局所的に閉じた部分集合

数学の一分野である位相幾何学において、位相空間の部分集合が局所的に閉じているとは、以下の同値な条件のいずれかが満たされる場合を言う。 ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$開集合と閉集合の交差である ${\displaystyle X.}$
• 各点に対して、閉じた近傍が存在する。 ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E\cap U}$ ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$閉鎖は開放的である ${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• セットは閉じられています ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2つの閉集合の差は ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2つの開集合の差は ${\displaystyle X.}$

2番目の条件は局所的に閉じているという用語を正当化し、ブルバキの局所的に閉じている定義である。^[1] 2番目の条件が3番目の条件を示唆することを理解するために、部分集合に対してが閉じている場合、かつその場合のみであること、また部分集合と開部分集合に対してが閉じている場合、という事実を用いる。 ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

例

区間はの局所的に閉じた部分集合です。別の例として、の閉じた円板の相対的な内部を考えてみましょう。これは、閉じた円板と開いた球の交差であるため、局所的に閉じています。 ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

一方、は の局所的に閉じた部分集合ではありません。 ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

定義により、-多様体の部分多様体は、内の各点に対してその周りに となるチャートが存在するような部分集合であることを思い出してください。したがって、部分多様体は局所的に閉じています。^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

代数幾何学の例を挙げましょう。Uを（ザリスキ位相における）射影多様体X上の開アフィンチャートとします。すると、 Uの各閉部分多様体YはXにおいて局所的に閉です。つまり、はYのXにおける閉包を表します。（準射影多様体および準アフィン多様体も参照。） ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

プロパティ

有限交差と局所閉集合の連続写像による原像は局所的に閉じている。^[1]一方、局所閉集合の和集合と補集合は必ずしも局所的に閉じている必要はない。^{[6] （これが}構成可能集合の概念の根拠となる。）

特に成層理論においては、局所的に閉じた部分集合に対して、補集合はの境界と呼ばれる（位相境界と混同しないように）。^[2]が多様体の境界を持つ閉部分多様体である場合、の相対的内部（つまり、多様体としての内部）はに局所的に閉じており、多様体としての の境界は、局所的に閉じた部分集合としての の境界と同じである。^[2] ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

位相空間はすべての部分集合が局所的に閉じている場合、準最大である。この概念の詳細については、位相用語集#Sを

参照

• 可算生成空間

注記

1. Bourbaki 2007、第1章、§3、第3号。
2. Pflaum 2001、説明1.1.2。
3. Ganster, M.; Reilly, IL (1989). 「局所閉集合とLC連続関数」.国際数学・数理科学ジャーナル. 12 (3): 417– 424. doi : 10.1155/S0161171289000505 . ISSN  0161-1712.
4. Engelking 1989、演習2.7.1。
5. マザー、ジョン (2012). 「位相安定性に関するノート」.アメリカ数学会報. 49 (4): 475– 506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .セクション1、476ページ
6. ブルバキ 2007、Ch. 1、§ 3、演習 7。

参考文献

• ブルバキ、ニコラス (2007)。トポロジ全般。第 1 章から第 4 章まで。ベルリン: Springer。土井：10.1007/978-3-540-33982-3。ISBN 978-3-540-33982-3。
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• Pflaum, Markus J. (2001).成層空間の解析的・幾何学的研究. 数学講義ノート. 第1768巻. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-42626-4. OCLC  47892611。

外部リンク

• nラボのローカルクローズドセット

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