Concept in algebraic geometry
線形 約数システムは、 アポロニウスの円 の場合のように、 曲線族 の古典的な幾何学的概念を代数化します 。 代数幾何学 において 、 因子の線型システムは 曲線族 の幾何学的概念の代数的一般化であり 、線型システムの次元は、族のパラメータの数に対応します。
これらは、射影平面 上の 代数曲線 の 線型系 という形で最初に現れました 。これは徐々に一般化され、より一般的な形をとるようになり、 一般的な スキーム 、あるいは 環空間上の 因子 D の 線型同値性 について語ることができるようになりました。 [1] ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
1 次元、2 次元、または 3 次元の線形システムは、それぞれペンシル 、 ネット 、または ウェブ と呼ばれます 。
線形システムによって決定される地図は、 小平地図 と呼ばれることもあります。
定義 一般多様体 が与えられたとき 、2つの約 数 は 、 X {\displaystyle X} D , E ∈ Div ( X ) {\displaystyle D,E\in {\text{Div}}(X)}
E = D + ( f ) {\displaystyle E=D+(f)\ } は、上の 非零 有理関数 、つまり 関数体 の非零元に対して成り立ちます 。ここで は 関数 の零点と極の約数を表します 。 f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} k ( X ) {\displaystyle k(X)} ( f ) {\displaystyle (f)} f {\displaystyle f}
特異点 を持つ場合 、「因子」の概念は本質的に曖昧であること に注意する（ カルティエ因子 、 ヴェイユ因子 ： 因子（代数幾何学） を参照）。この場合の定義は通常、より慎重に行われる（ 可逆層 または 正則直線束を 用いる）。以下を参照のこと。 X {\displaystyle X}
上の 完全 線型系は 、ある与えられた因子 と線型的に同値なすべての有効因子の集合として定義される 。これは と表記される 。 を に関連付けられた直線束とする。 が非特異射影多様体である 場合、 の 元を の非零倍の集合に関連付けることにより、この集合は [2] と自然単射になる （これは、2つの非零有理関数が同じ因子を持つ場合と、それらが互いの非零倍である場合に限るので、よく定義されている）。 したがって、完全線型系は射影空間である。 X {\displaystyle X} D ∈ Div ( X ) {\displaystyle D\in {\text{Div}}(X)} | D | {\displaystyle |D|} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} D {\displaystyle D} X {\displaystyle X} | D | {\displaystyle |D|} ( Γ ( X , L ) ∖ { 0 } ) / k ∗ , {\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },} E = D + ( f ) {\displaystyle E=D+(f)} | D | {\displaystyle |D|} f {\displaystyle f} | D | {\displaystyle |D|}
線形 システムは完全線形システムの射影部分空間なので、ベクトル部分空間 W に対応する。 線形システムの次元 は 射影空間としての次元である。したがって 、 。 d {\displaystyle {\mathfrak {d}}} Γ ( X , L ) . {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).} d {\displaystyle {\mathfrak {d}}} dim d = dim W − 1 {\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}
線型システムは、直線束 あるいは 可逆層 言語によっても導入できる 。これらの用語では、因子 （ 正確にはカルティエ 因子）は直線束に対応し、2つの因子の 線型同値 は、対応する直線束が同型であることを意味する。 D {\displaystyle D}
例
線形同値性 二次 曲面 を定義する 線束を考える。 付随 する因子 について、それは、 有理関数 [2] を用いて、ある の消失軌跡によって定義される他の任意の因子と線型的に同値である (命題 7.2)。例えば、 の消失軌跡に付随する因子は 、 の消失軌跡に付随する 因子と線型的に同値である 。したがって、因子の同値性が存在する。 O ( 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(2)} P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}} s ∈ Γ ( P 3 , O ( 2 ) ) {\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))} D s = Z ( s ) {\displaystyle D_{s}=Z(s)} t ∈ Γ ( P 3 , O ( 2 ) ) {\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))} ( t / s ) {\displaystyle \left(t/s\right)} D {\displaystyle D} x 2 + y 2 + z 2 + w 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}} E {\displaystyle E} x y {\displaystyle xy}
D = E + ( x 2 + y 2 + z 2 + w 2 x y ) {\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}
