Physical system satisfying the superposition principle
システム理論 において 、 線形システムとは、 線形演算子 を用いた システム の 数学モデル です 。線形システムは通常、 非線形 システムよりもはるかに単純な特徴と特性を示します。数学的な抽象化または理想化として、線形システムは 自動制御 理論、 信号処理 、 電気通信 において重要な応用が見出されています。例えば、無線通信システムの伝搬媒体は、多くの場合、線形システムによってモデル化できます。
意味 決定論的連続時間SISOシステムの加法性を示すブロック図。システムが加法性を満たす、つまり加法性を持つのは、 すべての時間 、すべての入力 、に対して、であるとき、かつその場合に限ります 。画像をクリックすると拡大します。 y 3 ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) {\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)} t {\displaystyle t} x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 決定論的連続時間SISOシステムの同次性特性を示すブロック図。システムが同次性特性を満たす、すなわち同次であるためには、 すべての時間 、すべての実定数 、すべての入力 に対して、かつその場合に限ります 。画像をクリックすると拡大します。 y 2 ( t ) = a y 1 ( t ) {\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)} t {\displaystyle t} a {\displaystyle a} x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} 決定論的連続時間SISOシステムの重ね合わせ原理を示すブロック図。このシステムは重ね合わせ原理を満たし、したがって線形であるためには、 すべての時間 、すべての実定数 、および すべての入力 、およびに対して、 かつその場合に限られます 。画像をクリックすると拡大します。 y 3 ( t ) = a 1 y 1 ( t ) + a 2 y 2 ( t ) {\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)} t {\displaystyle t} a 1 {\displaystyle a_{1}} a 2 {\displaystyle a_{2}} x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 一般的な 決定論的システムは 、入力 x ( t )を t の関数として 出力 y ( t ) （ ブラック ボックス 記述 の一種）にマッピングする 演算子 Hによって記述できます。
システムが線形であるためには、 重ね合わせ原理 を満たすか、あるいは加法性と同次性の両方の性質を制約なしに（つまり、すべての入力、すべてのスケーリング定数、すべての時間に対して）満たす必要がある。 [1] [2] [3] [4]
重ね合わせの原理とは、システムへの入力の線形結合が、個々の入力に対応する個々のゼロ状態出力（つまり、初期条件をゼロに設定する出力）の線形結合を生成することを意味する。 [5] [6]
均質性を満たすシステムでは、入力をスケーリングすると、常に同じ係数でゼロ状態応答がスケーリングされます。 [6] 加法性を満たすシステムでは、2つの入力を追加すると、常に個々の入力による対応する2つのゼロ状態応答が追加されます。 [6]
数学的には、連続時間システムの場合、任意の 2 つの入力 とそれぞれのゼロ状態出力
が与えられた とき、線形システムは 任意の スカラー 値 α と β 、任意の入力信号 x 1 ( t ) と x 2 ( t ) 、およびすべての時間 t に対してを満たす必要があります。 x 1 ( t ) x 2 ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}} y 1 ( t ) = H { x 1 ( t ) } y 2 ( t ) = H { x 2 ( t ) } {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}} α y 1 ( t ) + β y 2 ( t ) = H { α x 1 ( t ) + β x 2 ( t ) } {\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}
システムは方程式 H ( x ( t )) = y ( t ) で定義されます。ここで、 y ( t ) は任意の時間関数、 x ( t ) はシステムの状態です。 y ( t ) と H が与えられれば、 システムは x ( t ) について解くことができます。
複雑な入力を受けた結果のシステムの挙動は、より単純な入力に対する応答の和として記述できます。非線形システムでは、このような関係は存在しません。この数学的特性により、モデリング方程式の解は多くの非線形システムよりも単純になります。 時不変システムの場合、これは インパルス応答 法または 周波数応答 法（ LTIシステム理論 を参照）の基礎となり 、一般的な入力関数 x ( t )を 単位インパルス または 周波数成分 で記述します 。
線形 時間不変 システムの典型的な 微分方程式は、 連続 の場合は ラプラス変換 、 離散 の場合は Z 変換 を使用した解析に適しています (特にコンピュータ実装の場合)。
別の観点では、線形システムの解は、幾何学的な意味でベクトル のように動作する 関数 のシステムで構成されているということになります 。
線形モデルの一般的な用途は、非線形システムを 線形化 によって記述することです。これは通常、数学的な便宜を図るために行われます。
線形システムの前述の定義は、SISO（単入力単出力）システムに適用できます。MIMO（多入力多出力）システムでは、入力信号（、、、、）の代わりに、入力信号ベクトル（ 、、、、 ） が 考慮 さ れ ます 。 [2] [4] x 1 ( t ) {\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)} x 2 ( t ) {\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)} y 1 ( t ) {\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)} y 2 ( t ) {\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)} x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} y 1 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)} y 2 ( t ) {\displaystyle y_{2}(t)}
