宝くじの数学

宝くじ数学は、宝くじの当選確率と落選確率を計算するために使用されます。これは主に組み合わせ論、特に12重法と非置換法に基づいています。また、宝くじの抽選で発生する偶然の一致、例えば異なる抽選で同じ数字が現れるなどの分析にも使用できます。^[1]

以下では

$Pは、$ 置換なしで勝ちのボールが抽出されるボールのプール内のボールの数です。
$W$ はプールから抽出された勝ちボールの数です。
$T$ は宝くじに記載されているボールの数です。（多くの場合、 $W$ と等しくなります。）
$M$ は、宝くじ券と当選セットに一致するボールの数です。

ボールのプール1つ

$P個のユニークなボール ($ $P = 49$ など)があり、そこからボールが交換なしで抽出されるとします。W $個のボールのサブセット ($ $W = 6$ など) が当選セットとして抽出されるとします。宝くじで $T$ 個のボールのサブセット( $T = 6$ など) が選択されるとします。宝くじの $T$ 個のボールのうち $M 個が、当選セットの$ W 個のボールの中にもあるとします。当選セットを抽出するための可能な方法 (二項係数を参照) のうち、 $M$ 個を宝くじの T から抽出する方法と、 $W$ − $M$ $個$ $を宝くじに記載されていない$ $P$ $-$ $T$ のセットから抽出する方法があります。つまり、プールに P 個のボールがあり、各宝くじが $T$ $個$ のボールを選択し、 $W が$ 宝くじで抽出された当選ボールの数である場合、 $M$ 個の一致を得る確率は次の式で与えられます。 ${P \choose W}$ ${T \choose M}$ ${P-T \choose W-M}$ $\Pr[M\mid P,T,W]={\frac {{T \choose M}{P-T \choose W-M}}{P \choose W}}\,.$

単一プールの例

$P$ ボールのプールと $T$ ボールがそれぞれ入った宝くじ券から $Wボールを引いたときに$ $M$ マッチを獲得する確率:

$M$ マッチ	$T = W =$ $P$ $=49$ からの6個のボール	$T = W =$ $P$ $から5$ 球 $= 69$
0	${\frac {{6 \choose 0}{43 \choose 6}}{49 \choose 6}}={\frac {1\cdot 6{,}096{,}454}{13{,}983{,}816}}\approx 0.436$	${\frac {{5 \choose 0}{64 \choose 5}}{69 \choose 5}}={\frac {1\cdot 7{,}624{,}512}{11{,}238{,}513}}\approx 0.678$
1	${\frac {{6 \choose 1}{43 \choose 5}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 962{,}598}{13{,}983{,}816}}\approx 0.413$	${\frac {{5 \choose 1}{64 \choose 4}}{69 \choose 5}}={\frac {5\cdot 635{,}376}{11{,}238{,}513}}\approx 0.283$
2	${\frac {{6 \choose 2}{43 \choose 4}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 123{,}410}{13{,}983{,}816}}\approx 0.132$	${\frac {{5 \choose 2}{64 \choose 3}}{69 \choose 5}}={\frac {10\cdot 41{,}664}{11{,}238{,}513}}\approx 0.0371$
3	${\frac {{6 \choose 3}{43 \choose 3}}{49 \choose 6}}={\frac {20\cdot 12{,}341}{13{,}983{,}816}}\approx 0.0177$	${\frac {{5 \choose 3}{64 \choose 2}}{69 \choose 5}}={\frac {10\cdot 2{,}016}{11{,}238{,}513}}\approx 0.001\,79$
4	${\frac {{6 \choose 4}{43 \choose 2}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 903}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,969$	${\frac {{5 \choose 4}{64 \choose 1}}{69 \choose 5}}={\frac {5\cdot 64}{11{,}238{,}513}}\approx 0.000\,0285$
5	${\frac {{6 \choose 5}{43 \choose 1}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 43}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,0184$	${\frac {{5 \choose 5}{64 \choose 0}}{69 \choose 5}}={\frac {1\cdot 1}{11{,}238{,}513}}\approx 0.000\,000\,0890$
6	${\frac {{6 \choose 6}{43 \choose 0}}{49 \choose 6}}={\frac {1\cdot 1}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,000\,0715$

