Mathematical relation defining a sequence
数学 ( 組合せ論 、 線型代数 、および 力学システムを 含む) において、 定数係数の線型回帰 [1] : ch. 17 [2] : ch. 10 (線型回帰関係 または 線型差分方程式 とも呼ばれる) は、 変数のさまざまな反復、つまり、 シーケンス の要素の値において 線型である 多項式を 0 に等しく設定します 。多項式の線型性とは、各項の次数が 0 または 1 であることを意味します。 線型 回帰は、時間の経過に伴う何らかの変数の変化を表し、現在の 期間 または離散的な瞬間を t 、1 つ前の期間を t − 1 、1 つ後の期間を t + 1 など
と表記します。
このような方程式の解は t の関数であり 、 反復 値 の関数ではないため、任意の時点における反復の値を与えます。解を求めるには、 反復 nの特定の値（ 初期条件 と呼ばれる）を知る必要があります。通常、これらは最も古い n 回の反復です。任意の初期条件の集合において、時間の無限大に対する変数の極限が存在する場合、方程式またはその変数は 安定し ていると言われます。この極限は 定常状態 と呼ばれます。
差分方程式は、経済学 において 国内総生産 、 インフレ率 、 為替レート などの変数の時間的変化をモデル化するなど、様々な場面で用いられます 。これらの変数の値は離散的な間隔でのみ測定されるため、差分方程式はこうした 時系列の モデル化に用いられます。 計量経済学の分野では、線形差分方程式は、 自己回帰（AR）モデル の形で 確率項 を用いてモデル化されるほか、ARと他の特性を組み合わせた ベクトル自己回帰 （VAR）モデルや 自己回帰移動平均 （ARMA）モデルなどのモデルでもモデル化されます 。
定義 定数係数の線形回帰は 、 パラメータ a 1 、...、 a n 、および b で表された次の形式の方程式です 。
y t = a 1 y t − 1 + ⋯ + a n y t − n + b , {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,}
または同等に
y t + n = a 1 y t + n − 1 + ⋯ + a n y t + b . {\displaystyle y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.}
正の整数は再帰の 次数 と呼ばれ、反復間の最長の時間差を表します。b = 0 の場合、 方程式は同次方程式と呼ばれ、b ≠ 0 の 場合 、 非 同次方程式 と呼ばれます。 n {\displaystyle n}
方程式が同次である場合、係数は 特性多項式 （「補助多項式」または「伴多項式」とも呼ばれる）
を決定する。
p ( λ ) = λ n − a 1 λ n − 1 − a 2 λ n − 2 − ⋯ − a n {\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\cdots -a_{n}}
その根は、再帰を満たすシーケンスを見つけて理解する上で重要な役割を果たします。
b ≠ 0 の 場合 、式
y t = a 1 y t − 1 + ⋯ + a n y t − n + b {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}
は非同次 方程式であると言われています 。この方程式を解くには、定数項のない同次方程式に変換するのが便利です。これは、まず方程式の 定常値 、 つまり n回の連続する反復がすべてこの値を持つ場合、それ以降のすべての値もこの値を持つような値 y *を求めることによって行われます。この値は、差分方程式においてすべての yの値を y * に等しく 設定し 、解くことで得られます。
y ∗ = b 1 − a 1 − ⋯ − a n {\displaystyle y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}}
分母が 0 ではないと仮定します。0 の場合、定常状態は存在しません。
定常状態が与えられれば、差分方程式は定常状態からの反復の偏差で書き直すことができる。
( y t − y ∗ ) = a 1 ( y t − 1 − y ∗ ) + ⋯ + a n ( y t − n − y ∗ ) {\displaystyle \left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{t-n}-y^{*}\right)}
これは定数項を持たず、より簡潔に次のように書くことができる。
x t = a 1 x t − 1 + ⋯ + a n x t − n {\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}}
ここで x は y − y * に等しい 。これは同次形式である。
定常状態が存在しない場合は、差分方程式
y t = a 1 y t − 1 + ⋯ + a n y t − n + b {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}
同等の形式と組み合わせることができる
y t − 1 = a 1 y t − 2 + ⋯ + a n y t − ( n + 1 ) + b {\displaystyle y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b}
（両方をb について解くことによって ）
y t − a 1 y t − 1 − ⋯ − a n y t − n = y t − 1 − a 1 y t − 2 − ⋯ − a n y t − ( n + 1 ) {\displaystyle y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{t-n}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}}
同類項を組み合わせることで、元の方程式より 1 次高い同次方程式を生成できます。