この線形システムの定義は、 微積分学 における 線形微分方程式 の定義や、 線形代数 における 線形変換 の定義に類似しています。
例 単純 な調和振動子は 次の微分方程式に従います。 m d 2 ( x ) d t 2 = − k x . {\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}
ならば、 H は 線形演算子である。y ( t )=0 とすると、 微分方程式はH(x(t))=y(t)と書き直すことができ 、 これ は 単 振動 子 が 線形 システム で ある こと を示す。 H ( x ( t ) ) = m d 2 ( x ( t ) ) d t 2 + k x ( t ) , {\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}
線形システムの他の例としては、、、、および常線形微分方程式によって記述される任意のシステムが挙げられる 。 [ 4 ] 、、、、、、、、、 および線形領域と飽和（定数）領域からなる奇対称出力 を持つシステム によって記述されるシステムは、重ね合わせ原理 を常に満たす と は限らないため、非線形である。 [7] [ 8 ] [9] [10] y ( t ) = k x ( t ) {\displaystyle y(t)=k\,x(t)} y ( t ) = k d x ( t ) d t {\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}} y ( t ) = k ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ {\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau } y ( t ) = k {\displaystyle y(t)=k} y ( t ) = k x ( t ) + k 0 {\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}} y ( t ) = sin [ x ( t ) ] {\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}} y ( t ) = cos [ x ( t ) ] {\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}} y ( t ) = x 2 ( t ) {\displaystyle y(t)=x^{2}(t)} y ( t ) = x ( t ) {\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}} y ( t ) = | x ( t ) | {\displaystyle y(t)=|x(t)|}
線形システムの出力対入力グラフは、必ずしも原点を通る直線である必要はありません。例えば、 （定容量 コンデンサ や定インダクタンス インダクタ など）で表されるシステムを考えてみましょう。これは重ね合わせの原理を満たすため線形です。しかし、入力が正弦波の場合、出力も正弦波となるため、その出力対入力グラフは原点を通る直線ではなく、原点を中心とする楕円となります。 y ( t ) = k d x ( t ) d t {\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}
また、線形システムの出力は、 入力が正弦波であっても、 高調波 を含む（そして基本周波数が入力より小さくなる）ことがあります。 たとえば、 によって記述されるシステムを考えます。 これは重ね合わせの原理を満たすので線形です。 しかし、入力が の形式の正弦波である場合 、 積和三角関数 の恒等式を使用すると、出力が であることが簡単に示されます。 つまり、出力は、入力と同じ周波数（ 3 rad/s ）の正弦波だけでなく、周波数 2 rad/s と 4 rad/s の正弦波も含まれています。 さらに、出力の正弦波の基本周期の 最小公倍数を取ると、出力の基本角周波数が 1 rad/s であることが示され 、これは入力の基本角周波数とは異なります。 y ( t ) = ( 1.5 + cos ( t ) ) x ( t ) {\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)} x ( t ) = cos ( 3 t ) {\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}} y ( t ) = 1.5 cos ( 3 t ) + 0.5 cos ( 2 t ) + 0.5 cos ( 4 t ) {\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}
時間変動インパルス応答 線形システムの時間 変動インパルス応答 h ( t 2 , t 1 ) は、時刻 t = t 1 に印加された単一 インパルス に対する、時刻 t = t 2 におけるシステムの応答として定義されます。 言い換えれば、 線形システムへの
入力 x ( t )が、 δ( t )が ディラックのデルタ関数 を表し 、 システム の
対応する応答 y ( t ) が、
関数 h ( t 2 , t 1 ) がシステムの時間変動インパルス応答であるとします。システムは入力が印加される前に応答できないため、以下の 因果関係条件を満たす 必要があります。 x ( t ) = δ ( t − t 1 ) {\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})} y ( t = t 2 ) = h ( t 2 , t 1 ) {\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})} h ( t 2 , t 1 ) = 0 , t 2 < t 1 {\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}