曲線上の線形システム 種数 の 代数曲線上の重要な完全線型系の一つは、 と表記される 標準因子 に関連付けられた完全線型系で与えられる。この定義は、ハーツホーン [2] の命題II.7.7に従う。 なぜなら、この線型系におけるすべての有効因子は の何らかのセクションの零点から得られるからである 。 C {\displaystyle C} g {\displaystyle g} K {\displaystyle K} | K | = P ( H 0 ( C , ω C ) ) {\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))} ω C {\displaystyle \omega _{C}}
超楕円曲線 線型システムの応用の一つとして、代数 曲線の分類が挙げられます。 超楕円曲線とは、次 数射 を持つ 曲線です 。 [2] の場合、 すべての曲線は超楕円曲線です。 リーマン・ロッホの定理 によれば、 の次数 は であり、 となるため、 への 次数写像が存在します 。 C {\displaystyle C} 2 {\displaystyle 2} f : C → P 1 {\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}} g = 2 {\displaystyle g=2} K C {\displaystyle K_{C}} 2 g − 2 = 2 {\displaystyle 2g-2=2} h 0 ( K C ) = 2 {\displaystyle h^{0}(K_{C})=2} 2 {\displaystyle 2} P 1 = P ( H 0 ( C , ω C ) ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}
グラム d r A は、 次数 、次元 の 曲線上の 線型系である 。例えば、超楕円曲線は -写像 によって誘導される を持つ 。実際、命題 5.3 より、超楕円曲線は一意の [2] を持つ。もう一つの類似例として、 を持つ曲線があり、これは 三角曲線 と呼ばれる 。実際、任意の曲線は に対してを持つ 。 [3] g d r {\displaystyle g_{d}^{r}} d {\displaystyle {\mathfrak {d}}} C {\displaystyle C} d {\displaystyle d} r {\displaystyle r} g 2 1 {\displaystyle g_{2}^{1}} 2 : 1 {\displaystyle 2:1} C → P 1 {\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}} g 2 1 {\displaystyle g_{2}^{1}} g 1 3 {\displaystyle g_{1}^{3}} g 1 d {\displaystyle g_{1}^{d}} d ≥ ( 1 / 2 ) g + 1 {\displaystyle d\geq (1/2)g+1}
射影空間における超曲面の線形系 上の 直線束を考えてみましょう 。大域切断を取れば 、その射影化を取ることができます 。これは と同型であり 、 O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} V = Γ ( O ( d ) ) {\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))} P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}
N = ( n + d n ) − 1 {\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1} 次に、任意の埋め込みを使用して、 次元 の線形システムを構築できます 。 P k → P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}} k {\displaystyle k}
円錐曲線の線形システム
曲線族の特性線形システム 代数曲面Y 上の曲線族の特性線型系とは、その族内の 曲線 Cに対して、その族内で C に無限に近い曲線によって形成される線型系である 。 [4]
現代的な用語で言えば、これはへの 正規束 に関連付けられた線型システムの部分系である 。特性システムは必ずしも完全である必要はないことに注意されたい。実際、完全性の問題はイタリア学派によって広く研究されてきたが、満足のいく結論は得られていない。今日では、 小平・スペンサー理論を 用いて完全性の質問に答えることができる。 C ↪ Y {\displaystyle C\hookrightarrow Y}
その他の例 ケーリー ・バカラックの定理は 、立方体鉛筆の特性であり、底軌跡が「8 は 9 を意味する」という特性を満たすことを示しています。つまり、8 つの点を含む立方体には必ず 9 番目の点が含まれます。
双有理幾何学における線形システム 一般に、線形系は イタリア代数幾何学学派 が実践した 双有理幾何学 の基本的なツールとなった。技術的要求は非常に厳しくなり、後の発展により多くの問題が明確になった。関連する次元の計算（いわゆるリーマン・ロッホ問題）は、 ホモロジー代数という用語で表現した方が適切である。 特異点 を持つ多様体を扱うことの効果は、（余次元1の部分多様体によって生成される 自由アーベル群 内の） ヴェイユ因子 と 可逆層 の切断から生じる カルティエ因子 との違いを明らかにすることである 。
イタリア学派は、 代数曲面 上の幾何学を、三次元空間の曲面によって切り取られた線型系へと還元することを好んだ。 ザリスキは、 固定された基点を持つ線型系 を含む手法を統合しようと、 著名な著書 『代数曲面』 を著した。代数幾何学における「古い」観点と「新しい」観点の対立における最終的な問題の一つとして、 アンリ・ポアンカレ の代数曲面上の代数的曲線族の特性線型系をめぐる論争があった。
塩基座位 多様体 上の因子の線型システムの 基底 軌跡と は、線型システム内のすべての因子に「共通する」点の部分多様体を指します。幾何学的には、これは多様体の共通交点に対応します。線型システムは基底軌跡を持つことも持たないこともあります。例えば、アフィン直線の束には 共通交点がありませんが、複素射影平面上に2つの（非退化）円錐曲線があるとすると、それらは4点（重複度を含む）で交差するため、それらが定義する線型システムはこれらの点を基底軌跡として持ちます。 x = a {\displaystyle x=a}