小口注文向けソリューション例 特性多項式の根は、再帰式を満たす数列を見つけ、理解する上で重要な役割を果たします。 異なる根が存在する場合 、再帰式の各解は の形をとり、 係数は 再帰式の初期条件に適合するように決定されます。同じ根が複数回出現する場合、この式において同じ根の2回目以降の出現に対応する項には の累乗が乗じられます 。例えば、特性多項式が と因数分解でき 、同じ根が 3回出現する場合、解は [3] の形をとります。 d {\displaystyle d} r 1 , r 2 , … , r d , {\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{d},} a n = k 1 r 1 n + k 2 r 2 n + ⋯ + k d r d n , {\displaystyle a_{n}=k_{1}r_{1}^{n}+k_{2}r_{2}^{n}+\cdots +k_{d}r_{d}^{n},} k i {\displaystyle k_{i}} n {\displaystyle n} ( x − r ) 3 {\displaystyle (x-r)^{3}} r {\displaystyle r} a n = k 1 r n + k 2 n r n + k 3 n 2 r n . {\displaystyle a_{n}=k_{1}r^{n}+k_{2}nr^{n}+k_{3}n^{2}r^{n}.}
注文1 1次の場合、漸化式は の 解を持ち 、 最も一般的な解は の解です 。特性多項式をゼロとみなすと（ 特性方程式 ）は単に となります 。 a n = r a n − 1 {\displaystyle a_{n}=ra_{n-1}} a n = r n {\displaystyle a_{n}=r^{n}} a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} a n = k r n {\displaystyle a_{n}=kr^{n}} a 0 = k {\displaystyle a_{0}=k} t − r = 0 {\displaystyle t-r=0}
注文2 このような高次の再帰関係の解は、しばしば が 特性多項式の根である とき、 が再帰関係の解となるという事実を用いて、体系的な方法で求められます。これは直接アプローチすることも、 生成関数 （ 形式的冪級数 ）や行列を用いてアプローチすることもできます。 a n = r n {\displaystyle a_{n}=r^{n}} t = r {\displaystyle t=r}
例えば、次のような再帰関係を考えてみましょう。 a n = A a n − 1 + B a n − 2 . {\displaystyle a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}.}
どのような場合に と同じ一般形の解が得られるのでしょうか 。この推測 ( ansatz ) を再帰関係に代入すると、 すべての に対して が成り立つことがわかります 。 a n = r n {\displaystyle a_{n}=r^{n}} r n = A r n − 1 + B r n − 2 {\displaystyle r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}} n > 1 {\displaystyle n>1}
を で割ると 、これらすべての方程式は同じものになります。 r n − 2 {\displaystyle r^{n-2}}
r 2 = A r + B , r 2 − A r − B = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=Ar+B,\\r^{2}-Ar-B&=0,\end{aligned}}}
これは再帰関係の特性方程式である。を解くと、 2つの根 ,が得られる。これらの根は 特性根 または特性方程式の 固有値 と呼ばれる 。根の性質によって異なる解が得られる。これらの根が異なる場合、一般解は次のようになる。 r {\displaystyle r} λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}}
a n = C λ 1 n + D λ 2 n {\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}
一方、それらが同一である場合（のとき ）、 A 2 + 4 B = 0 {\displaystyle A^{2}+4B=0}
a n = C λ n + D n λ n {\displaystyle a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n}}
これは最も一般的なソリューションです。2 つの定数と を、 与えられた 2 つの初期条件とに基づいて選択して 、 特定のソリューションを生成することができます。 C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} a 0 {\displaystyle a_{0}} a 1 {\displaystyle a_{1}}
複素固有値（解パラメータおよび も複素数値となる）の場合、解を三角関数形式で書き直すことで複素数の使用を省くことができる。この場合、固有値は 次 のように書ける。すると、 C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} λ 1 , λ 2 = α ± β i . {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\alpha \pm \beta i.}
a n = C λ 1 n + D λ 2 n {\displaystyle a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}}
は次のように書き直すことができる [4] :576–585
