、下極限は小さい方です。上極限と下極限が一致するのは、数列が収束する場合（つまり、極限が1つしかない場合）のみです。

シーケンスの下限は で表され、シーケンスの上限は で表されます。 ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$ ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

シーケンスの定義

その数列（x _n）の極限は、 または $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

同様に、(x _n )の上限は次のように定義されるか、 $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

代わりに、および という表記が使用されることもあります。 ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

上位極限と下位極限は、数列 の連続極限の概念を用いて同値に定義することができる。^[1]拡張実数の元が の連続極限であるとは、となるような自然数の厳密に増加する数列が存在する場合である。が のすべての連続極限の集合である場合、 ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$ ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$ ${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

そして

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

数列の項が実数である場合、実数と±∞（すなわち、拡張された実数直線）は完全であるため、常に上極限と下極限が存在する。より一般的には、これらの定義は、完全格子のように上限と下限が存在する限り、任意の半順序集合において意味を成す。

通常の極限が存在する場合、下極限と上極限はどちらもそれに等しい。したがって、それぞれは通常の極限の一般化とみなすことができ、これは主に極限が存在しない場合に興味深い。一般に、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

下限と上限は、ビッグオー記法と関連しており、数列を「極限内」でのみ制限する。数列は制限を超える可能性がある。しかし、ビッグオー記法では、数列は数列の有限個の接頭辞においてのみ制限を超えることができる。一方、e ^{− n}のような数列の上限は、実際には数列のすべての要素よりも小さい可能性がある。唯一保証されているのは、数列の末尾が、上限に上限の極限を加えた値と、下限に下限の極限から任意の小さな正の定数を引いた値で制限される可能性があるということである。

シーケンスの上限と下限は、関数の上限と下限の特殊なケースです (以下を参照)。

実数列の場合

数学的解析において、上極限と下極限は実数列を研究するための重要なツールです。実数の無限集合の上限と下限は存在しない場合があり（実数は完全格子ではないため）、アフィン拡張実数系で列を考えるのが便利です。つまり、実数直線に正と負の無限大を加えると、完全格子である完全全順序集合[−∞,∞]が得られます。

解釈

実数からなる数列を考えてみましょう。上極限と下極限は実数（つまり無限大ではない）であると仮定します。 ${\displaystyle (x_{n})}$

• の上限とは、任意の正の実数 に対して、任意の に対してとなる自然数 が存在するような最小の実数です。言い換えれば、上限よりも大きい任意の数は、その数列の最終的な上限となります。数列の要素のうち、 より大きい要素は有限個しかありません。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b+\varepsilon }$
• の下限値とは、任意の正の実数 に対して、任意の に対してとなる自然数が存在するような最大の実数です。言い換えれば、下限値より下の任意の数は、最終的に の数列の下限となります。 の数列のうち より小さい要素は有限個だけです。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b-\varepsilon }$

プロパティ

シーケンスが有界である場合、シーケンスのほぼすべての要素は開区間内にある。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).}$

実数列の下位極限と上位極限の関係は次のとおりです。 $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

前述のように、 を に拡張すると便利です。すると、がの収束はのときのみであり、その場合はそれらの共通値に等しくなります。（ のみを扱う場合、またはへの収束は収束とは見なされないことに注意してください。） 下位の極限は上位の極限以下であるため、以下の条件が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

と ならば、区間はのいずれの数も含む必要はありませんが、を任意に小さくした場合、は有限個を除くすべての添え字に対してを含むことになります。実際、 はこの性質を持つ最小の閉区間です。この性質は次のように定式化できます。との部分列（ただし、 とは増加）が存在し、に対して次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{n},}$ ${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

一方、すべての ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

要約すると:

• が上限より大きい場合、上限より大きい数はせいぜい有限個存在し、下限より小さい場合は無限個存在します。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ;}$
• が限界値より小さい場合、その数はせいぜい有限個ですが、それより大きい場合は、その数は無限個になります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ;}$

逆に言えば、次のことも示せます。

• より大きいか等しい が無限にある場合、 は上限の限界以下になります。より大きい数が有限個しかない場合、 は上限の限界以上になります。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• もし が無限に小さいか等しい場合、 は の極限以上であり、が有限個しかない場合、は の極限以下である。^[2] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

一般的に、シーケンスのliminfとlimsupはそれぞれ最小のクラスターポイントと最大のクラスターポイントです。^[3] $${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

