Type of graph
対数線形型の片対数グラフ。y軸（縦軸）に対数スケール、x軸（横軸）に線形スケールが描かれます 。 プロット さ れ た 線は、 y = 10 x （ 赤）、 y = x （緑）、 y = log( x )（青）です。 片対数グラフの線形対数型。x 軸に 対数 目盛り、 y軸に 線形目盛りが描かれます。プロットされた線は、 y = 10 x （赤）、 y = x （緑）、 y = log( x )（青）です。 科学 技術 において 、 片対数プロット ／ グラフ 、または 片対数 プロット ／ グラフは 、 一方の軸が 対数スケール 、もう一方の軸が 線形スケールで表されます。これは、1つの 変数が広い範囲の値をカバーする、 指数 関係 のデータに役立ちます 。 [1]
の形のすべての方程式 は、両辺の対数をとると直線になるため、片対数的にプロットすると直線になる。 y = λ a γ x {\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}
log a y = γ x + log a λ . {\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .} これは傾きと垂直切片を 持つ直線です 。対数目盛りは通常10進法で表記されますが、まれに2進法で表記されることもあります。 γ {\displaystyle \gamma } log a λ {\displaystyle \log _{a}\lambda }
log ( y ) = ( γ log ( a ) ) x + log ( λ ) . {\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).} 対数線形 （log-lin）プロットは、 y 軸に対数スケール 、 x 軸に 線形 スケールを持ちます。 線形対数 （lin-log）プロットはその逆です。プロット名は 出力-入力 ( y - x ) で、( x , y )とは逆の順序です 。
片対数プロットでは、 y 軸（または x 軸）の目盛りの間隔は 数値自体ではなく、数値の対数に比例します。これは、 y 値（または x 値）をそれぞれの対数に変換し、データを線形目盛り上にプロットすることと同じです。 対数対数プロットは 両軸とも対数目盛りを使用するため、片対数プロットではありません。
方程式 線形対数プロット上の直線の方程式は、 横 軸が対数的にスケールされている（対数の底が n である）場合、次のようになる。
F ( x ) = m log n ( x ) + b . {\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,} 縦 軸が対数的にスケールされた（対数の底が n である） 対数線形プロット上の直線の方程式は次のようになります。
log n ( F ( x ) ) = m x + b {\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b} F ( x ) = n m x + b = ( n m x ) ( n b ) . {\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}
片対数プロットから関数を見つける
線形対数プロット 線形対数プロットにおいて、 上図の直線上の 任意の点 ( x 0 , F 0 ) （ F 0は F ( x 0 )の略）を選び、さらに同じグラフ上の 任意の点 ( x 1 , F 1 ) を選びます。プロットの傾きの式は以下のとおりです。
m = F 1 − F 0 log n ( x 1 / x 0 ) {\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}} それは
F 1 − F 0 = m log n ( x 1 / x 0 ) {\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})} または
F 1 = m log n ( x 1 / x 0 ) + F 0 = m log n ( x 1 ) − m log n ( x 0 ) + F 0 {\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}} つまり F ( x ) = m log n ( x ) + c o n s t a n t {\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constant} }
言い換えれば、 Fは x の対数に その線形対数グラフの直線の傾きを乗じ、定数を加えたものに比例します。具体的には、線形対数プロット上の点( F 0 , x 0 )と点( F 1 , x 1 )を含む直線は、以下の関数を持ちます。
F ( x ) = ( F 1 − F 0 ) [ log n ( x / x 0 ) log n ( x 1 / x 0 ) ] + F 0 = ( F 1 − F 0 ) log x 1 x 0 ( x x 0 ) + F 0 {\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}
対数線形プロット 対数線形プロット（y軸に対数目盛り）において、 上図の直線上の 任意の点 （ x 0 , F 0 ） （F 0は F ( x 0 )の略）と、同じグラフ上の 任意の点 （ x 1 , F 1 ）をそれぞれ選びます。プロットの傾きの式は以下のとおりです。
m = log n ( F 1 / F 0 ) x 1 − x 0 {\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} それは
log n ( F 1 / F 0 ) = m ( x 1 − x 0 ) {\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})} n log n ( F 1 ) = F 1 であることに注目してください 。したがって、対数を逆にすると、次の式が得られます。
F 1 F 0 = n m ( x 1 − x 0 ) {\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}} または
F 1 = F 0 n m ( x 1 − x 0 ) {\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}} これは、 F 1 だけではなく、任意の点に対して一般化できます 。
F ( x ) = F 0 n ( x − x 0 x 1 − x 0 ) log n ( F 1 / F 0 ) {\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}
実世界の例
水の状態図 物理学 と 化学 では 、圧力の対数と温度の関係を示すグラフは、物質のさまざまな 状態 を示すために使用できます。次に、 水 の状態を示します。
水の 対数線形圧力-温度 相図。 ローマ数字は様々な 氷相 を示す 。
2009年の「豚インフルエンザ」の進行 10 は最も一般的な 基数 ですが、次の例のように、他の基数の方が適切な場合もあります。 [ さらなる説明が必要 ]
2009 年のインフルエンザ A (H1N1) の流行 における症例数と死亡者数の片対数グラフ 。 横軸（時間軸）は直線で、日付は等間隔に並んでいますが、縦軸（感染者数）は対数軸で、等間隔の区切りには2の累乗でラベルが付けられています。片対数プロットでは、感染が最大速度（つまり指数プロット上の直線）で拡大を止め、曲線に転じ、速度が低下し始めた時点がわかりやすくなっています。これは、ソーシャルディスタンスなど、何らかの緩和策が効果を上げていることを示している可能性があります。
微生物の増殖 生物学 および 生物工学 において、 無性生殖 と栄養素枯渇による 微生物 数の変化は 、一般的に片対数プロットで表されます。時間軸は通常独立変数であり、 細菌 などの微生物の数または質量の対数が従属変数となります。このプロットは、以下に示すように、4つの異なる位相を持つグラフを形成します。
細菌の増殖曲線
参照
参考文献 ^ (1) Bourne, M. 「対数紙と半対数紙上のグラフ」. Interactive Mathematics . www.intmath.com. 2021年8月6日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2021年 10月26日 閲覧。 (2) ボーン、マレー（2007年1月25日）「興味深い片対数グラフ - YouTubeトラフィックランク」 SquareCirclez：IntMathブログ 。www.intmath.com。2021年2月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年 10月26日 閲覧 。 
![{\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da143562dac9e25d0e2a741861ef66bb7077d6f6)
