2の自然対数

Mathematical constant

2の自然対数

曲線 1/x の下の面積としての 2 の自然対数。
合理性	非合理的
表現
小数点	0.69314 71805 59945 3094...

数学において、2の自然対数は、指数関数が2となる唯一の実数引数です。これは様々な式に頻繁に現れ、交代調和級数によっても与えられます。2の自然対数（OEISの配列A002162）の小数点以下30桁を切り捨てた値は、以下の通りです。

${\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}$

他の底における2の対数は、次の式で得られる。

${\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}$

特に常用対数は（OEIS ： A007524）

${\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}$

この数の逆数は10 の二進対数です。

${\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}$（OEIS : A020862）。

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、 0と1以外の任意の自然数（より一般的には、 1以外の任意の正の代数的数）の自然対数は超越数である。また、代数的周期環にも含まれる。

シリーズ表現

上昇交互階乗

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .}$これはよく知られている「交代調和級数」です。

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {2}{4^{3}-4}}+{\frac {2}{8^{3}-8}}+{\frac {2}{12^{3}-12}}+\dots \right).}$

二項上昇定数階乗

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

その他のシリーズ表現

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}$使用して ${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}$（十角数の逆数の和）

リーマンゼータ関数を含む

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}[\zeta (2n)-1]=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (2n+1)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}$

( γはオイラー・マスケローニ定数、ξ はリーマンのゼータ関数です。)

BBP型表現

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

( Bailey–Borwein–Plouffe (BBP) 型表現の詳細については、こちらを参照してください。)

自然対数の 3 つの一般級数を 2 に直接適用すると、次のようになります。

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

これらを適用すると次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}$

これらを適用すると次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}$

これらを適用すると次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}$

積分としての表現

積分の結果として、自然対数2は頻繁に現れます。その明示的な公式としては、以下のものがあります。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2^{-x}dx={\frac {1}{\ln 2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}$

その他の表現

ピアス拡張はOEIS :A091846です

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

エンゲル拡張はOEIS :A059180です

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

余接展開はOEIS :A081785である。

${\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).}$

単純な連分数展開はOEIS :A016730である。

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}$、

これによって有理近似値が得られ、最初のいくつかは 0、1、2/3、7/10、9/13、61/88 です。

この一般化連分数：

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}$, ^[1]

次のようにも表現できる

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

次の連分数表現（JLLagrange）は、（漸近的に）1サイクルあたり1.53の新しい正しい小数点以下の桁数を与える： ^{[2] [3]}

${\displaystyle \ln 2={\frac {\frac {1}{2}}{L_{0}}},L_{k}=2k+1+{\frac {k+1}{2+{\frac {k+1}{L_{k+1}}}}}}$

または

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{G_{0}}},G_{k}=6k+3-{\frac {(k+1)^{2}}{G_{k+1}}}}$

他の対数のブートストラップ

ln 2の値が与えられた場合、他の整数の対数を計算する方法は、素数の対数を表にし、次の層で合成数cの対数を因数分解に基づいて計算することです。

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots }$

これは

プライム	近似自然対数	OEIS
2	0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458	A002162
3	1.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92	A002391
5	1.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23	A016628
7	1.945 910 149 055 313 305 105 352 743 44	A016630
11	2.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97	A016634
13	2.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57	A016636
17	2.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87	A016640
19	2.944 438 979 166 440 460 009 027 431 89	A016642
23	3.135 494 215 929 149 690 806 752 831 81	A016646
29	3.367 295 829 986 474 027 183 272 032 36	A016652
31	3.433 987 204 485 146 245 929 164 324 54	A016654
37	3.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03	A016660
41	3.713 572 066 704 307 803 866 763 373 04	A016664
43	3.761 200 115 693 562 423 472 842 513 35	A016666
47	3.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77	A016670
53	3.970 291 913 552 121 834 144 469 139 03	A016676
59	4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72	A016682
61	4.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43	A016684
67	4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36	A016690
71	4.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51	A016694
73	4.290 459 441 148 391 129 092 108 857 44	A016696
79	4.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48	A016702
83	4.418 840 607 796 597 923 475 472 223 29	A016706
89	4.488 636 369 732 139 838 317 815 540 67	A016712
97	4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70	A016720

3番目の層では、有理数の対数r = ⁠1つの/b⁠はln( r ) = ln( a ) − ln( b )で計算され、根の対数はln ⁿ √ c = ⁠によって計算されます。1/n⁠ ln( c )。

2 の対数は、2 の累乗がかなり密に分布しているという意味で便利です。他の数bの累乗b ^jに近い累乗2 ⁱを見つけることは比較的簡単で、ln( b )の級数表現は、2 とbを対数変換で結合することによって見つかります。