畳み込み積分 一般的な連続時間線形システムの出力は、因果条件により二重無限範囲にわたって記述できる積分によって入力に関連付けられます。 y ( t ) = ∫ − ∞ t h ( t , t ′ ) x ( t ′ ) d t ′ = ∫ − ∞ ∞ h ( t , t ′ ) x ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}
システムの特性が動作時間に依存しない場合、それは 時間不変 であるとされ、 hは時間差 τ = t − t' のみの関数となる。τ < 0 （すなわち t < t' ）の場合には τ は0となる 。h を再定義することにより、 入出力関係は以下のように等価的に記述することができる。 y ( t ) = ∫ − ∞ t h ( t − t ′ ) x ( t ′ ) d t ′ = ∫ − ∞ ∞ h ( t − t ′ ) x ( t ′ ) d t ′ = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ = ∫ 0 ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }
線形時間不変システムは、一般的には、伝達関数 と呼ばれるインパルス応答関数のラプラス変換によって特徴付けられます 。 H ( s ) = ∫ 0 ∞ h ( t ) e − s t d t . {\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}
応用上、これは通常、 s の有理代数関数となる 。 h ( t )は負の t に対してゼロとなるため 、積分は二重無限大の範囲にわたって同様に記述でき、 s = iω と置くと周波数応答関数 の式に従う 。 H ( i ω ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}
離散時間システム 離散時間線形システムの出力は、時間変動畳み込み和によって入力と関連しています。
または、 h を 再定義すると、 時間不変システムの場合と同等になります。 ここで、 は時間 mでの刺激と時間 n での応答 間の遅延時間を表します 。 y [ n ] = ∑ m = − ∞ n h [ n , m ] x [ m ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n , m ] x [ m ] {\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}} y [ n ] = ∑ k = 0 ∞ h [ k ] x [ n − k ] = ∑ k = − ∞ ∞ h [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}} k = n − m {\displaystyle k=n-m}
参照
参考文献 ^ フィリップス, チャールズ・L.; パー, ジョン・M.; リスクイン, イブ・A. (2008). シグナル、システム、そしてトランスフォーム （第4版）. ピアソン. p. 74. ISBN 978-0-13-198923-8 。 ^ ab Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム . Springer. pp. 27– 28. ISBN 0-387-23488-8 。 ^ Alkin, Oktay (2014). 信号とシステム：MATLAB統合アプローチ . CRC Press. p. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6 。 ^ abc Nahvi, Mahmood (2014). 信号とシステム . McGraw-Hill. pp. 162– 164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4 。 ^ Sundararajan, D. (2008). 信号とシステムへの実践的アプローチ . Wiley. p. 80. ISBN 978-0-470-82353-8 。 ^ abc Roberts, Michael J. (2018). 信号とシステム：変換法とMATLAB®を用いた解析 （第3版）. McGraw-Hill. pp. 131, 133– 134. ISBN 978-0-07-802812-0 。 ^ Deergha Rao, K. (2018). 信号とシステム . Springer. pp. 43– 44. ISBN 978-3-319-68674-5 。 ^ チェン・チ・ツォン（2004年） 『信号とシステム 』（第3版）オックスフォード大学出版局、 pp.55-57 . ISBN 0-19-515661-7 。 ^ ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). 『MATLABによる連続信号とシステム』 （第2版）CRC Press. p. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0 。 ^ アプテ、シャイラ・ディンカー (2016). 信号とシステム：原理と応用 . ケンブリッジ大学出版局. p. 187. ISBN 978-1-107-14624-2 。 
![{\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c3de0656c4ed604dbf832e01a95c83a747fb4a)
![{\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8791deb6e4a1c0cf4c0d6c9c4cc7951647bec5cc)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8de98ac398c3891590682a4fa7ffe2b38e09263)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[nk]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[nk]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05629aebe6564c41b4c709875918593e99f0bcbd)