別のボールプールからのパワーボール

一部の宝くじでは、別のボールプールから1つ以上のパワーボールが抽出されます。たとえば、最初の抽選では $P$ $1$ $= 69 個$ のボールから $W 1 = 5 個の$ ボールが抽出され、次に $P$ $2$ $= 26 個のボールから$ $W$ $2$ $= 1 個の$ パワーボールが抽出される場合があります。どちらのプールでも、抽選は無交換で行われます。同様に、宝くじには $T$ $1 個$ の通常ボールと $T$ $2 個の$ パワーボールが記載されています。宝くじのボールの数は、多くの場合、当選セットと同じで、 $T$ $1$ $=$ $W$ $1$ および $T$ $2$ $=$ $W$ $2$ です。最初の抽選で $M$ $1個が一致し、パワーボールの抽選で$ $M$ $2$ 個が一致する確率は、個々の確率の積に過ぎません。3つ以上のボールプールについても同様です。 $\Pr[M_{1},M_{2}\mid P_{1},T_{1},W_{1},P_{2},T_{2},W_{2}]={\frac {{T_{1} \choose M_{1}}{P_{1}-T_{1} \choose W_{1}-M_{1}}}{P_{1} \choose W_{1}}}{\frac {{T_{2} \choose M_{2}}{P_{2}-T_{2} \choose W_{2}-M_{2}}}{P_{2} \choose W_{2}}}\,,$

例えば、0 から 9 までの番号が付けられたボールのプールから 1 つのボールが抽出され、その後、2 つ目と 3 つ目のボールもそれぞれ 10 個のボールのプールから抽出される場合、次の式を使用できます。P $1 = P 2 = P$ $3$ $=$ $10 、 T 1 = W$ 1 $= T 2 = W 2 = T 3 = W 3 = 1。（同様に、$ 各ボールを次のボールが抽出される前にプールに戻す限り、3 つのボールすべてを同じプールから抽出することもできます。）ただし、このケースは、0（「000」と表記）から 999 までの番号が付けられた 1 つのボールが 1000 個のボールのプールから抽出される場合として、より簡単にモデル化できます。

個別のプールの例

$P$ $1$ $= 69 個$ のボールのプールから $W$ $1$ $= 5 個の$ ボールを引いたときに $M 1 の$ 一致が得られる確率、別の $P$ $2$ $= 26 個のボールのプールから$ $W$ $2$ $= 1 個$ のパワーボールを引いたときに $M$ $2$ の一致が得られる確率、および宝くじ券で $T$ $1$ $= 5 個$ の通常ボールと $T$ $2$ $= 1 個のパワーボールが選択された場合の確率:$