a n = 2 M n ( E cos ( θ n ) + F sin ( θ n ) ) = 2 G M n cos ( θ n − δ ) , {\displaystyle a_{n}=2M^{n}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),}
どこ
M = α 2 + β 2 cos ( θ ) = α M sin ( θ ) = β M C , D = E ∓ F i G = E 2 + F 2 cos ( δ ) = E G sin ( δ ) = F G {\displaystyle {\begin{array}{lcl}M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}&\cos(\theta )={\tfrac {\alpha }{M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2}}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta )={\tfrac {F}{G}}\end{array}}}
ここで 、および （または、 および ）は初期条件に依存する実定数である。 E {\displaystyle E} F {\displaystyle F} G {\displaystyle G} δ {\displaystyle \delta } λ 1 + λ 2 = 2 α = A , {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=2\alpha =A,} λ 1 ⋅ λ 2 = α 2 + β 2 = − B , {\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-B,}
上記の解決策を次のように簡略化することができる。
a n = ( − B ) n 2 ( E cos ( θ n ) + F sin ( θ n ) ) , {\displaystyle a_{n}=(-B)^{\frac {n}{2}}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),}
ここで 、 およびは初期条件であり、 a 1 {\displaystyle a_{1}} a 2 {\displaystyle a_{2}}
E = − A a 1 + a 2 B F = − i A 2 a 1 − A a 2 + 2 a 1 B B A 2 + 4 B θ = arccos ( A 2 − B ) {\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {-Aa_{1}+a_{2}}{B}}\\F&=-i{\frac {A^{2}a_{1}-Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{aligned}}}
この方法では、と を解く必要はありません 。 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}}
実固有値が異なる場合、実固有値が重複している場合、複素共役固有値の場合のいずれの場合も、方程式は 安定 （つまり、変数が 固定値（具体的にはゼロ）に収束）する ため、 両方の固有値の 絶対値 が1より小さいことが必要です。この2次のケースでは、固有値に関するこの条件は と等価であることが 示されており [5] 、 は および と等価です 。 a {\displaystyle a} | A | < 1 − B < 2 {\displaystyle |A|<1-B<2} | B | < 1 {\displaystyle |B|<1} | A | < 1 − B {\displaystyle |A|<1-B}
一般解
特性多項式と根 同次方程式を解く
x t = a 1 x t − 1 + ⋯ + a n x t − n {\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}}
まずその特性多項式を解く必要がある
λ n = a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 2 λ 2 + a n − 1 λ + a n {\displaystyle \lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}}
特性根 λ 1 , ..., λ n についてです。これらの根は、 n ≤ 4 であれば 代数的 に解くことができますが、 それ以外の場合は必ずしも解くことができません 。解を数値的に用いる場合、この特性方程式のすべての根は 数値的手法によって求めることができます。しかし、理論的な文脈で用いる場合、根について必要な情報は、根の 絶対値が 1以上であるかどうかだけかもしれません 。
すべての根が 実数である場合もあれば、 複素数 である場合もあります 。後者の場合、すべての複素根は 複素共役 対になります。
明確な特性根を持つ解 すべての特性根が異なっている場合、同次線形回帰の解は
x t = a 1 x t − 1 + ⋯ + a n x t − n {\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}}
特性根を使って次のように書くことができる。
x t = c 1 λ 1 t + ⋯ + c n λ n t {\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}}
ここで、係数 c i は 初期条件を呼び出すことで求めることができます。具体的には、反復値が既知の各期間について、この値とそれに対応する t の値を解方程式に代入することで、 n 個の未知パラメータに関する線形方程式を得ることができます。 この ような方程式を、各初期条件ごとに1つずつ、 n個の パラメータ値について 同時に解く ことができます。すべての特性根が実数であれば、すべての係数値 c i も実数になります。ただし、非実数複素根の場合、一般にこれらの係数の一部も非実数になります。
複素根が存在する場合、それらは共役対となり、解方程式の複素項も同様に共役対となる。これらの複素項のうち2つが c j λである場合、 t j そして c j +1 λ t j +1 λ j の根は 次のように書ける。