• 任意の2つの実数列について、不等式の右辺が定義されている場合（つまり、またはではない場合）、その極限は劣加法性を満たします。 ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

同様に、劣った極限は超加法性を満たします。シーケンスの 1 つが実際に収束するという特別なケースでは、 とすると上記の不等式は等式になります (または はに置き換えられます)。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$ ${\displaystyle a_{n}\to a,}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a}$

• 任意の2つの非負実数列に対して、不等式と ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

右辺が次の形式でない場合は必ず成立する ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

が存在する場合（ の場合も含む）であり、 がの形式でない場合 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ ${\displaystyle A=+\infty }$ ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

例

• 例として、正弦関数によって与えられたシーケンスを考えてみましょう。πが無理数であるという事実を用いると、次の式が成り立ちます(これはシーケンスがmod 2π で等分布しているためであり、等分布定理の帰結です)。 ${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• 数論からの例は、 が-番目の素数である場合です。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$

この劣った極限の値は2であると推測されています – これは双子素数予想です– しかし、2014年4月現在、246以下であることが証明^[update]されています。^[4]対応する優れた極限は です。連続する素数の間には任意の大きなギャップがあるためです。 ${\displaystyle +\infty }$

実数値関数

関数が実数の部分集合から実数へと定義されていると仮定する。数列の場合と同様に、+∞と−∞の値を許容する限り、下極限と上極限は常に明確に定義される。実際、両者が一致する場合、極限は存在し、それらの共通値（この場合も無限大を含む可能性がある）に等しい。例えば、 が与えられている場合、 と が成り立つ。この2つの差は、関数がどの程度「激しく」振動するかを示す大まかな尺度であり、この事実を観察すると、これはfの0 における振動と呼ばれる。この振動の概念は、例えば、リーマン積分可能関数を、測度ゼロの集合 を除いて連続であると特徴付けるのに十分である。^[5] 非ゼロ振動点（すなわち、fが「不規則に振舞う」点）は不連続点であり、ゼロの集合を構成しない限り、無視できる集合に限定されることに注意されたい。 ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

点を含む区間上で定義された実数値関数の上極限は^[6]であり、下極限は[7]である。さらに、点を端点とする区間上で定義された関数の片側バージョンも存在する。 ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0}-a,x_{0}+a)),}$$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0}-a,x_{0}+a)).}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0},x_{0}+a)),}$$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0}-a,x_{0})),}$$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0},x_{0}+a)),}$$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0}-a,x_{0})).}$$

位相空間から完全格子への関数

距離空間からの関数

計量空間上に定義された関数には、limsup と liminf という概念があり、その関数と実数値関数の極限との関係は、limsup、liminf、および実数列の極限との関係を反映している。計量空間、に含まれる部分空間、および関数 をとる。の閉包の任意の点に対して、 を定義する。[ ^7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$そして

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$

ここで、 は半径のメートル法の球を表します。 ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle a}$

εが小さくなるにつれて、球面関数の最大値は非増加（厳密に減少するか、同じまま）になるので、

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$同様に $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right).}$$

計量空間における limsup と liminf の定義は、次のように同等に再定式化できます。

• としての の上限は、 に向かうすべてのシーケンスにわたって取られたの上限です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• の下限は、になる傾向のあるすべてのシーケンスにわたって取られたの下限です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

位相空間からの関数

これが最終的に一般位相空間の定義の動機となる。これまでと同様にX、E 、 aをとるが、Xを位相空間とする。この場合、計量球を近傍に置き換える。^[8]

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

（ネットと近傍フィルタを用いて「lim」で式を書く方法もあります）。このバージョンは、解析学で頻繁に登場する半連続性の議論で役立ちます。興味深いのは、このバージョンでは、拡張実数直線の位相的部分空間としての自然数から空間への関数としてシーケンスを考えることで、シーケンスバージョンを包含している点です（拡張実数直線である[−∞,∞]におけるNの閉包はN ∪ {∞}です  ）。

セットのシーケンス

集合Xの冪集合℘ ( X )は、集合包含によって順序付けられた完全格子であるため、任意の部分集合（集合包含の観点から）の上限と下限は常に存在する。特に、Xのすべての部分集合Yは、 ∅ ⊆ Y ⊆ Xであるため、上はXで、下は空集合∅ で囲まれる。したがって、 ℘( X ) 内の列（すなわち、Xの部分集合の列）の上極限と下極限を考慮することが可能であり、場合によっては有用である。