$M 1 + M 2$ マッチ	$T 1 = W 1 =$ $P 1 =69$ から5個のボールと $T 2 = W 2 =$ $P$ $2$ から 1 個のボール $= 26$
0 + 0	${\frac {{5 \choose 0}{64 \choose 5}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {1\cdot 7{,}624{,}512\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.652$
0 + 1	${\frac {{5 \choose 0}{64 \choose 5}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {1\cdot 7{,}624{,}512\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.0261$
1 + 0	${\frac {{5 \choose 1}{64 \choose 4}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {5\cdot 635{,}376\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.272$
1 + 1	${\frac {{5 \choose 1}{64 \choose 4}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {5\cdot 635{,}376\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.001\,09$
2 + 0	${\frac {{5 \choose 2}{64 \choose 3}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {10\cdot 41{,}664\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.0356$
2 + 1	${\frac {{5 \choose 2}{64 \choose 3}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {10\cdot 41{,}664\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.001\,43$
3 + 0	${\frac {{5 \choose 3}{64 \choose 2}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {10\cdot 2{,}016\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.001\,72$
3 + 1	${\frac {{5 \choose 3}{64 \choose 2}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {10\cdot 2{,}016\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.000\,0690$
4 + 0	${\frac {{5 \choose 4}{64 \choose 1}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {5\cdot 64\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.000\,0274$
4 + 1	${\frac {{5 \choose 4}{64 \choose 1}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {5\cdot 64\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.000\,001\,10$
5 + 0	${\frac {{5 \choose 5}{64 \choose 0}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 0}{25 \choose 1}}{26 \choose 1}}={\frac {1\cdot 1\cdot 1\cdot 25}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.000\,000\,0856$
5 + 1	${\frac {{5 \choose 5}{64 \choose 0}}{69 \choose 5}}{\frac {{1 \choose 1}{25 \choose 0}}{26 \choose 1}}={\frac {1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{11{,}238{,}513\cdot 26}}\approx 0.000\,000\,003\,42$

同じボールプールからのボーナスボール

一部の宝くじでは、最初の抽選後に元のボールプールから1個以上のボーナスボールが抽選されます。この場合、各宝くじ券には $P個$ の可能性のうち $T個の$ ボールが記載されていますが、抽選は $W$ $1個の$ ボールと $W$ $2個のボーナスボールで構成され、交換は行われません。最初の抽選で$ $M$ $1個の$ ボールが宝くじ券に当たり、ボーナスボール抽選で $M$ $2個の$ ボールが宝くじ券に当たる確率は、次のように表されます。 $\Pr[M_{1},M_{2}\mid P,T,W_{1},W_{2}]={\frac {{W_{1} \choose M_{1}}{W_{2} \choose M_{2}}{{P-W_{1}-W_{2}} \choose {T-M_{1}-M_{2}}}}{P \choose T}}\,.$

同じプールからのボールとボーナスボールの例

宝くじに $P$ $= 49 個$ の数字のうち $T = 6 個が記載されているが、当選セットが$ $W$ $1$ $= 6 個$ の数字と $W$ $2$ $= 1 個の$ ボーナスボールである場合、確率は次のようになります。

$M 1 + M 2$ マッチ	$T =$ チケット上のボール6個、 $W 1 =$ ボール6個、 $W 2 =$ $P$ $1$ $=49$ 個のボールから抽選されたボーナスボール
0 + 0	${\frac {{6 \choose 0}{1 \choose 0}{42 \choose 6}}{49 \choose 6}}={\frac {1\cdot 1\cdot 5{,}245{,}786}{13{,}983{,}816}}\approx 0.375$
0 + 1	${\frac {{6 \choose 0}{1 \choose 1}{42 \choose 5}}{49 \choose 6}}={\frac {1\cdot 1\cdot 850{,}668}{13{,}983{,}816}}\approx 0.0608$
1 + 0	${\frac {{6 \choose 1}{1 \choose 0}{42 \choose 5}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 1\cdot 850{,}668}{13{,}983{,}816}}\approx 0.365$
1 + 1	${\frac {{6 \choose 1}{1 \choose 1}{42 \choose 4}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 1\cdot 111{,}930}{13{,}983{,}816}}\approx 0.0480$
2 + 0	${\frac {{6 \choose 2}{1 \choose 0}{42 \choose 4}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 1\cdot 111{,}930}{13{,}983{,}816}}\approx 0.120$
2 + 1	${\frac {{6 \choose 2}{1 \choose 1}{42 \choose 3}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 1\cdot 11{,}480}{13{,}983{,}816}}\approx 0.0123$
3 + 0	${\frac {{6 \choose 3}{1 \choose 0}{42 \choose 3}}{49 \choose 6}}={\frac {20\cdot 1\cdot 11{,}480}{13{,}983{,}816}}\approx 0.0164$
3 + 1	${\frac {{6 \choose 3}{1 \choose 1}{42 \choose 2}}{49 \choose 6}}={\frac {20\cdot 1\cdot 861}{13{,}983{,}816}}\approx 0.00123$
4 + 0	${\frac {{6 \choose 4}{1 \choose 0}{42 \choose 2}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 1\cdot 861}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,924$
4 + 1	${\frac {{6 \choose 4}{1 \choose 1}{42 \choose 1}}{49 \choose 6}}={\frac {15\cdot 1\cdot 42}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,0451$
5 + 0	${\frac {{6 \choose 5}{1 \choose 0}{42 \choose 1}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 1\cdot 42}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,0180$
5 + 1	${\frac {{6 \choose 5}{1 \choose 1}{42 \choose 0}}{49 \choose 6}}={\frac {6\cdot 1\cdot 1}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,000\,429$
6 + 0	${\frac {{6 \choose 6}{1 \choose 0}{42 \choose 0}}{49 \choose 6}}={\frac {1\cdot 1\cdot 1}{13{,}983{,}816}}\approx 0.000\,000\,0715$
6 + 1	不可能