例

p ^s = q ^t + d（ある小さなd ）の場合、⁠p ^s/q ^t⁠ = 1 + ⁠d/q ^t⁠そしてそれゆえ

${\displaystyle s\ln p-t\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m}}\left({\frac {d}{q^{t}}}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}$

q = 2を選択すると、 ln pとln 2の積と一連のパラメータが表されます。d/q ^t⁠収束を早くするために小さく保ちたい。例えば、 3 ² = 2 ³ + 1とすると、

${\displaystyle 2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.}$

これは実際には、このタイプの展開を示す次の表の 3 行目です。

s	p	t	q	⁠d/q t⁠
1	3	1	2	⁠1/2⁠ = −0.500 000 00 …
1	3	2	2	− ⁠1/4⁠ = −0.250 000 00 …
2	3	3	2	⁠1/8⁠ = −0.125 000 00 …
5	3	8	2	− ⁠13/256⁠ = −0.050 781 25 …
12	3	19	2	⁠7153/524 288⁠ = −0.013 643 26 …
1	5	2	2	⁠1/4⁠ = −0.250 000 00 …
3	5	7	2	− ⁠3/128⁠ = −0.023 437 50 …
1	7	2	2	⁠3/4⁠ = −0.750 000 00 …
1	7	3	2	− ⁠1/8⁠ = −0.125 000 00 …
5	7	14	2	⁠423/16 384⁠ = −0.025 817 87 …
1	11	3	2	⁠3/8⁠ = −0.375 000 00 …
2	11	7	2	− ⁠7/128⁠ = −0.054 687 50 …
11	11	38	2	⁠10 433 763 667/274 877 906 944⁠ = −0.037 957 81 …
1	13	3	2	⁠5/8⁠ = −0.625 000 00 …
1	13	4	2	− ⁠3/16⁠ = −0.187 500 00 …
3	13	11	2	⁠149/2048⁠ = −0.072 753 91 …
7	13	26	2	− ⁠4 360 347/67 108 864⁠ = −0.064 974 23 …
10	13	37	2	⁠419 538 377/137 438 953 472⁠ = −0.003 052 54 …
1	17	4	2	⁠1/16⁠ = −0.062 500 00 …
1	19	4	2	⁠3/16⁠ = −0.187 500 00 …
4	19	17	2	− ⁠751/131 072⁠ = −0.005 729 68 …
1	23	4	2	⁠7/16⁠ = −0.437 500 00 …
1	23	5	2	− ⁠9/32⁠ = −0.281 250 00 …
2	23	9	2	⁠17/512⁠ = −0.033 203 12 …
1	29	4	2	⁠13/16⁠ = −0.812 500 00 …
1	29	5	2	− ⁠3/32⁠ = −0.093 750 00 …
7	29	34	2	⁠70 007 125/17 179 869 184⁠ = −0.004 074 95 …
1	31	5	2	− ⁠1/32⁠ = −0.031 250 00 …
1	37	5	2	⁠5/32⁠ = −0.156 250 00 …
4	37	21	2	− ⁠222 991/2 097 152⁠ = −0.106 330 39 …
5	37	26	2	⁠2 235 093/67 108 864⁠ = −0.033 305 48 …
1	41	5	2	⁠9/32⁠ = −0.281 250 00 …
2	41	11	2	− ⁠367/2048⁠ = −0.179 199 22 …
3	41	16	2	⁠3385/65 536⁠ = −0.051 651 00 …
1	43	5	2	⁠11/32⁠ = −0.343 750 00 …
2	43	11	2	− ⁠199/2048⁠ = −0.097 167 97 …
5	43	27	2	⁠12 790 715/134 217 728⁠ = −0.095 298 25 …
7	43	38	2	− ⁠3 059 295 837/274 877 906 944⁠ = −0.011 129 65 …

q = 10の自然対数から始めて、次のパラメータを使用できます。

s	p	t	q	⁠d/q t⁠
10	2	3	10	⁠3/125⁠ = −0.024 000 00 …
21	3	10	10	⁠460 353 203/10 000 000 000⁠ = −0.046 035 32 …
3	5	2	10	⁠1/4⁠ = −0.250 000 00 …
10	5	7	10	− ⁠3/128⁠ = −0.023 437 50 …
6	7	5	10	⁠17,649​/10万⁠ = −0.176 490 00 …
13	7	11	10	− ⁠3 110 989 593/1億​​⁠ = −0.031 109 90 …
1	11	1	10	⁠1/10⁠ = −0.100 000 00 …
1	13	1	10	⁠3/10⁠ = −0.300 000 00 …
8	13	9	10	− ⁠184 269 279/1 000 000 000⁠ = −0.184 269 28 …
9	13	10	10	⁠604 499 373/10 000 000 000⁠ = −0.060 449 94 …
1	17	1	10	⁠7/10⁠ = −0.700 000 00 …
4	17	5	10	− ⁠16 479/10万⁠ = −0.164 790 00 …
9	17	11	10	⁠18 587 876 497/1億​​⁠ = −0.185 878 76 …
3	19	4	10	− ⁠3141/1万⁠ = −0.314 100 00 …
4	19	5	10	⁠30 321/10万⁠ = −0.303 210 00 …
7	19	9	10	− ⁠106 128 261/1 000 000 000⁠ = −0.106 128 26 …
2	23	3	10	− ⁠471/1000⁠ = −0.471 000 00 …
3	23	4	10	⁠2167/1万⁠ = −0.216 700 00 …
2	29	3	10	− ⁠159/1000⁠ = −0.159 000 00 …
2	31	3	10	− ⁠39/1000⁠ = −0.039 000 00 …

