量子論理

論理の数学的研究と量子基礎の物理的解析において、量子論理とは、量子論の構造に着想を得た命題操作のための一連の規則である。この形式体系は、ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンによる観察を出発点としている。すなわち、古典力学における実験的検定の構造はブール代数を形成するが、量子力学における実験的検定の構造ははるかに複雑な構造を形成するという観察である。

量子力学的現象を解析するために、他にも多くの論理が提案されていますが、残念ながらそれらも「量子論理」という名称で呼ばれています。これらは本稿の主題ではありません。量子論理とこれらの競合論理との類似点と相違点については、§ 他の論理との関係を参照してください。

量子論理は、哲学者ヒラリー・パトナムによって、少なくとも彼のキャリアのある時点で、一般的に命題推論の正しい論理として提唱されてきました。この命題論理は、パトナムの1968年の論文「論理は経験的か？」の重要な要素であり、彼はこの論文で命題論理の規則の認識論的地位を分析しました。現代の哲学者たちは、量子論理が物質的な条件を欠いているという理由で、推論の基盤として量子論理を拒否しています。一般的な代替案は線型論理体系であり、量子論理はその一部です。

数学的には、量子論理はブール代数の分配法則を弱めることによって定式化され、結果として直交補格子が得られる。量子力学的な観測量と状態は、格子上または格子への関数によって定義することができ、量子計算のための 代替的な形式論を与える。

導入

量子論理と古典論理の最も顕著な違いは、命題分配法則が成り立たないことである。^{[ 1 ]}

pと ( qまたはr ) = ( pとq ) または ( pとr )、

ここで、記号p、q、rは命題変数です。

分配法則が成り立たない理由を説明するために、直線上を移動する粒子を考え、（プランク定数が1となるような単位系を用いて）^{[注1 ]}

p = 「粒子は[0, + 1 ⁄ 6 ]の区間で運動量を持つ」

q = 「粒子は[−1, 1]の区間にある」

r = "粒子は区間[1, 3]にある"

次のようなことが観察されるかもしれません。

pかつ ( qまたはr ) =真

言い換えれば、粒子の状態は、0 から +1/6 までの運動量と -1 から +3 までの位置の 重み付けされた重ね合わせであるということです。

一方、「pとq」と「pとr」という命題は、位置と運動量の同時値に関して、不確定性原理で許容されるよりも厳しい制約を主張している（いずれも不確定性は1/3であり、これは許容される最小値の1/2よりも小さい）。したがって、どちらの命題も支持できる状態は存在せず、

( pとq ) または ( pとr ) =偽

歴史と現代批評

1932年の古典的論文『量子力学の数学的基礎』の中で、ジョン・フォン・ノイマンはヒルベルト空間への射影は物理的観測量に関する命題、つまり観測者が物理系の状態について尋ねる可能性のある「はい」か「いいえ」の質問、つまり何らかの測定によって解決できる質問とみなせると指摘した。^{[ 2 ]} これらの量子命題を操作するための原理は、フォン・ノイマンとバーコフによって1936年の論文で量子論理と名付けられた。^{[ 3 ]}

ジョージ・マッキーは、1963年の著書（『量子力学の数学的基礎』とも呼ばれる）において、量子論理を直交補完格子の構造として公理化しようと試み、物理的観測量を量子命題によって定義できることを認識した。マッキーの提示では、直交補完格子は可分ヒルベルト空間の閉線形部分空間の格子であると仮定されていたが、^{[ 4 ]}コンスタンティン・ピロン、ギュンター・ルートヴィヒらは後に、基礎となるヒルベルト空間を仮定しない公理化を展開した。^{[ 5 ]}

哲学者ヒラリー・パトナムは、ハンス・ライヘンバッハによる当時の一般相対性理論の擁護に触発され、 1968年と1975年の2つの論文でマッキーの研究を広めた。^{[ 6 ]}パトナムは、量子測定に関連する異常性が論理自体の欠陥から生じるという考えを、共著者である物理学者デイヴィッド・フィンケルシュタインに帰した​​。^{[ 7 ]}パトナムは、量子測定の問題における隠れた変数や波動関数の崩壊 に代わる可能性のあるものを開発することを望んだが、グリーソンの定理がこの目標にとって深刻な困難をもたらしている。^{[ 6 ] [ 8 ]} その後、パトナムはそれほど大々的ではなかったものの自分の見解を撤回したが^{[ 6 ]}、ダメージはすでにあった。バーコフとフォン・ノイマンの最初の研究は量子力学のコペンハーゲン解釈に関連する計算を体系化しようとしたものに過ぎなかったが、量子論理が実行可能な隠れた変数理論を提供するか、あるいはその必要性を排除することを期待する研究者の学派が出現した。^{[ 9 ]} 彼らの研究は実を結ばず、現在では評判が悪い。^{[ 10 ]}