集合列の極限を定義する一般的な方法は2つあります。どちらの場合も、

• 数列は、個々の点そのものではなく、点の集合を中心に集積する。つまり、数列の各要素自体が集合であるため、数列の無限個の要素に何らかの形で近接する集積集合が存在する。
• 上限／上極限／外極限は、これらの集積集合を結合する集合です。つまり、すべての集積集合の和集合です。集合の包含関係で順序付けた場合、上限極限は集積点の集合の最小の上限となります。なぜなら、上限極限は集積点のそれぞれを包含するからです。したがって、上限極限は極限点の上限です。
• 最小値／下極限／内極限は、これらのすべての集積集合が交わる集合です。つまり、すべての集積集合の交点です。集合の包含関係で順序付けた場合、最小極限は集積点の集合の最大の下限となります。なぜなら、それはすべての集積点に含まれるからです。したがって、最小極限は極限点の最小値です。
• 順序付けは集合の包含関係によって行われるため、外極限は常に内極限を包含する（すなわち、lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n）。したがって、集合列の収束を考える場合、一般的にはその列の外極限の収束を考えれば十分である。

2つの定義の違いは、位相（すなわち分離をどのように定量化するか）の定義方法にあります。実際、離散計量を用いてX上の位相を誘導する場合、2番目の定義は1番目の定義と同一です。

一般集合収束

計量化可能空間 における集合列が極限集合に近づくとは、列の各要素の元が極限集合の元に近づくことを意味する。特に、が の部分集合列である場合、以下のようになる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$これは外極限とも呼ばれ、 （可算に）無限個から取られた点の極限となる要素から成ります。つまり、点の列との部分列が存在し、かつ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$は内極限とも呼ばれ、有限個（つまり、余有限個）を除くすべてのにおける点の極限となる元から構成される。つまり、と を満たす点列が存在する場合のみである。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

極限は、と が一致する場合にのみ存在し、その場合、^{[9]外側の極限と内側の極限は、}集合論的な上位極限と下位極限と混同してはならない。後者の集合は空間の位相構造に影響を受けないからである。 ${\displaystyle \lim X_{n}}$ ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

特殊なケース: 離散計量

これは測度論と確率論で用いられる定義である。以下で論じる位相的な観点とは対照的に、集合論的な観点からの更なる議論と例は集合論的極限にある。

この定義によれば、集合列が極限集合に近づくのは、その極限集合がその列の有限個を除くすべての集合に含まれる元を含み、かつその列の有限個を除くすべての補集合に含まれる元を含まない場合である。つまり、この場合は、集合X上の位相が離散計量から誘導される場合の一般定義を特殊化したものである。

具体的には、点x , y ∈ Xに対して、離散計量は次のように定義されます。

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

点列 ( x _k ) が点x ∈ Xに収束する場合、かつその場合の kは有限個を除くすべてのkに対してx _k = xとなる。したがって、極限集合が存在する場合、その集合には点が含まれ、かつ有限個を除くすべての k に含まれる点のみが含まれる。離散計量における収束は収束の最も厳密な形式（すなわち、最も多くの収束を必要とする）であるため、この極限集合の定義は可能な限り厳密である。

( X _n ) がXのサブセットのシーケンスである場合、次のものが常に存在します。

• lim sup  X _{n は、} X _nに属する無限個のnの元から成ります（可算無限を参照）。つまり、x ∈ lim sup  X _nとなるのは、( X _n )の部分列 ( X _{n k} )が存在し、任意のkに対してx ∈ X _{n k}となる場合のみです。
• lim inf  X _{n は、}有限個のnを除くすべての nに対してX _nに属するXの要素から構成される（つまり、共有限個のnに対して）。つまり、x ∈ lim inf  X _nとなるのは、任意のn > mに対してx ∈ X _nとなるようなm > 0が存在する場合のみである。

x ∈ lim sup  X _nである場合、かつその場合のみx ∉ lim inf  X _n ^cであることに注意してください。

• lim  X _{n は}、 lim inf X _nと lim sup  X _nが一致する場合にのみ存在し 、その場合、 lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _nとなります。

この意味で、 Xのすべての点が有限個のXnを除くすべてのXncに現れる_か、有限個のXnc_を除くすべての^Xncに現れる限り、その列には限界がある。 ^[10]