既知の数字

これはln 2の桁数計算における最近の記録表です。2018年12月時点で、ln 2 は1を除く他のどの自然数の自然対数^{[4] [5]}よりも多くの桁数まで計算されています。

日付	名前	桁数
2009年1月7日	A.Yee & R.Chan	155億
2009年2月4日	A.Yee & R.Chan	31,026,000,000
2011年2月21日	アレクサンダー・イー	50,000,000,050
2011年5月14日	近藤茂	100,000,000,000
2014年2月28日	近藤茂	200,000,000,050
2015年7月12日	ロン・ワトキンス	250,000,000,000
2016年1月30日	ロン・ワトキンス	350,000,000,000
2016年4月18日	ロン・ワトキンス	500,000,000,000
2018年12月10日	マイケル・クォック	600,000,000,000
2019年4月26日	ジェイコブ・リフィー	1,000,000,000,000
2020年8月19日	キム・スンミン[6] [7]	1,200,000,000,100
2021年9月9日	ウィリアム・エコールズ[8]	1,500,000,000,000
2024年2月12日	ジョーダン・ラヌース[9]	3,000,000,000,000

参照

• 72の法則#連続複利、ln 2が重要な役割を果たす
• 半減期#指数関数的減少における半減期の公式。ln 2が重要な役割を果たす。
• エルデシュ・モーザー方程式: すべての解はln 2の収束から来なければなりません。

参考文献

• ブレント, リチャード P. (1976). 「初等関数の高速多倍長精度評価」J. ACM . 23 (2): 242– 251. doi : 10.1145/321941.321944 . MR  0395314. S2CID  6761843.
• Uhler, Horace S. (1940). 「2, 3, 5, 7, 17の係数および対数の再計算と拡張」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (3): 205– 212. Bibcode :1940PNAS...26..205U. doi : 10.1073/pnas.26.3.205 . MR  0001523. PMC  1078033. PMID 16588339  .
• スウィーニー, デュラ W. (1963). 「オイラー定数の計算について」.計算数学. 17 (82): 170– 178. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR  0160308.
• Chamberland, Marc (2003). 「対数と一般化ガウス–メルセンヌ素数のための二元BBP式」(PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 : 03.3.7. Bibcode :2003JIntS...6...37C. MR  2046407. オリジナル(PDF)から2011年6月6日にアーカイブ。 2010年4月29日閲覧。
• グーレヴィッチ、ボリス。ヘスス・ゴヤネス・ギレラ(2007)。 「BBP 式に触発された π および多対数定数の二項和の構築」(PDF)。応用数学。電子ノート。7 : 237–246。MR 2346048 。 ​
• Wu, Qiang (2003). 「有理数の対数の線形独立性測度について」.計算数学. 72 (242): 901–911 . doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

1. Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. (2004). 「ラマヌジャンAGM分数について、I：実パラメータの場合」(PDF) . Exper. Math . 13 (3): 278– 280. doi :10.1080/10586458.2004.10504540. S2CID  17758274.
2. AN Khovanski, 連分数の応用と近似理論の問題への一般化, 1963年, Noordhoff, Groningen, オランダ
3. 数学的解析 関数、極限、級数、連分数. LA Lyusternik、AR Yanpol'Skii編、DE Brown訳、E. Spence編、1965年、p.273。Pergamon Press、オックスフォード、ロンドン、エディンバラ、ニューヨーク
4. "y-cruncher". numberworld.org . 2018年12月10日閲覧。
5. 「2の自然対数」. numberworld.org . 2018年12月10日閲覧。
6. “y-cruncherが樹立した記録”. 2020年9月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年9月15日閲覧。
7. 「キム・スンミンによる2の自然対数（Log(2)）の世界記録」。2020年8月19日。 2020年9月15日閲覧。
8. 「ウィリアム・エコールズ」 . 2025年3月15日閲覧。
9. 「y-cruncherが樹立した記録」2025年3月15日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「2の自然対数」。MathWorld。
• グルドン、ザビエル。セバ、パスカル。 「対数定数：log 2」。

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