λ j , λ j + 1 = α ± β i = M ( α M ± β M i ) {\displaystyle \lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}i\right)}
ここで、 i は 虚数単位 、 M は根の 係数 です。
M = α 2 + β 2 . {\displaystyle M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.}
すると、解方程式の2つの複素項は次のように書ける。
c j λ j t + c j + 1 λ j + 1 t = M t ( c j ( α M + β M i ) t + c j + 1 ( α M − β M i ) t ) = M t ( c j ( cos θ + i sin θ ) t + c j + 1 ( cos θ − i sin θ ) t ) = M t ( c j ( cos θ t + i sin θ t ) + c j + 1 ( cos θ t − i sin θ t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left({\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta t-i\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}}
ここで θ は、そのコサインが α / M そしてその正弦は β / M ; ここでの最後の等式には、 ド・モアブルの公式 が使用されています。
係数 c j と c j +1 を求める過程において、これらも複素共役であることが保証されます。これは γ ± δi と表すことができます。これを最後の式に用いると、解方程式の2つの複素項は次のようになります。
2 M t ( γ cos θ t − δ sin θ t ) {\displaystyle 2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)}
これは次のようにも書ける。
2 γ 2 + δ 2 M t cos ( θ t + ψ ) {\displaystyle 2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi )}
ここで ψは、コサインが である角度である。 γ / √γ 2 + δ 2 そしてその正弦は δ / √γ 2 + δ 2 。
周期性 初期条件によっては、すべての根が実根であっても、反復計算は定常値を超えたり下回ったりする一時的な傾向を経験することがあります。しかし、真の周期性は永続的な変動傾向を伴い、これは複素共役特性根のペアが少なくとも1組存在する場合に発生します。これは、 cos θt と sin θt を含む解方程式へのそれらの寄与の三角関数形式に見られます。
重複した特性根を持つ解 2階の場合、2つの根が同一（ λ 1 = λ 2 ）であれば、両方ともλ と表記され 、解は次の形式となる。
x t = c 1 λ t + c 2 t λ t . {\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.}
別の解法としては、 n 次差分方程式を1次行列 差分方程式 に変換する方法があります。これは、 w 1, t = y t 、 w 2, t = y t −1 = w 1, t −1 、 w 3, t = y t −2 = w 2, t −1 、などと書き表すことで実現されます。すると、元の単一の n 次方程式は
y t = a 1 y t − 1 + a 2 y t − 2 + ⋯ + a n y t − n + b {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b}
は次のn 個の1次方程式 に置き換えることができます。
w 1 , t = a 1 w 1 , t − 1 + a 2 w 2 , t − 1 + ⋯ + a n w n , t − 1 + b w 2 , t = w 1 , t − 1 ⋮ w n , t = w n − 1 , t − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_{n-1,t-1}.\end{aligned}}}
ベクトル w i を次のように
定義する
w i = [ w 1 , i w 2 , i ⋮ w n , i ] {\displaystyle \mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}}
これを行列形式で表すと、
w t = A w t − 1 + b {\displaystyle \mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b} }
ここで、 A は n × n 行列で、最初の行には 1 、 ...、 nが含まれ、 他 のすべての行には 1 が 1 つ含まれ、他のすべての要素は 0 です。b は 、最初の要素がb で残りの要素が 0 である 列ベクトルです。
この行列方程式は、記事「行列差分方程式」 で紹介されている方法を用いて解くことができる 。同次行列の場合、 y i は下三角行列 のパラパーマネントである [6]。
生成関数を使った解法 再発
y t = a 1 y t − 1 + ⋯ + a n y t − n + b , {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,}
は生成関数 の理論を用いて解くことができます 。まず、 と書きます 。すると、この再帰方程式は次の生成関数方程式と等しくなります。 Y ( x ) = ∑ t ≥ 0 y t x t {\textstyle Y(x)=\sum _{t\geq 0}y_{t}x^{t}}