集合論の標準的な用語を用いると、包含集合はXのすべての部分集合の集合に半順序を与え、集合の積によって最大の下限を、集合の和によって最小の上限を生成できる。したがって、部分集合の最小値または交わりは最大の下限であり、最大値または交わりは最小の上限である。この文脈において、内極限 lim inf  X _nは数列の 両端の最大の交わりであり、外極限 lim sup X _nは数列の両端の最小の結合である。以下はこれをより明確にする。

• I _{n を}数列のn番目の^末端の交わりとします。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

列 ( I _n ) は非減少 (すなわちI _n ⊆ I _{n +1} ) である。なぜなら、各I _{n +1は}I _nよりも少ない集合の交差となるからである。この表裏の交わりの列の最小の上界は

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、極限最小値は、シーケンスの有限個セットを除くすべてのセットの下限となるすべてのサブセットを含みます。

• 同様に、J _{n を}シーケンスのn番目の^末端の結合とします。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

列 ( J _n ) は非増加 (すなわちJ _n ⊇ J _{n +1} ) である。なぜなら、各J _{n +1は}J _nよりも少ない集合の和集合だからである。この表裏の結合列の最大の下限は

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、極限上限は、シーケンスの有限個セットを除くすべてのセットの上限であるすべてのサブセットに含まれます。

例

以下に集合収束の例をいくつか示す。これらは、集合X上の位相を誘導するために用いられる計量に基づいて、いくつかのセクションに分割されている。

離散メトリックの使用

• ボレル-カンテリの補題はこれらの構成の応用例です。

離散計量またはユークリッド計量のいずれかを使用する

• 集合X = {0,1}と部分集合のシーケンスを考えます。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

この数列の「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点0と1を持つ2つの部分数列({0}, {0}, {0}, ...)と({1}, {1}, {1}, ...)を形成し、したがって、外側の極限、すなわち上側の極限は、これらの2点の集合{0,1}です。しかし、( X _n )数列全体から取り出せる極限点は存在しないため、内側の極限、すなわち下側の極限は空集合{}です。つまり、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) かつ ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...) の場合:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• 集合X = {50, 20, −100, −25, 0, 1}と部分集合のシーケンスを考えます。

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

前の2つの例と同様に、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

つまり、パターンに一致しない4つの要素は、有限個しかないため、lim inf と lim sup に影響を与えません。実際、これらの要素は数列のどこにでも配置できます。数列の両端が維持される限り、外側の極限と内側の極限は変化しません。本質的上限と本質的下限を用いる本質的内側極限と本質的外側極限という関連概念は、有限個ではなく可算個の格子間追加を「押しつぶす」重要な修正をもたらします。

ユークリッド距離の使用

• 有理数の部分集合の列を考えてみましょう。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

この数列の「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点1と0を持つ2つの部分数列（{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...）と（{1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...）を形成します。したがって、外側の極限、つまり上側の極限は、これらの2点の集合{0,1}です。しかし、数列（X _n）全体から取り出せる極限点は存在しないため、内側の極限、つまり下側の極限は空集合{}です。したがって、前の例と同様に、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) かつ ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...) の場合:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

これら 4 つのケースのそれぞれにおいて、限界セットの要素は、元のシーケンスのどのセットの要素でもありません。

• 動的システムの解のΩ極限（すなわち極限集合）は、システムの解の軌道の外側の極限である。^{[9] ：50–51}軌道はこの極限集合にどんどん近づくので、これらの軌道の末端は極限集合に収束する。

• 例えば、減衰のない2次LTIシステム（つまり、減衰比がゼロ）を持つ複数の安定システムをカスケード接続したLTIシステムは、摂動を受けた後、無限に振動します（例えば、叩かれた後の理想的なベル）。したがって、このシステムの位置と速度をプロットすると、軌道は状態空間内の円に近づきます。この円はシステムのΩ極限集合であり、システムの解軌道の外側の限界です。円は、純粋な正弦波音の出力に対応する軌道の軌跡を表します。つまり、システム出力は純音に近づきます。

