対数平均温度差

熱工学において、対数平均温度差（LMTD）は、流体システム、特に熱交換器における熱伝達の温度駆動力を決定するために使用されます。LMTDは、二重管式熱交換器の両端における温水と冷水の温度差の対数平均です。面積と熱伝達係数が一定の熱交換器の場合、LMTDが大きいほど熱伝達量が多くなります。LMTDの使用は、流量と流体の熱特性が一定の熱交換器の解析から直接的に導き出されます。

意味

一般的な熱交換器には、両側に温水と冷水が出入りする 2 つの端 (「A」と「B」と呼びます) があると仮定します。この場合、LMTD は次のように対数平均によって定義されます。

\mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}

ここで、 $Δ T A$ $は端A$ における2つの流れの温度差、 $Δ T B$ $は端B$ における2つの流れの温度差です。2つの温度差が等しい場合、この式は直接解くことができません。そのため、LMTDは通常、その限界値と等しくなります。この場合、LMTDは2つの温度差に等しくなります。

この定義により、LMTD を使用して熱交換器で交換される熱を求めることができます。

Q=\alpha \times A\times \mathrm {LMTD}

ここで（SI単位系）：

熱伝達係数の推定は非常に複雑になる可能性があることに注意してください。

これは、流れが同じ端から流入する並流と、異なる端から流入する向流の両方に当てはまります。

クロスフローでは、通常ヒートシンクである1つのシステムが、伝熱面上のすべての点で同じ公称温度を持ちます。この場合、交換熱とLMTDの間には同様の関係が成り立ちますが、補正係数が必要となります。バッフルを備えたシェルアンドチューブ式熱交換器など、より複雑な形状の熱交換器でも補正係数が必要となります。

熱交換器内で、一般座標 $Aから$ $B$ への軸 $z$ に沿って、2つの流体 $1$ と2の間で熱伝達^{[ 2 ]} $が発生していると仮定します。流体1$ $と2$ $の$ $z$ に沿った温度は $T1$ $($ $z$ $)$ と $T2$ $($ $z$ $)$ です。

$z$ における局所的な交換熱流束は温度差に比例します。

q(z)=\alpha (T_{2}(z)-T_{1}(z))=\alpha \;\Delta T(z)

{\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}

ここで、 $k a 、k b$ $はそれぞれ点A$ と点 $B$ における介在物質の熱伝導率である。これらを合計すると、

{\frac {d\Delta T}{dz}}={\frac {d(T_{2}-T_{1})}{dz}}={\frac {d\,T_{2}}{dz}}-{\frac {d\,T_{1}}{dz}}=K\Delta T(z)

1

ここで、 $K = k a + k b$ です。

交換されるエネルギーの総量は、 $A$ から $B$ への局所的な熱伝達 $q$ を積分することによって求められます。

Q=D\int_{A}^{B}q(z)dz=\alpha D\int_{A}^{B}\Delta T(z)dz=\alpha D\int_{A}^{B}\Delta T\,dz,

$B - A$ は明らかにパイプの長さ、つまり $z$ 方向の距離であり、 $D$ は円周であることに注意してください。これらを掛け合わせると、パイプの熱交換面積 $Arが得られます。この事実を用いて、$

Q={\frac {\alpha Ar}{BA}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}

$両方の積分において、変数を$ $zから$ $ΔT$ に変更します。

Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

$ΔT$ （式1）の関係を用いると、これは次のようになる $。$

Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

この時点での積分は簡単で、最終的には次のようになります。

Q=\alpha \times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}

、

そこから LMTD の定義が導かれます。

両流体の温度変化率は温度差に比例すると仮定されています。この仮定は比熱が一定の流体に対して有効であり、比較的狭い範囲で温度が変化する流体を適切に記述します。しかし、比熱が変化すると、LMTD法は正確ではなくなります。
LMTDの特別な例としては、凝縮器と再沸器が挙げられます。これらのケースでは、相変化に伴う潜熱が仮説の特別なケースとなります。凝縮器の場合、高温流体の入口温度は高温流体の出口温度と等しくなります。
また、熱伝達係数（ $α$ ）は温度の関数ではなく一定であると仮定されている。もしそうでない場合、LMTD法の妥当性は再び低下する。
LMTDは定常状態の概念であり、動的解析には使用できません。特に、LMTDを、熱交換器の両側の温度差が短時間だけ異なる符号となる過渡状態に適用した場合、対数関数の引数は負の値となり、これは許容されません。
熱伝達中に相変化がない
運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視される

関連する量である対数平均圧力差（LMPD）は、希薄溶質を含む停滞した溶媒の質量移動において、バルクフローの問題を単純化するために使用されることが多い。