より正確には、 が 何らかの多様体 上の完全線型因子系であるとする 。その交点を考える。 | D | {\displaystyle |D|} X {\displaystyle X}
Bl ( | D | ) := ⋂ D eff ∈ | D | Supp D eff {\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ } ここで は 因子の台を表し、その交点は 線型体系におけるすべての有効因子について取られる。これは の 基底軌跡 である（少なくとも集合としては。 の 構造層が どのようなものであるべきかについては、より微妙な スキーム理論的 考察があるかもしれない）。 Supp {\displaystyle \operatorname {Supp} } D eff {\displaystyle D_{\text{eff}}} | D | {\displaystyle |D|} Bl {\displaystyle \operatorname {Bl} }
基底軌跡の概念の応用例の 1 つは、 カルティエ因子類（すなわち、完全線型システム）の nef 性 です。 が多様体 上のそのような類で 、 上に既約曲線があるとします 。 が の基底軌跡に含まれていない場合、 を含まない 何らかの因子が類内に存在し 、それと適切に交差します。交差理論の基本事実から、 が成り立つことがわかります 。結論として、因子類の nef 性を確認するには、その類の基底軌跡に含まれる曲線との交差数を計算すれば十分です。つまり、おおまかに言えば、基底軌跡が「小さい」ほど、その類が nef である可能性が「高くなります」。 | D | {\displaystyle |D|} X {\displaystyle X} C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} C {\displaystyle C} | D | {\displaystyle |D|} D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} C {\displaystyle C} | D | ⋅ C ≥ 0 {\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}
代数幾何学の現代的定式化では、 多様体上の（カルティエ）因子の完全な線型系は、 上の 直線束とみなされる 。この観点から、基底軌跡 は のすべての切断の共通零点の集合である 。単純な帰結として、この線型束が 大域的に生成されるの は、基底軌跡が空である場合のみである。 | D | {\displaystyle |D|} X {\displaystyle X} O ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D)} X {\displaystyle X} Bl ( | D | ) {\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)} O ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}
基底軌跡の概念は、非完全な線形システムでも意味を持ちます。その基底軌跡は、依然として、システム内のすべての有効約数のサポートの交点です。
例 2つの一般的なセクションによって与えられた レフシェッツ鉛筆 を考えてみましょう 。これは、 スキームによって与えられます。 p : X → P 1 {\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}} f , g ∈ Γ ( P n , O ( d ) ) {\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))} X {\displaystyle {\mathfrak {X}}}
X = Proj ( k [ s , t ] [ x 0 , … , x n ] ( s f + t g ) ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}
は、固定された に対する各多項式が の 約数となる ため、線形約数系と関連付けられます 。この約数系の基底軌跡は の消失軌跡によって与えられる図式です 。つまり、 s 0 f + t 0 g {\displaystyle s_{0}f+t_{0}g} [ s 0 : t 0 ] ∈ P 1 {\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}} P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} f , g {\displaystyle f,g}
Bl ( X ) = Proj ( k [ s , t ] [ x 0 , … , x n ] ( f , g ) ) {\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}
線形システムによって決定される地図 代数多様体上の各線型系は、以下のように、基底軌跡の補写像から系の次元の射影空間への射影を決定する。（ある意味では、逆もまた真である。以下の節を参照のこと。）
L を 代数多様体 X 上の直線束 と 有限次元ベクトル部分空間とする。説明を明瞭にするために、まず V が基点を持たない場合を考える。言い換えれば、自然写像 は射影的である（ここで k は基底体）。あるいは同値として、 射影的である。したがって、自明なベクトル束 について書き 、その射影を 相対 Projに渡すと、 閉じた浸漬 が 存在する 。 V ⊂ Γ ( X , L ) {\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)} V ⊗ k O X → L {\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L} Sym ( ( V ⊗ k O X ) ⊗ O X L − 1 ) → ⨁ n = 0 ∞ O X {\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}} V X = V × X {\displaystyle V_{X}=V\times X}
