指数関数の特徴

Mathematical concept

数学において、指数関数は様々な方法で特徴づけられます。この記事では、いくつかの一般的な特徴づけを示し、それぞれの意味を論じ、それらが全て等価であることを証明します。

指数関数は数学の多くの分野で自然に現れます。ウォルター・ルーディンはこれを「数学で最も重要な関数」と呼びました。^[1]そのため、指数関数を定義（または特徴付ける）には複数の方法があることが有用です。以下の各特徴付けは、文脈に応じて有用性が異なる可能性があります。指数関数の「積極限」の特徴付けは、レオンハルト・オイラーによって発見されました。^[2]

特徴づけ

実数値の指数関数の最も一般的な 6 つの定義は次のとおりです。 ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. 製品の限界。限界によって定義します。 ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$
2. べき級数。無限級数の値としてe ^xを定義します（ここでn !はnの階乗を表します。eが無理数であることの証明の一つは、この式の特別な場合を用います）。 $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$
3. 対数積分の逆関数。を y > 0となる唯一の数として定義します。つまり、 はこの積分によって定義される自然対数関数の逆関数です。 ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x=\ln(y)}$
4. 微分方程式。 を初期値を持つ微分方程式の唯一の解として定義します。ここで はyの導関数を表します。 ${\displaystyle y(x)=e^{x}}$ $${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}$$ ${\displaystyle y'={\tfrac {dy}{dx}}}$
5. 関数方程式。指数関数は、すべてのおよびに対して乗法性を持つ唯一の関数fです。条件は、以下のいずれかの正則性条件と組み合わせて に置き換えることができます。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(1)=e}$
   • f はルベーグ測定可能である（Hewitt and Stromberg, 1965、演習 18.46）。
   • f はどの点でも連続 である
   • f は任意の間隔で増加します。
   一意性のためには、何らかの正則性条件を課す必要があります。これは、ヒューイットとストロンバーグによって説明されているように、有理数上の実数の基底を使用して、 を満たす他の関数を構築できるためです。 ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$
6. べき乗による基本定義。を底とする指数関数を、整数に対する値が の繰り返し乗算または除算で与えられ、有理数に対する値が で与えられる連続関数と定義します。次に、を、以下を満たす唯一の正の実数を底とする指数関数と定義します。 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a^{x}}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=n/m}$ ${\displaystyle a^{n/m}=\ \ {\sqrt[{m}]{{\vphantom {A^{2}}}a^{n}}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$$

より大きなドメイン

複素数上の指数関数を定義する 1 つの方法は、まず上記のいずれかの特性を使用して実数の領域に対して指数関数を定義し、次にそれを任意の無限領域セット上の値によって特性評価される 解析関数として拡張することです。

また、複素数に対する特徴付け (1)、(2)、(4) は、複素数に直接適用されます。定義 (3) は、積分できる非等価な経路が存在するため、問題が生じます。しかし、(3) の式は、 を法とする任意のそのような経路に対して成り立つはずです。定義 (5) に関しては、複素導関数と加法性を組み合わせれば、 を保証するのに十分です。しかし、初期値条件とその他の正則性条件の組み合わせだけでは十分ではありません。たとえば、実数xとyに対して、関数 は(5) に挙げた 3 つの正則性条件を満たしますが、 には等しくありません。十分な条件は、であり、 がある点で等角写像である場合、または 2 つの初期値と がその他の正則性条件と組み合わせることです。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ $${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$$ ${\displaystyle \exp(x+iy)}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\textstyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)}$

指数関数は行列や他のバナッハ代数などの他の領域でも定義できる。定義(1)、(2)、(4)はすべて任意のバナッハ代数に対して意味を成す。

それぞれの特徴づけが意味を成すという証明

これらの定義の中には、それが明確に定義されていることを示すための根拠を必要とするものがあります。例えば、関数の値が極限過程（つまり無限列または級数）の結果として定義される場合、そのような極限が常に存在することを証明する必要があります。

キャラクター設定1

積極限表現の誤差は次のように記述されます。ここで、分母がn ^kである項の多項式の次数 ( x )は 2 kです。 $${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$$

キャラクター設定2

比テストから 、すべてのxに対して収束することが分かります。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

