Magnetic analogue of the electric dipole
自然磁気双極子（左上）、 磁気単極子 （右上）、 円形ループ内の電流（左下）、または ソレノイド内の 電流 （右下）による磁場。配置が無限小の場合、いずれも同じ磁場プロファイルを生成します。 [ 1 ] 電磁気学 では 、 磁気双極子は、 磁気モーメントを一定に保ちながら電流源のサイズがゼロに減少したときの 電流 の閉ループ または一対の極のいずれかの限界です 。
これは電気双極子 の磁気的類似体です が、その類似性は完全ではありません。特に、 電荷 の磁気的類似体である真の 磁気単極子は 、自然界で観測されたことがありません。
磁気単極子は存在しないため、静磁場源から遠く離れた場所にある磁場は、同じ双極子モーメントを持つ双極子の磁場のように見えます。双極子モーメントを持たない高次の磁場源（例えば 四極子 ）の場合、その磁場は距離とともに双極子磁場よりも速くゼロに近づきます。
磁気双極子モーメントによって生成される外部磁場 磁気モーメントの静電的類似物。有限の距離で隔てられた2つの反対電荷。各矢印は、その点における場のベクトルの方向を表します。 電流ループの磁場。リングは電流ループを表し、ページのxから入り、点から出てきます。 古典物理学 では 、双極子の磁場は、 磁気モーメント mを 一定に保ちながら電流源が点に収縮していく際の電流ループまたは電荷対の極限として計算されます。電流ループの場合、この極限はベクトルポテンシャル から最も簡単に導出できます 。 [2]
A ( r ) = μ 0 4 π r 2 m × r r = μ 0 4 π m × r r 3 , {\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},} ここで、 μ 0 は真空の透磁率定数、4πr 2 は 半径 r の 球 の 表面積 である 。磁束密度（B場の強さ）は [2]
B ( r ) = ∇ × A = μ 0 4 π [ 3 r ( m ⋅ r ) r 5 − m r 3 ] . {\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].} あるいは、磁極限界から スカラーポテンシャル をまず得ることもできる。
ψ ( r ) = m ⋅ r 4 π r 3 , {\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},} したがって磁場の強さ（またはH場の強さ）は
H ( r ) = − ∇ ψ = 1 4 π [ 3 r ^ ( m ⋅ r ^ ) − m r 3 ] = B ( r ) μ 0 . {\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} ({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}.} 磁場の強さは磁気モーメントの軸を回転軸として対称である。球座標系では、 磁気モーメントがz軸と一直線上にあるとき、磁場の強さはより簡潔に次のように表される。 z ^ = r ^ cos θ − θ ^ sin θ {\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }
H ( r ) = | m | 4 π r 3 ( 2 cos θ r ^ + sin θ θ ^ ) . {\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}
双極子の内部磁場 双極子の2つのモデル（電流ループと磁極）は、発生源から遠く離れた場所の磁場については同じ予測値を示します。しかし、発生源領域内では異なる予測値を示します。極間の磁場は磁気モーメント（負電荷から正電荷へ向かう）と反対方向ですが、電流ループ内では磁気モーメントと同じ方向です（右図（モバイルユーザー向け）を参照）。明らかに、発生源がゼロサイズに縮小するため、これらの磁場の限界も異なるはずです。この違いは、磁性体内部の磁場を計算するために双極子限界を使用する場合にのみ重要です。
電流ループを小さくしていき、電流と面積の積を一定に保ちながら磁気双極子を形成する場合、限界磁場は
B ( r ) = μ 0 4 π [ 3 r ^ ( r ^ ⋅ m ) − m | r | 3 + 8 π 3 m δ ( r ) ] , {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],} ここで δ ( r )は3次元における ディラックのデルタ関数 です 。前のセクションの式とは異なり、この極限は双極子の内部場に対して正しいものです。
「N極」と「S極」を近づけて磁気双極子を形成し、磁極電荷と距離の積を一定に保つと、限界磁場は
H ( r ) = 1 4 π [ 3 r ^ ( r ^ ⋅ m ) − m | r | 3 − 4 π 3 m δ ( r ) ] . {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].} これらの場はB = μ 0 ( H + M ) の関係にあり 、
M ( r ) = m δ ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )} 磁化 です 。
2つの磁気双極子間の力 一つの双極子モーメント m 1 がベクトル r によって空間的に離れた別の m 2 に及ぼす力 F は、次のように計算できる。 [3]
F = ∇ ( m 2 ⋅ B 1 ) , {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),} または [4] [5]
F ( r , m 1 , m 2 ) = 3 μ 0 4 π r 5 [ ( m 1 ⋅ r ) m 2 + ( m 2 ⋅ r ) m 1 + ( m 1 ⋅ m 2 ) r − 5 ( m 1 ⋅ r ) ( m 2 ⋅ r ) r 2 r ] , {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],} ここで、 rは双極子間の距離です。m 1 に 作用する力は 反対 方向です。
トルクは次の式から得られる。
τ = m 2 × B 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}
有限源からの双極子場 有限の磁気源によって生成されるが、その外部にある磁気スカラーポテンシャル ψ は、多重極展開 で表すことができます 。 展開 の 各項 は、特性 モーメント と、磁気源からの距離 r とともに減少する特性率を持つポテンシャルに関連付けられています。単極子モーメントの減少率は 1/ r 、双極子モーメントの減少率は 1/ r 2 、四極子モーメントの減少率は 1/ r 3 といった具合です。次数が高くなるほど、ポテンシャルは急速に低下します。磁気源で観測される最も低次の項は双極子項であるため、遠距離ではこれが支配的になります。したがって、遠距離では、どの磁気源も同じ 磁気モーメント を持つ双極子のように見えます。
注記 ^ IS Grant, WR Phillips (2008). 電磁気学 （第2版）. Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9 。 ^ ab Chow 2006、146–150ページ ^ DJグリフィス（2007年） 『電気力学入門 （第3版）』ピアソン・エデュケーション、276ページ 。ISBN 978-81-7758-293-2 。 ^ フルラニ 2001、140ページ ^ Yung, KW; Landecker, PB; Villani, DD (1998). 「二つの磁気双極子間の力の解析解」 (PDF) . 磁気分離と電気分離 . 9 (1): 39– 52. doi : 10.1155/1998/79537 . 2012年 11月24日 閲覧 .
参考文献 
![{\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0991963d60a114ec41900b0eec04c944d03bb603)
![{\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} ({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cc7a90366997bbda1f60039b0cbe2a34caf520)
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe67ea7be3f7de2cc2f007ff3193b08520455b4d)
![{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b635de5e52b7fd68571a72866d50392b0b7213)
![{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d505434bbe3f60c36a43d3769e7d612c6fb1f27a)