i : X ↪ P ( V X ∗ ⊗ L ) ≃ P ( V X ∗ ) = P ( V ∗ ) × X {\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X} ここで 右辺は、 線束によるねじれに対する 射影束の不変性である。iに 射影 を代入すると、写像 [5]が得られる。 ≃ {\displaystyle \simeq }
f : X → P ( V ∗ ) . {\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).} V の基底軌跡 が空でない場合、 直和を基底軌跡を定義する イデアル層 に置き換え、 X を （スキーム理論的な）基底軌跡 Bに沿ったその 膨張 に置き換えても、上記の議論は成立する。正確には、上記のように、 B のイデアル層を 射影として 、 そこから以下の式が得られる
。 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} X ~ {\displaystyle {\widetilde {X}}} Sym ( ( V ⊗ k O X ) ⊗ O X L − 1 ) → ⨁ n = 0 ∞ I n {\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}} I {\displaystyle {\mathcal {I}}}
i : X ~ ↪ P ( V ∗ ) × X . {\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.} の開部分集合 なので 、写像は次のようになる。 X − B ≃ {\displaystyle X-B\simeq } X ~ {\displaystyle {\widetilde {X}}}
f : X − B → P ( V ∗ ) . {\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).} 最後に、 V の基底 が選択されると、上記の議論はより現実的になります (これは、Hartshorne の「Algebraic Geometry」で使用されているスタイルです)。
射影空間への写像によって決定される線型システム 代数多様体から射影空間への各射影は、その多様体上の基底点のない線型系を決定します。このため、基底点のない線型系と射影空間への写像は、しばしば互換的に使用されます。
代数多様体の閉じた浸漬に対して、 上の 線型 系の引き戻しがあり、 [2] （158ページ）で定義される 。 f : Y ↪ X {\displaystyle f:Y\hookrightarrow X} d {\displaystyle {\mathfrak {d}}} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} f − 1 ( d ) = { f − 1 ( D ) | D ∈ d } {\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}
射影多様体上のO(1) に埋め込まれた 射影多様体は、 射影空間から射影空間への写像を決定する自然な線型系を持つ 。これは、点 を対応する点 に写す 。 X {\displaystyle X} P r {\displaystyle \mathbb {P} ^{r}} O X ( 1 ) = O X ⊗ O P r O P r ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} [ x 0 : ⋯ : x r ] ∈ P r {\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}
参照
参考文献 ^ アレクサンドル・グロタンディーク ;デュドネ、ジャン。 EGA IV 、21.3。 ^ abcdef Hartshorne, R. 『代数幾何学』、命題 II.7.2、151ページ、命題 II.7.7、157ページ、158ページ、演習 IV.1.7、298ページ、命題 IV.5.3、342ページ ^ Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). 「特殊因子の存在のもう一つの証明」. Acta Mathematica . 132 : 163–176 . doi : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962. ^ アルバレロ、エンリコ ;コルナルバ、マウリツィオ; グリフィス、フィリップ (2011)。 代数曲線の幾何学 。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. II、ジョセフ・ダニエル・ハリスによる寄稿。ハイデルベルク：シュプリンガー。 p. 3. 土井 ：10.1007/978-1-4757-5323-3。 ISBN 978-1-4419-2825-2 . MR 2807457。 ^ フルトン、ウィリアム (1998). 「§ 4.4. 線形システム」. 交差理論 . シュプリンガー. doi :10.1007/978-1-4612-1700-8_5. 
![{\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46631102f21c699bda3691d4e78d13cc35221504)
![{\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77408feba499561c7338a6bdf502c44d538254e)
![{\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c078f70ea946bfd03151c8a4cbb8526fb5797c20)
![{\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07659f1d576be9d84da923c2b102e6c2c3f8f9f)
