局所定数層

代数位相幾何学において、位相空間X上の局所定数層とは、X上の任意のxに対し、 xの開近傍Uが存在し、その制約がU上の定数層となるような層のことである。これは局所系とも呼ばれる。Xが成層空間である場合、構成可能層とは、概ね成層の各要素上で局所定数となる層のことである。 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}|_{U}$

基本的な例としては、多様体上の向き層が挙げられます。これは、多様体の各点が向き付け可能な開近傍を許容するからです (ただし、多様体自体は向き付け可能ではない場合があります)。

別の例として、をX上の正則関数の層とし、によって与えられるとする。このとき、 Pの核は上では局所定数層となるが、では定数ではない（非零大域断面を持たないため）。^[1] $X=\mathbb {C}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $P:{\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}$ $P=z{\partial \over \partial z}-{1 \over 2}$ $X-\{0\}$

が空間X上の局所定数集合層である場合、Xの各パスは単射を決定する。さらに、2つのホモトピックパスは同じ単射を決定する。したがって、明確に定義された関数が存在する。 ${\mathcal {F}}$ $p:[0,1]\to X$ ${\mathcal {F}}_{p(0)}{\overset {\sim}{\to}}{\mathcal {F}}_{p(1)}.$

\Pi _{1}X\to \mathbf {Set} ,\,x\mapsto {\mathcal {F}}_{x}

ここで、はXの基本群素である。これは、Xの点を対象とし、その射がパスのホモトピー類となる圏である。さらに、Xがパス連結、局所パス連結、半局所単連結（つまりXは普遍被覆を持つ）である場合、すべての関数は上記の形式となる。すなわち、関数圏はX上の局所定数層の圏と同値である。 $\Pi _{1}X$ $\Pi _{1}X\to \mathbf {集合}$ $\mathbf {Fct} (\Pi _{1}X,\mathbf {Set} )$

Xが局所連結である場合、前層と束のカテゴリ間の随伴性は、局所定数層のカテゴリとXの被覆空間のカテゴリ間の同値性に制限される。^[2]^[3]

参考文献

^ 柏原 & シャピラ 2002、例 2.9.14。
^ Szamuely, Tamás (2009). 「位相幾何学における基本群」. ガロア群と基本群. ケンブリッジ大学出版局. p. 57. ISBN 9780511627064。
^ Mac Lane, Saunders (1992). 「集合の層」.幾何学と論理における層：トポス理論への最初の入門. Ieke Moerdijk. ニューヨーク: Springer-Verlag. p. 104. ISBN 0-387-97710-4. OCLC 24428855。

柏原正樹;シャピラ、ピエール (2002)。マニホールドのシーブ。 Vol. 292. ベルリン：シュプリンガー。土井：10.1007/978-3-662-02661-8。ISBN 978-3-662-02661-8。
Lurie, J.「§ A.1. 高等代数（最終更新：2017年9月）」（PDF）。

外部リンク

n ラボにおける局所定数層
https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/locally_constant_sheaves.html (推奨)

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[1] 柏原 & シャピラ 2002、例 2.9.14。

[2] Szamuely, Tamás (2009). 「位相幾何学における基本群」. ガロア群と基本群. ケンブリッジ大学出版局. p. 57. ISBN 9780511627064。

[3] Mac Lane, Saunders (1992). 「集合の層」.幾何学と論理における層：トポス理論への最初の入門. Ieke Moerdijk. ニューヨーク: Springer-Verlag. p. 104. ISBN 0-387-97710-4. OCLC 24428855。