ほとんどの哲学者は、量子論理は古典論理の競合相手ではないことに同意するだろう。量子論理が論理である（推論のプロセスを記述するという意味で^{）ということは、量子装置によって行われた測定を要約するための特に便利な言語とは対照的に、決して明白ではない（ [ 11} ] 事実ではあるが）。^{[ 12 ] [ 13 ]}特に、現代の科学哲学者の中には、量子論理は物理学の問題を適切に解決するのではなく、物理学における未解決の問題を形而上学的な困難で置き換えようとしていると主張する者もいる。^{[ 14 ]}ティム・モードリンは、量子「論理は[測定]問題を記述不可能にすることで『解決』する」と述べている。^{[ 15 ]}

量子論理は論理学者の間で今でも使われており^{[ 16 ]} 、近年の量子コンピューティングの発展によって関心が高まっており、量子プロトコルやアルゴリズムの形式解析のための新しい論理が急増している（ §他の論理との関係も参照）。^{[ 17 ]} この論理は（計算）言語学にも応用できる可能性がある。

代数構造

量子論理は、以下の恒等式を法とする命題理論として公理化できる。^{[ 18 ]}

• a = ¬¬ a
• ∨ は交換法則と結合法則を満たします。
• 最大元 ⊤ が存在し、任意のbに対して⊤ = b ∨¬ bです。
• a ∨¬(¬ a ∨ b ) = a .

（「¬」は「not 」の伝統的な表記法、「∨」は「 or 」の表記法、「∧」は「and」の表記法です。）

一部の著者は、直交モジュラー格子に限定して、さらに直交モジュラー法則も満たしている：^{[ 19 ]}

• ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b )∨¬( a ∨ b )の場合、 a = bです。

（「⊤」は真実を表す伝統的な表記法であり、「⊥」は偽りを表す伝統的な表記法です。）

代替的な定式化としては、自然演繹^{[ 16 ]} 、シーケント計算^{[ 20 ] [ 21 ]}、タブローシステム^{[ 22 ]}によって導出可能な命題が挙げられる。証明理論は 比較的発達しているものの、量子論理が決定可能であることは知られていない。^{[ 18 ]}

観測可能なものの論理としての量子論理

本稿の残りの部分では、読者がヒルベルト空間上の自己随伴作用素のスペクトル理論に精通していることを前提としています。ただし、主要な考え方は有限次元の場合にも理解可能です。

古典力学の論理

古典力学のハミルトン定式化は、状態、観測量、ダイナミクスという3つの要素から成ります。R 3^を運動する単一の粒子という最も単純なケースでは、状態空間は位置・運動量空間R ⁶です。観測量とは、状態空間上の実数値関数fです。観測量の例としては、粒子の位置、運動量、エネルギーなどが挙げられます。古典系の場合、ある特定の系の状態xにおけるfの値であるf ( x ) は、 fの測定プロセスによって得られます。

古典システムに関する命題は、次のような基本ステートメントから生成される。

「fを測定すると、いくつかの実数a、bに対して区間 [ a、b ] 内の値が得られます。」

従来の算術演算と点ごとの極限を通して。古典的体系における命題のこの特徴づけから、対応する論理は状態空間のボレル部分集合のブール代数と同一であることが容易に導かれる。したがって、それらは古典的な命題論理の法則（例えばド・モルガンの法則）に従い、集合演算の和集合と積集合はブール論理積に対応し、部分集合の包含は物質的含意に対応する。

実際、より強い主張が真実です。つまり、それらは無限論理L _{ω 1、ω}に従わなければなりません。

これらの考察を以下のようにまとめる：古典システムの命題体系は、明確な直交補完演算を持つ格子である。格子演算のmeetとjoinは、それぞれ集合の積と集合の和である。直交補完演算は集合の補集合である。さらに、この格子は逐次完全であり、格子の任意の要素の列{ E _i } _{i ∈ N}は最小の上限、具体的には集合論的和を持つ。 $${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}}$$

量子力学系の命題格子

フォン・ノイマンによって提唱された量子力学のヒルベルト空間定式化において、物理的観測量はヒルベルト空間H上の（おそらくは無限の）稠密に定義された自己随伴作用素Aによって表される。A はスペクトル分解 を持ち、これはRのボレル部分集合上に定義された射影値測度E である。特に、R上の任意の有界ボレル関数fに対して、 fを作用素に次のように拡張することができる。 $${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$$

fが区間 [ a , b ] の指示関数である場合、作用素f ( A ) は、 [ a , b ]に固有値を持つAの一般化固有ベクトルの部分空間への自己随伴射影である。この部分空間は、古典命題の量子版として解釈できる。