Y ( x ) = a 1 x Y ( x ) + a 2 x 2 Y ( x ) + ⋯ + a n x n Y ( x ) + b 1 − x + p ( x ) {\displaystyle Y(x)=a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x^{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x}}+p(x)}
ここで 、は最大次数の多項式であり、 初期項を補正する。この方程式を解くと、 p ( x ) {\displaystyle p(x)} n − 1 {\displaystyle n-1}
Y ( x ) = ( b 1 − x + p ( x ) ) ⋅ 1 1 − a 1 x − a 2 x 2 − ⋯ − a n x n . {\displaystyle Y(x)=\left({\frac {b}{1-x}}+p(x)\right)\cdot {\frac {1}{1-a_{1}x-a_{2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}}.}
言い換えれば、正確な係数を気にせず、 有理関数 として表現できる。 Y ( x ) {\displaystyle Y(x)} Y ( x ) = f ( x ) g ( x ) . {\displaystyle Y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}
閉じた形は部分分数分解 によって導出できる 。具体的には、生成関数が次のように書かれるとする。 f ( x ) g ( x ) = ∑ i f i ( x ) ( x − r i ) m i {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=\sum _{i}{\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})^{m_{i}}}}}
次に、多項式によって 初期の修正セットが決定され 、分母によって 指数項が決定され 、 次数と分子によって 多項式係数が決定されます 。 p ( x ) {\displaystyle p(x)} z ( n ) {\displaystyle z(n)} ( x − r i ) m {\displaystyle (x-r_{i})^{m}} r i n {\displaystyle r_{i}^{n}} m {\displaystyle m} f i ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)} k i ( n ) {\displaystyle k_{i}(n)}
微分方程式の解との関係 線形微分方程式 を解く方法は 上記の方法と似ています。 定数係数を持つ線形微分方程式の「インテリジェントな推測」（ ansatz ）は、推測を微分方程式に代入することによって決定される複素数 です。 e λ x {\displaystyle e^{\lambda x}} λ {\displaystyle \lambda }
これは偶然ではありません。 線形微分方程式の解の テイラー級数を考えてみましょう。
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
級数の係数は、点における の - 階導関数 によって与えられることがわかります 。微分方程式は、これらの係数を関連付ける線型差分方程式を与えます。 n {\displaystyle n} f ( x ) {\displaystyle f(x)} a {\displaystyle a}
この同値性は、線形微分方程式のべき級数解における係数の再帰関係を素早く解くために使用できます。
経験則（最初の項を乗じる多項式がゼロでゼロでない方程式の場合）は次のとおりです。
y [ k ] → f [ n + k ] {\displaystyle y^{[k]}\to f[n+k]} そしてより一般的には x m ∗ y [ k ] → n ( n − 1 ) . . . ( n − m + 1 ) f [ n + k − m ] {\displaystyle x^{m}*y^{[k]}\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+k-m]}
例: 次の方程式のテイラー級数係数の再帰関係:
( x 2 + 3 x − 4 ) y [ 3 ] − ( 3 x + 1 ) y [ 2 ] + 2 y = 0 {\displaystyle (x^{2}+3x-4)y^{[3]}-(3x+1)y^{[2]}+2y=0}
は次のように与えられる。
n ( n − 1 ) f [ n + 1 ] + 3 n f [ n + 2 ] − 4 f [ n + 3 ] − 3 n f [ n + 1 ] − f [ n + 2 ] + 2 f [ n ] = 0 {\displaystyle n(n-1)f[n+1]+3nf[n+2]-4f[n+3]-3nf[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0}
または
− 4 f [ n + 3 ] + 2 n f [ n + 2 ] + n ( n − 4 ) f [ n + 1 ] + 2 f [ n ] = 0. {\displaystyle -4f[n+3]+2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.}
この例では、通常の微分方程式の授業で教えられるべき級数解法を使用して一般的に解決される問題が、はるかに簡単な方法で解決できることを示しています。
例: 微分方程式
a y ″ + b y ′ + c y = 0 {\displaystyle ay''+by'+cy=0}
解決策がある
y = e a x . {\displaystyle y=e^{ax}.}
微分方程式をテイラー係数の差分方程式に変換すると、
a f [ n + 2 ] + b f [ n + 1 ] + c f [ n ] = 0. {\displaystyle af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.}