一般化された定義

上記の定義は、多くの技術的応用には不十分です。実際、上記の定義は以下の定義を特殊化したものです。

集合の定義

集合X  ⊆  Yの極限下点とは、その集合のすべての極限点の最小値である。つまり、

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

同様に、 Xの極限は、その集合のすべての極限点の上限である。つまり、

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

これらの定義が意味を成すためには、集合X は位相空間でもある半順序集合 Yの部分集合として定義される必要があることに注意してください。さらに、X は完備格子でなければならず、これにより上限と下限が常に存在します。この場合、すべての集合には上限と下限が存在します。また、集合の下限と上限の極限は、必ずしもその集合の要素である必要はないことにも注意してください。

フィルタ基底の定義

位相空間 Xとその空間内のフィルタ基底 Bをとる。そのフィルタ基底のすべてのクラスタ点の集合は次のように与えられる。

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

ここではの閉包である。これは明らかに閉集合であり、集合 の極限点の集合に類似している。X も半順序集合 であると仮定する。フィルタ基底Bの上の極限は次のように定義される。 ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

のとき、その上限が存在する。Xが全順序を持つとき、は完備格子であり、順序位相を持つ。

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

同様に、フィルタベースBの下限は次のように定義されます。

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

その最小値が存在するとき、Xが全順序付きで完備格子であり、順序位相を持つとき、

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

下位の限界と上位の限界が一致する場合、クラスター ポイントは 1 つだけ存在し、フィルター ベースの限界はこの一意のクラスター ポイントに等しくなります。

シーケンスとネットの特殊化

フィルタ基底はネットの一般化であり、ネット はシーケンスの一般化であることに注意されたい。したがって、これらの定義は、任意のネット（ひいては任意のシーケンス）の下位極限と上位極限も与える。例えば、位相空間とネットを考える。ここでは有向集合であり、すべての に対して である。このネットによって生成されるフィルタ基底（「末尾の」）は次のように定義される 。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle (A,{\leq })}$ ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

したがって、ネットの下限と上限は、それぞれ上限と下限に等しい。同様に、位相空間 に対して、任意の に対してとなる系列 をとる。この系列によって生成されるフィルタ基数（「末尾の」）は次のように定義される 。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

したがって、シーケンスの下限値と上限値は、それぞれ の上限値と下限値に等しくなります。 ${\displaystyle C}$

参照

• 本質的下限と本質的上限
• エンベロープ（波）
• 片側制限
• ディニ誘導体
• 集合論的極限

参考文献

1. Rudin, W. (1976). 『数学解析の原理』 ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 56. ISBN 007054235X。
2. グリーソン、アンドリュー・M. (1992) [1966]. 『抽象分析の基礎』 AKピーターズ/CRCプレス. pp.  176– 177. ISBN 978-1-4398-6481-4LCCN  91006841。OCLC 1074040561  。​
3. グリーソン、アンドリュー・M. (1992) [1966]. 『抽象分析の基礎』 AKピーターズ/CRCプレス. pp.  160– 182. ISBN 978-1-4398-6481-4LCCN  91006841。OCLC 1074040561  。​
4. 「素数間の境界ギャップ」Polymath wiki . 2014年5月14日閲覧。^{[信頼できない情報源? ]}
5. 「ルベーグのリーマン積分可能性の判定基準（MATH314講義ノート）」（PDF）ウィンザー大学. 2007年3月3日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2006年2月24日閲覧。
6. ダンフォード＆シュワルツ 1957年、4ページ。
7. ディウドネ 1976年、30ページ。
8. ブルバキ 1998, IV.5.6.
9. Goebel, Rafal; Sanfelice, Ricardo G.; Teel, Andrew R. (2009). 「ハイブリッド動的システム」. IEEE Con​​trol Systems Magazine . 29 (2): 28– 93. doi :10.1109/MCS.2008.931718.
10. ハルモス, ポール・R. (1950).測度論. プリンストン, ニュージャージー: D. ヴァン・ノストランド社.

• アマン, H.; エッシャー, ヨアヒム (2005). 『分析』 バーゼル; ボストン: ビルクハウザー. ISBN 0-8176-7153-6。
• ブルバキ、ニコラス（1998年）『数学の要素：一般位相幾何学』1-4ページ、シュプリンガー、ISBN 0-201-00636-7。
• ジャン・デュドネ (1976)。分析に関する論文、第 2 巻。学術出版局。
• ダンフォード、シュワルツ (1957).線形演算子. ワイリー.
• ゴンザレス、マリオ・O (1991). 『古典複素解析』 ニューヨーク: M. デッカー. ISBN 0-8247-8415-4。

外部リンク

• 「上限と下限」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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