リンク（単体複体）

単体複体におけるリンクは、グラフの頂点の近傍を一般化したものです。頂点のリンクは、その頂点における複体の局所構造に関する情報を符号化します。

頂点のリンク

抽象単体複体 $X$ と内の頂点が与えられた場合、その連結は、およびが $X$ の面となるようなすべての面を含む集合です。 ${\textstyle v}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle v\not \in \tau }$ ${\textstyle \tau \cup \{v\}}$

$X$ が 1 次元複素数 (つまりグラフ)である特殊なケースでは、はグラフ内の辺となるすべての頂点、つまりグラフ内のの近傍システムを含みます。 ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle u\neq v}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\textstyle v}$

幾何学的単体複体 $X$ とが与えられたとき、その連結部はとなるすべての面を含む集合であり、を頂点としてを面として持つ単体がに存在する。 ^[1]^{: 3}同様に、連結部はの面である。^[2]^{: 20} ${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle v\not \in \tau }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle v\star \tau }$ ${\textstyle X}$

例えば、v が左側の四面体の頂点だとします。すると、vの連結点は四面体の底辺にある三角形になります。これは、その三角形の各辺について、v と辺の接合点が三角形（四面体の辺にある3つの三角形のうちの1つ）であり、vと三角形自体の接合点が四面体全体となるためです。
四面体の頂点のつながりは三角形です。

別の定義は、頂点のリンクとは、以下のように構築されるグラフ $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ である、というものである。Lk $($ $v$ $,$ $X$ $)$ の頂点は、 $Xから$ $v$ に接続する辺である。そのような2つの辺が $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ において隣接するとは、それらが $v$ における共通の2次元セルに接続する場合のみである。 ${\textstyle v\in V(X)}$

グラフ $Lk(v, X)は$ $v$ を中心とする小さな半径の球の位相で表すことが多い。これは点を中心とする球の類似物である。^[3]

顔のリンク

リンクの定義は、単一の頂点から任意の面まで拡張できます。

抽象単体複体 $X$ と $X$ の任意の面が与えられたとき、その連結は、互いに素であり $X$ の面であるようなすべての面を含む集合です。 ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle \sigma ,\tau }$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$

幾何学的単体複体 $X$ と任意の面が与えられたとき、その連結部は互いに素なすべての面を含む集合であり、XとXの両方を面として持つ単体が存在する。^[1]^{: 3} ${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle \sigma ,\tau }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \tau }$

例

四面体の頂点の連結部は三角形です。連結部の3つの頂点は、頂点に接する3つの辺に対応し、連結部の3つの辺は、頂点に接する面に対応します。この例では、連結部は頂点を平面で切断することで視覚化できます。正式には、四面体を頂点近くの平面と交差させることで得られる断面が連結部です。

もう一つの例を以下に示します。これは2次元の単体複体です。左側の頂点は黄色でマークされています。右側の頂点のリンクは緑色でマークされています。

頂点とそのリンク。

プロパティ

任意の単体複体 $X$ では、すべてのリンクが下向きに閉じているため、これも単体複体であり、 $X$ の部分複体です。 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$
$X$ は単体であるため、と集合の間には集合同型が存在します。つまり、任意のはに対応し、これはに含まれます。 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ $X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ such that }}\sigma \subseteq \rho \}$ ${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ $X_{\sigma }$

リンクとスター

リンクに深く関連する概念は、スターです。

抽象単体複体 $X$ と任意の面,が与えられたとき、そのスターは $X$ の面となるようなすべての面を含む集合である。X $が$ 1次元複体（つまりグラフ）である特別な場合、はに隣接するすべての頂点のすべての辺を含む。つまり、はを中心とするグラフ理論的なスターである。 ${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle u}$

幾何学的単体複体 $X$ と任意の面が与えられたとき、そのスターは、との両方を面として持つ単体が存在するようなすべての面を含む集合である：。言い換えれば、これは集合の閉包、つまりを面として持つ単体の集合である。 ${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ are faces of }}\rho \}}$ ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ is a face of }}\rho \}}$ ${\textstyle \sigma }$

つまり、リンクはスターのサブセットです。スターとリンクの関係は次のように表せます。

任意のについて、. ^[1]^{: 3} ${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
任意のに対して、、つまりのスターはそのリンクのにおける円錐である。^[2]^{: 20} ${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle v}$

以下に例を示します。2次元の単体複体があります。左側の頂点は黄色でマークされています。右側の頂点の星は緑色でマークされています。

頂点とその星。

参照

頂点図形- 単体リンクに似た幾何学的概念。

参考文献

^ abc Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Chapter 5 - Piecewise Linear Topology", Handbook of Geometric Topology , Amsterdam: North-Holland, pp. 219– 259, ISBN 978-0-444-82432-5、 2022年11月15日閲覧
^ ab Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1972). 区分線形位相幾何学入門. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3。
^ マーティン・ブリドソン; Haefliger、André (1999)、非正曲率の計量空間、Springer、ISBN 3-540-64324-9

[:0-1] Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Chapter 5 - Piecewise Linear Topology", Handbook of Geometric Topology , Amsterdam: North-Holland, pp. 219– 259, ISBN 978-0-444-82432-5、 2022年11月15日閲覧

[:1-2] Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1972). 区分線形位相幾何学入門. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3。

[3] マーティン・ブリドソン; Haefliger、André (1999)、非正曲率の計量空間、Springer、ISBN 3-540-64324-9