• Aを測定すると、 [ a , b ]の範囲の値が得られます。

これは、古典力学における命題の直交補完格子、本質的にはマッキーの公理 VII を量子力学的に置き換えることを示唆しています。

• 量子力学系の命題はHの閉部分空間の格子に対応する。命題Vの否定は直交補集合V ^⊥である。

量子命題の空間Qも順序完備である。すなわち、Qの元からなる任意の対素な列 { V _i } _iには、最小の上界が存在する。ここで、W ₁とW _{2の非素性は、} W _2がW ₁ ^⊥の部分空間であることを意味する。{ V _i } _iの最小の上界は、閉じた内部直和である。

標準的な意味論

量子論理の標準的な意味論は、量子論理は可分ヒルベルト空間またはプレヒルベルト空間における射影演算子の論理であり、観測可能なpは、 p（測定された場合）が固有値1を持つ量子状態の集合に関連付けられているというものである。そこから、

• ¬pはpの直交補集合である（これらの状態においてpを観測する確率はP( p ) = 0であるため）、
• p ∧ qはpとqの交点であり、
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) は、 pとqを重ね合わせた 状態を指します。

この意味論は、命題が直交モジュラー法則を満たす場合のみ、プレヒルベルト空間が完備（すなわちヒルベルト）であるという優れた性質を持ち、この結果はソレール定理として知られている。^{[ 23 ]}量子論理の発展の多くは標準意味論によって動機づけられてきたが、量子論理は後者によって特徴付けられるわけではない。その格子によって満たされる追加の性質が量子論理では必ずしも成り立たないからである。^{[ 16 ]}

古典論理との違い

Qの構造は、古典的な命題体系の半順序構造との違いをすぐに示しています。古典的なケースでは、命題pが与えられたとき、方程式

⊤ = p ∨ qかつ

⊥ = p ∧ q

解はpの集合論的補集合のみである。射影格子の場合、上記の方程式には無限個の解が存在する（pの任意の閉じた代数的補集合はこれを解く。必ずしも直交補集合である必要はない）。

より一般的には、命題評価は量子論理において特異な性質を持つ。{⊥,⊤}への全格子準同型を許容する直交補格子は必ずブール型となる。標準的な回避策は、フィルタリング特性を持つ 極大部分準同型qを調べることである。

もしa ≤ bかつq ( a )=⊤ならばq ( b )=⊤である。^{[ 10 ]}

分配性の失敗

量子論理における式は、古典論理に似た構文を用いて観測量を記述します。しかし、古典論理とは異なり、分配法則a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) は、位置や運動量といった非可換な観測量を扱う際には成り立ちません。これは、測定がシステムに影響を与えるため、選言が成立するかどうかを測定しても、どの選言が真であるかを測定できないためです。

たとえば、位置がx、運動量がpで表される単純な 1 次元粒子を考え、観測可能なものを定義します。

• a — | p | ≤ 1 （一部の単位）
• b — x ≤ 0
• c — x ≥ 0

ここで、位置と運動量は互いのフーリエ変換であり、コンパクトな台を持つ平方積分可能な非零関数のフーリエ変換は整であり、したがって孤立していない零点を持たない。したがって、運動量空間で正規化可能で、かつx ≥ 0 で正確に消滅する波動関数は存在しない。したがって、a ∧ b、同様にa ∧ cは偽であり、 ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) は偽である。しかし、a ∧ ( b ∨ c ) はaに等しく、これは明らかに偽ではない（それが測定結果として実行可能な状態が存在する）。さらに、粒子のダイナミクスの関連するヒルベルト空間が 1 以下の運動量のみを許容する場合、a は真である。

より理解を深めるために、p ₁とp _{2をそれぞれ}x ≤ 0 とx ≥ 0への粒子波動関数の射影に対する運動量関数（フーリエ変換）とします。| p _i |↾ _≥1を、 p _iの運動量が（絶対値で）≥1 に 制限するものとします。

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) は、 | p ₁ |↾ _≥1 = | p ₂ |↾ _≥1 = 0 の状態に対応します（このような状態を可能にするためにp を異なって定義した場合でも、これは成り立ちます。また、 a ∧ bは、 | p ₁ |↾ _≥1 =0 およびp ₂ =0 に対応します）。一方、a は、 | p |↾ _≥1 = 0の状態に対応します。演算子として、p = p ₁ + p ₂であり、ゼロ以外の | p ₁ |↾ _≥1と | p ₂ |↾ _{≥1が干渉して、ゼロの |} p |↾ _≥1を生成する可能性があります。このような干渉は、量子論理と量子力学の豊かさの鍵となります。