で評価された の - 次導関数が である ことは簡単にわかります 。 n {\displaystyle n} e a x {\displaystyle e^{ax}} 0 {\displaystyle 0} a n {\displaystyle a^{n}}
特定の差分方程式、特に 定数係数線形差分方程式は、 Z変換を 用いて解くことができます 。Z変換は 積分変換 の一種であり、より簡便な代数演算とより直接的な解をもたらします。直接解を得ること が ほぼ不可能な場合でも、慎重に選択された積分変換を用いることで問題を解くことは容易です。
安定性 解の方程式では
x t = c 1 λ 1 t + ⋯ + c n λ n t , {\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},}
実特性根を持つ項は、 特性根の絶対値が 1 未満であれば t が無制限に大きくなるにつれて 0 に収束します。絶対値が 1 の場合、根が +1 であれば t が大きくなっても項は一定のままですが、根が -1 であれば 2 つの値の間で変動します。根の絶対値が 1 より大きい場合、項は時間の経過とともにどんどん大きくなります。複素共役特性根を持つ 1 組の項は、根の絶対値 M が1 未満であれば、減衰変動を伴って 0 に収束します。絶対値が 1 に等しい場合は、結合された項で一定振幅の変動が持続し、絶対値が 1 より大きい場合は、結合された項で常に増加する大きさの変動が見られます。
したがって、すべての特性根の大きさが 1 未満の場合、 進化変数 xは 0 に収束します。
最大の根の絶対値が1の場合、0への収束も無限大への発散も起こりません。大きさが1である根がすべて実数かつ正の場合、 xはそれらの定数項 c i の和に収束します 。安定な場合とは異なり、この収束値は初期条件に依存します。異なる開始点は、長期的には異なる点につながります。いずれかの根が-1の場合、その項は2つの値の間で永続的な変動をもたらします。単位大きさの根のいずれかが複素数の場合、 x の一定振幅の変動が持続します。
最後に、特性根のいずれかの大きさが 1 より大きい場合、時間が無限大に近づくにつれて x は 無限大に発散するか、または、ますます大きくなる正の値と負の値の間で変動します。
イッサイ・シュア の定理に よれば、すべての根の大きさが1未満（安定な場合）であるのは、 特定の 行列式の列がすべて正である 場合のみである 。 [2] : 247
非同次線形差分方程式が上記のように解析された同次形式に変換された場合、元の非同次方程式の安定性と周期性の特性は導出された同次形式のものと同じになり、安定した場合には 0 ではなく
定常値 y *に収束します。
参照
参考文献 ^ Chiang, Alpha (1984). 『数理経済学の基礎的手法 （第3版）』 ニューヨーク: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7 。 ^ ab ウィリアム・ボーモル (1970). 『経済ダイナミクス 』（第3版）. ニューヨーク: マクミラン. ISBN 0-02-306660-1 。 ^ Greene, Daniel H.; Knuth, Donald E. (1982)、「2.1.1 定数係数 – A) 同次方程式」、 アルゴリズム解析のための数学 （第2版）、ビルクハウザー、p. 17 。 ^ Chiang, Alpha C.、 「数理経済学の基礎的手法」 、第3版、McGraw-Hill、1984年。 ^ パパニコロウ、ヴァシリス、「線形差分方程式のクラスの漸近安定性について」、 数学マガジン 69(1)、1996年2月、34-43。 ^ Zatorsky, Roman; Goy, Taras (2016). 「三角行列の準永続性と数列に関するいくつかの一般的な定理」 J. Int. Seq . 19 : 16.2.2. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left({\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta ti\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63653e50e3d50b416682c2dcd65d0437bea311e5)
![{\displaystyle y^{[k]}\to f[n+k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a1e138fef580dc3d70b4a5156b710e0e302ac6)
![{\displaystyle x^{m}*y^{[k]}\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+km]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8318210cb2160b4e9addb892ad0bf6b0f79b8766)
![{\displaystyle (x^{2}+3x-4)y^{[3]}-(3x+1)y^{[2]}+2y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ee5439cae265dc78a697564c2a47e4b297dace)
![{\displaystyle n(n-1)f[n+1]+3nf[n+2]-4f[n+3]-3nf[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6191ee1e6a85a8ed06b771ff51918d1d88834ff)
![{\displaystyle -4f[n+3]+2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e109434a35c75de3113053173ade105aa24b59e3)
![{\displaystyle af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06b405e70d0f511e5ae2f8216c86a71d49d68ad)