ジャックポットを確実に獲得する

ジャックポットを確実に当てる方法はただ一つ。それは、あらゆる数字の組み合わせに対して少なくとも1枚の宝くじを購入することです。例えば、6/49のゲームでジャックポットを確実に当てるには、13,983,816枚の異なる宝くじを購入する必要があります。利益を上げるには、これらの宝くじの取得費用（諸経費を含む）が、ジャックポットとその他の少額賞品を含めた、それらの宝くじの当選金額の合計を超えてはなりません。ジャックポット（またはその他の少額賞品）が複数の当選者で分割される可能性が高い場合は、それらの宝くじの当選金額の合計には、あなたの取り分のみを含めるべきです。

試合のチケットの最小数

少なくとも1枚のチケットが少なくとも2つの数字と一致することを保証するために必要なチケットの最小枚数を計算することは、難しい（そしてしばしば未解決の）問題です。90個中5個当選の宝くじでは、少なくとも2つの数字が一致するチケットを保証するために必要なチケットの最小枚数は100枚です。^[2]

宝くじの番号に関する偶然

宝くじの抽選における偶然の一致は、しばしば私たちの想像力を掻き立て、ニュースの見出しを飾ることがあります。なぜなら、全くの偶然であるはずの結果に、一見するとパターンを浮き彫りにするからです。例えば、異なる抽選で同じ数字が繰り返し出現することは、一見すると全くの偶然とは考えにくいかもしれません。例えば、2009年9月6日、ブルガリアの国営6/49宝くじでは、49の中から4、15、23、24、35、42の6つの数字が抽選されました。そして、その直後の9月10日の抽選でも、同じ6つの数字が再び抽選されました。宝くじの数学は、こうした異常な出来事を分析するために用いることができます。^[1]

参考文献

^ ab M. Pollanen (2024)偶然の研究における二重誕生日のパラドックス、数学 23 (24)、3882。https://doi.org/10.3390/math12243882
^ Z. Füredi , GJ Székely , Z. Zubor (1996). 「宝くじ問題について」. Journal of Combinatorial Designs . 4 (1): 5– 10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[1]

外部リンク

ジェノバ宝くじのオイラー分析 -収束（2010年8月）、アメリカ数学会
宝くじ数学 – INFAROM Publishing
13,983,816と宝くじ – ジェームズ・クルーエット出演のYouTubeビデオ、Numberphile、2012年3月

[Pollanen-1] M. Pollanen (2024)偶然の研究における二重誕生日のパラドックス、数学 23 (24)、3882。https://doi.org/10.3390/math12243882

[2] Z. Füredi , GJ Székely , Z. Zubor (1996). 「宝くじ問題について」. Journal of Combinatorial Designs . 4 (1): 5– 10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[1]