量子測定との関係

マッキー観測可能量

直交補完格子Qが与えられたとき、マッキー観測量 φ はRのボレル部分集合の直交補完格子からQへの可算加法準同型写像である。記号で表すと、これはRの任意の対素ボレル部分集合の列 { S _i } _iに対して、{φ( S _i )} _iが対直交命題（Qの元）であり、

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

同様に、Mackey 観測可能値はR上の射影値測度です。

定理（スペクトル定理）。QがヒルベルトHの閉部分空間の格子である場合、マッキー観測量とH上の稠密に定義された自己随伴作用素との間には全単射対応が存在する。

量子確率測定

量子確率測度は、 Q上で定義され[0,1]の範囲の値をとる関数Pであり、P("⊥)=0、P(⊤)=1であり、{ E _i } _iがQの直交ペアの要素の列である場合、

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

ヒルベルト空間の閉部分空間上のすべての量子確率測度は、密度行列 （トレース1 の非負演算子）によって誘導される。正式には、

定理^{[ 24 ]} Qが少なくとも3次元の複素可分ヒルベルト空間の閉部分空間の格子であるとする。Q上の任意の量子確率測度Pに対して、Qの任意の自己随伴射影Eに対してとなるような唯一のトレースクラス演算子Sが存在する。 $${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$$

他のロジックとの関係

量子論理は線形論理^{[ 25 ]}と様相論理Bに埋め込まれます。^{[ 16 ]} 実際、量子計算を分析するための現代の論理は、しばしば量子論理から始まり、そこに古典論理の拡張の望ましい特徴を移植しようとします。その結果は必然的に量子論理を埋め込みます。^{[ 26 ] [ 27 ]}

任意の量子命題の集合の直交補完格子はブール代数に埋め込むことができ、それは古典論理に従うことができる。^{[ 28 ]}

制限事項

量子論理の多くの扱いは、基礎となる格子が必ず直交モジュラーであることを前提としているが、そのような論理は複数の相互作用する量子系を扱うことができない。FoulisとRandallによる例では、有限次元ヒルベルト模型と直交モジュラー命題が存在するが、その組み合わせは直交モジュラー模型を許さない。^{[ 8 ]} 同様に、直交モジュラー法則を持つ量子論理は演繹定理を偽とする。^{[ 29 ]}

量子論理は合理的な物質的条件を許さない。ある技術的な意味で単調な接続詞は、命題のクラスをブール代数に還元する。^{[ 30 ]} その結果、量子論理は時間の経過を表すのに苦労する。^{[ 25 ]} 1つの可能な回避策は、 1970年代後半から1980年代にかけてベラフキンによって開発された量子濾過 理論である。^{[ 31 ] [ 32 ]}しかし、量子論理に非常に近い線形論理の深い推論フラグメントであるシステムBVは、任意の離散時空を処理できること が知られている。^{[ 33 ]}

参照

• ファジー論理
• HPO形式論（時間量子論理へのアプローチ）
• 線形論理
• 量子力学の数学的定式化
• 多値ロジック
• 量子ベイズ主義
• 量子認知
• 量子文脈性
• 量子場理論
• 量子確率
• 準集合論
• ソレールの定理
• ベクトル論理

注記

1. 技術的な理由により、これらの命題を量子力学的作用素として表現することは不可能です。これらの命題は直感的に理解できるほど単純であり、実現可能な作用素の極限ケースとみなせるため、ここで提示します。詳細については、 § 観測可能なものの論理としての量子論理などを参照してください。

引用

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出典

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• N. Papanikolaou、「量子システムについての形式的推論：概要」、ACM SIGACT News、36(3)、2005年、51～66頁。arXiv cs/0508005。

量子基礎

• D. Cohen 著『ヒルベルト空間と量子論理入門』、Springer-Verlag、1989 年。初歩的で図解も豊富。上級の学部生に適しています。
• Günther Ludwig、Der Grundlagen der Quantenmechanik (ドイツ語)、Springer、1954。決定版の著作。英語版では次のようにリリースされました。
  • Günther Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics , vol. 1, 訳 Carl A. Hein; Springer-Verlag, 1983.
  • ギュンター・ルートヴィヒ『量子力学の公理的基礎』第1巻「ヒルベルト空間構造の導出」、レオ・F・ボロン訳、カール・ジャスト編、シュプリンガー、1985年。DOI:  10.1007 /978-3-642-70029-3。ISBN 978-3-642-70029-3。
• nラボの量子論理
• C. ピロン、「量子物理学の基礎」、W. A. ベンジャミン、1976 年。

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