ループ空間

位相空間

数学の一分野である位相幾何学において、尖端位相空間Xのループ空間Ω Xは、 X内の（基底付き）ループ、すなわち、コンパクト開位相を備えた、尖端円S ^1からXへの連続した尖端写像の空間です。2つのループは連結によって乗算できます。この操作により、ループ空間はA _∞ -空間になります。つまり、乗算はホモトピーコヒーレント結合的です

Ω Xのパス成分の集合、すなわちXの基底ループの基底ホモトピー同値類の集合は群であり、基本群π ₁ ( X )である。

Xの反復ループ空間は、Ω を複数回適用することによって形成されます。

基点を持たない位相空間にも同様の構成要素がある。位相空間Xの自由ループ空間は、円S ¹からコンパクト開位相を持つXへの写像の成す空間である。Xの自由ループ空間はしばしば と表記される。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

関数として、自由ループ空間構成は円との直積に右随伴であり、ループ空間構成は縮約サスペンションに右随伴である。この随伴は、安定ホモトピー理論におけるループ空間の重要性の多くを説明する。（コンピュータサイエンスにおける関連現象はカリー化であり、直積はホム関数に随伴する。）非公式には、これはエックマン・ヒルトン双対性と呼ばれる。

エックマン・ヒルトン双対性

ループ空間は、同じ空間のサスペンションと双対です。この双対性は、エックマン・ヒルトン双対性と呼ばれることもあります。基本的な観察は次のようになります

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

ここで、 は写像 のホモトピー類全体の集合、は A の懸垂線、 は自然な同相写像を表す。この同相写像は、本質的には、積を既約積に変換するために必要な商を 法として をカリー化したものと同じである。 ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \approxeq }$

一般に、任意の空間およびに対しては群構造を持たない。しかし、およびが を指しているとき、および は自然な群構造を持つことが示され、前述の同型はこれらの群の となる。^[1] したがって、（球面）を設定すると、関係 ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$ ${\displaystyle [Z,\Omega X]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z=S^{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$。

これは、ホモトピー群がと定義され、球面が互いの懸濁によって得られることから導かれる。すなわち。^[2] ${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

参照

• ボット周期性
• アイレンバーグ・マクレーン空間
• 自由ループ
• 基本群
• グレイ予想
• 位相のリスト
• ループ群
• パス（位相）
• スペクトル（位相）
• パス空間（代数的位相）

参考文献

1. May, JP (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) , U. Chicago Press, Chicago , 2016年8月27日閲覧 （第8章第2節参照）
2. Topospaces wiki – 基底位相空間のループ空間

• アダムズ、ジョン・フランク（1978）「無限ループ空間」、数学研究年報、第90巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08207-3、MR  0505692
• メイ、J.ピーター(1972)、『反復ループ空間の幾何学』、数学講義ノート、第271巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi :10.1007/BFb0067491、ISBN 978-3-540-05904-2、MR  0420610

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