線形位相

信号処理において、線形位相とは、フィルタの位相応答が周波数の線形関数となる特性です。その結果、入力信号のすべての周波数成分は、同じ一定量（線形関数の傾き）だけ時間的にシフト（通常は遅延）されます。この一定量は群遅延と呼ばれます。したがって、周波数間の相対的な時間遅延による位相歪みは発生しません。

離散時間信号の場合、対称または反対称の係数を持つ有限インパルス応答（FIR）フィルタを用いることで、完全な線形位相を容易に実現できます。 ^{[1]近似値は、より計算効率の}高い無限インパルス応答（IIR）設計で実現できます。いくつかの手法を以下に示します。

最大限平坦な群遅延近似関数を持つベッセル伝達関数
位相イコライザー

意味

周波数応答の位相成分が周波数の線形関数である場合、フィルタは線形位相フィルタと呼ばれます。連続時間アプリケーションの場合、フィルタの周波数応答はフィルタのインパルス応答のフーリエ変換であり、線形位相バージョンは次のようになります。

H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau },

どこ：

A(ω)は実数値関数です。
$\tau$ グループ遅延です。

離散時間アプリケーションの場合、線形位相インパルス応答の離散時間フーリエ変換は次の形式になります。

H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},

どこ：

A(ω)は2π周期の実数値関数です。
k は整数であり、k/2 はサンプル単位でのグループ遅延です。

$H_{2\pi }(\omega )$ は、フィルタインパルス応答のZ変換によっても表すことができるフーリエ級数です。つまり、

H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }),

ここで、表記法は Z 変換とフーリエ変換を区別します。 ${\widehat {H}}$

例

正弦波が一定の（周波数に依存しない）グループ遅延を持つフィルタを通過すると、結果は次のようになります。 $,\ \sin(\omega t+\theta ),$ $\tau ,$

A(\omega )\cdot \sin(\omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),

どこ：

$A(\omega )$ 周波数に依存する振幅乗数です。
位相シフトは角周波数の線形関数であり、傾きはです。 $\omega \tau$ $\omega$ $-\tau$

複素指数関数は次のようになります。

e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),

次のように変換されます。

A(\omega )\cdot e^{i(\omega (t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\theta )}\cdot A(\omega )e^{-i\omega \tau }

^{[注 1]}

近似的に線形位相を得るには、フィルタの通過帯域（s）においてのみその特性を持つだけで十分であり、その帯域では|A(ω)|が比較的大きな値を持ちます。したがって、フィルタの線形性を検証するためには、通常、振幅グラフと位相グラフ（ボード線図）の両方が使用されます。「線形」位相グラフには、πラジアンまたは2πラジアンの不連続点が含まれる場合があります。より小さな不連続点は、A(ω)の符号が変化する箇所で発生します。|A(ω)|は負にはならないため、その変化は位相グラフに反映されます。2πラジアンの不連続点は、実際の値ではなく主値をプロットするために発生します。 $\omega \tau ,$

離散時間アプリケーションでは、周期性と対称性のため、 0からナイキスト周波数までの周波数領域のみを調べます。周波数単位に応じて、ナイキスト周波数は実際のサンプルレートの0.5、1.0、π、または1/2になります。線形位相と非線形位相の例をいくつか以下に示します。

単純なFIRフィルタの周波数応答の2つの図

線形位相の離散時間フィルタは、対称または反対称のFIRフィルタによって実現できます。^[2] 必要条件ですが十分条件ではありません。

\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot (n-\alpha )+\beta )=0

一部の人にとっては。^[3] $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

一般化線形位相

一般化線形位相を持つシステムでは、位相に周波数に依存しない定数が加えられます。例えば離散時間システムの場合、周波数応答は次のようになります。 $\beta$

H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta },

\arg \left[H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta -\omega k/2

のために

-\pi <\omega <\pi

この定数のため、システムの位相は厳密には周波数の線形関数ではありませんが、線形位相システムの有用な特性の多くを保持しています。^[4]

参照

最小位相

注記

^ 乗数はωの関数として、フィルタの周波数応答として知られています。 $A(\omega )e^{-i\omega \tau }$

引用

^ Selesnick, Ivan. 「4種類の線形位相FIRフィルター」Openstax CNX . ライス大学. 2014年4月27日閲覧。
^ Selesnick, Ivan. 「4種類の線形位相FIRフィルター」Openstax CNX . ライス大学. 2014年4月27日閲覧。
^ オッペンハイム、アラン・V、ロナルド・W・シェーファー（1975年）『デジタル信号処理』（第3版）プレンティス・ホール、ISBN 0-13-214635-5。
^ オッペンハイム、アラン・V、ロナルド・W・シェーファー（1975年）『デジタル信号処理』（第1版）プレンティス・ホール、ISBN 0-13-214635-5。

[2] 乗数はωの関数として、フィルタの周波数応答として知られています。 $A(\omega )e^{-i\omega \tau }$

[1] Selesnick, Ivan. 「4種類の線形位相FIRフィルター」Openstax CNX . ライス大学. 2014年4月27日閲覧。

[3] Selesnick, Ivan. 「4種類の線形位相FIRフィルター」Openstax CNX . ライス大学. 2014年4月27日閲覧。

[4] オッペンハイム、アラン・V、ロナルド・W・シェーファー（1975年）『デジタル信号処理』（第3版）プレンティス・ホール、ISBN 0-13-214635-5。

[5] オッペンハイム、アラン・V、ロナルド・W・シェーファー（1975年）『デジタル信号処理』（第1版）プレンティス・ホール、ISBN 0-13-214635-5。