ループ積分

Class of integrals appearing in quantum field theory

量子場の理論と統計力学において、ループ積分は、内部運動量について積分することによって、1つ以上のループを持つファインマン図を評価するときに現れる積分である。 ^[1]これらの積分は、カウンタータームを決定するために使用され、それによって、エネルギースケールにおける相互作用の結合の依存性をエンコードするベータ関数の評価が可能になる。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$

1ループ積分

一般的な式

一般的な1ループ積分、例えばQEDやQCDの1ループ繰り込みに現れる積分は、次のような項の線形結合として表される。

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}}$

ここで、は4元運動量であり、外部運動量の線形結合です。 は相互作用する粒子の質量です。この式ではユークリッド符号が用いられています。ローレンツ符号では、分母は の形の式の積になります。 ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }$

ファインマンの媒介変数化を用いると、これは次の形式の積分の線形結合として書き直すことができる。

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},}$

ここで、4次元ベクトルと は、とファインマンパラメータの関数である。この積分は、ファインマンパラメータの領域でも積分される。積分は等方テンソルなので、 に依存しない（ただし、次元 に依存する可能性はある）等方テンソルとして表すことができ、これに積分を乗じる。 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle q_{i},m_{i}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.}$

が奇数の場合、積分はゼロになるので、 を定義できることに注意してください。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2a}$

積分の正規化

カットオフ正規化

ウィルソン繰り込み法では、カットオフスケールを指定することにより積分を有限にする。評価すべき積分は ${\displaystyle \Lambda >0}$

${\displaystyle \int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},}$

ここで、 は領域 上の積分の省略形です。式は有限ですが、一般に の場合には発散します。 ${\displaystyle \int ^{\Lambda }}$ ${\displaystyle \{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}}$ ${\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty }$

次元正則化

運動量カットオフのない積分は次のように評価できる。

${\displaystyle I_{d}(b,a,\Delta ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}={\frac {1}{(4\pi )^{d/2}}}{\frac {1}{\Gamma (d/2)}}B\left(b-a-{\frac {d}{2}},a+{\frac {d}{2}}\right)\Delta ^{-(b-a-d/2)},}$

ここではベータ関数です。QED または QCD の繰り込み計算では、は値およびを取ります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle 2}$

QFTにおけるループ積分の場合、は実際におよび の関連する値に対して極を持ちます。例えば、4次元のスカラー理論では、相互作用頂点の1ループ繰り込み計算におけるループ積分は を持ちます。次元正規化という「トリック」を用いて、小さなパラメータを用いてまで解析的に進みます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle (a,b,d)=(0,2,4)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=4-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

反項を計算するために、ループ積分はのローラン級数として表される必要がある。そのためには、ガンマ関数のローラン展開を用いる必要がある。 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \Gamma (\epsilon )={\frac {1}{\epsilon }}-\gamma +{\mathcal {O}}(\epsilon )}$

ここではオイラー・マスケロニ定数です。実際には、ループ積分は一般に のように発散します。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

ファインマン図を完全に評価するには、評価しなければならない代数的因子が存在する場合があります。例えば、QEDでは、積分のテンソル添字はガンマ行列と縮約される場合があり、積分を評価するにはこれらを含む恒等式が必要となります。QCDでは、理論変換において重要な表現（スカラー場またはスピノル場）だけでなく、随伴表現の二次カシミール係数など、追加のリー代数的因子が存在する場合があります。

例

スカラー場理論

φ⁴理論

出発点は理論の行動である ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle S[\phi _{0}]=\int d^{d}x{\frac {1}{2}}(\partial \phi _{0})^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}\phi _{0}^{2}+{\frac {1}{4!}}\lambda _{0}\phi _{0}^{4}.}$

ここで、定義域は正規化スキームに応じて変化するため、意図的に曖昧なままにされています。 ${\displaystyle (\partial \phi _{0})^{2}=\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}=\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\phi _{0}\partial _{i}\phi _{0}}$

運動量空間における ユークリッド署名伝播関数は

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

2点相関器（または運動量空間2点相関器、もしくは2点相関器のフーリエ変換）への1ループ寄与は、単一のファインマン図から得られ、 ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (y)\rangle }$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{0}}{2}}\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

これはループ積分の例です。

かつ積分領域が であるとき、この積分は発散する。これは、量子場の理論を歴史的に悩ませてきた発散のパズルの典型である。有限の結果を得るために、我々は正則化スキームを選択する。説明のために、2つのスキームを示す。 ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

カットオフ正規化： を固定する。正規化されたループ積分は、領域上の積分であり、この積分は次のように表記されるのが典型的である。 ${\displaystyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |<\Lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{0}}{2}}\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

この積分は有限であり、この場合は評価できます。

次元正則化： の全域にわたって積分しますが、を正の整数と見なす代わりに、 まで解析的に接続します。ただし、は小さいです。上記の計算により、積分は整数から上の関数への明確に定義された解析接続を持つ式で表せることを示しました。具体的には、ガンマ関数は解析接続を持ち、 のべき乗を取ることは解析的に接続できる演算です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=n-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x^{d}}$

参照

• 正則化（物理学）
• 繰り込み

参考文献

1. ペスキン, マイケル・E. ; シュローダー, ダニエル・V. (1995).量子場の理論入門. ISBN 9780201503975。

さらに読む

• Vladimir A. Smirnov：「ファインマン積分の評価」、Springer、ISBN 978-3-540239338 (2004)。
• ウラジミール・A・スミルノフ：「ファインマン積分計算」、シュプリンガー、ISBN 978-3-540306108 (2006)。
• Vladimir A. Smirnov：「ファインマン積分のための解析ツール」、Springer、ISBN 978-3642348853 (2013)。
• Johannes BlümleinとCarsten Schneider（編）：「反微分化とファインマン振幅の計算」、Springer、ISBN 978-3-030-80218-9（2021年）。
• ステファン・ヴァインツィエル：「ファインマン積分：学生と研究者のための包括的な扱い」、Springer、ISBN 978-3-030-99560-7（2023年）。

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