キャラクター設定3

被積分関数はtの積分可能な関数であるため、積分式は明確に定義されます。 からへの関数はによって定義され 、一対一であることが示されなければなりません。tが正の場合、 1/ tは正であるため、この関数は厳密に増加し、したがって単射です。2つの積分が成立する場合、これは射影的でもあります。実際、これらの積分は成立します。これらは、積分テストと調和級数の発散から導かれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$$

キャラクター設定6

定義は、次を満たす唯一の正の実数に依存します。この極限は任意の に対して存在することが示され、および を伴う連続増加関数を定義するため、中間値定理により、このような値 の存在が保証されます。 ${\displaystyle a=e}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=1.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)=\ln(a)}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }f(a)=\infty }$ ${\displaystyle a=e}$

特徴づけの同等性

以下の議論は、上記の特性が指数関数に対して同等であることを示しています。

キャラクター設定1 ⇔ キャラクター設定2

以下の議論は、Rudinの定理3.31、p.63-65から引用したものです。

を固定の非負実数とする。定義 ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\qquad s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad e^{x}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}$$

二項定理により、 ( x  ≥ 0 を使用して最終的な不等式を取得すると)次の式が得られます。t _{n が}収束するかどうかは不明であるため、lim sup を使用する必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$$

他の不等式については、上記のt _nの式により、 2 ≤  m ≤ nの場合、次のようになります。 $${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$$

m を固定し、n を無限大に近づけます。すると（ここでも、t _{n が}収束するかどうかは不明なので、 lim inf を使用する必要があります）。さて、上記の不等式をm を無限大に近づけ、他の不等式と組み合わせると、次の式が得られます。 $${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }\ t_{n}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$$

この等価性は、n が無限大に近づくにつれて極限に達することに注意して取ることによって、負の実数に拡張できます。 ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$

キャラクター設定1 ⇔ キャラクター設定3

ここで、自然対数関数は上記のように定積分によって定義される。微積分学の基本定理の第一部により、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$$

その上、 ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$

ここで、xを任意の固定実数とし、 $${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Ln( y ) = x であり、これはy = e ^x （ e ^xは定義3の意味で）を意味する。 $${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

ここでは、1/ tの連続性から導かれるln( y )の連続性が用いられている。 $${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$$

ここでは、ln a ⁿ = n ln aという結果が用いられています。この結果は、自然数n aに対しては帰納法、あるいは置換積分によって証明できます。（実数冪乗への拡張は、lnとexp が互いの逆数として確立され、実数bに対してa ^bがe ^{b ln a}として定義されるまで待たなければなりません。） $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$$ $${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$$ $${\displaystyle \!\,=x.}$$

キャラクター設定1 ⇔ キャラクター設定4

初期値問題の解をとします。増分点とサンプル点を用いたオイラー法の最も単純な形を適用すると、次の再帰式が得られます。 ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'=y,\ y(0)=1}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {x}{n}}}$ ${\displaystyle t\ =\ 0,\ \Delta t,\ 2\Delta t,\ldots ,\ n\Delta t}$

${\displaystyle y(t+\Delta t)\ \approx \ y(t)+y'(t)\Delta t\ =\ y(t)+y(t)\Delta t\ =\ y(t)\,(1+\Delta t).}$

この再帰は直ちに解かれて近似値 を与え、オイラー法は正確な解に収束することが知られているため、次の式が得られます。 ${\displaystyle y(x)=y(n\Delta t)\approx (1+\Delta t)^{n}}$

${\displaystyle y(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

キャラクター設定2 ⇔ キャラクター設定4

nを非負整数とする。定義4の意味と帰納法により、. ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$

したがって ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

テイラー級数を使用すると、定義 4 は定義 2 を意味することがわかります。 $${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

定義2の意味では、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$$

さらに、これは定義 2 が定義 4 を意味することを示しています。 ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$

キャラクター設定2 ⇒ キャラクター設定5

定義2の意味において、この式は一様収束を正当化するべき級数の項ごとの操作から導かれ、その結果得られる係数の等式はまさに二項定理である。さらに、^[3] ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp '(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\ =\ 1.\\\end{aligned}}}$$

キャラクター設定3 ⇔ キャラクター設定4

特徴づけ3では、まず自然対数を定義します。次に、逆関数として を定義します。次に、連鎖律によって を定義します。 $${\displaystyle \log x\ \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{1}^{x}\!{\frac {dt}{t}},}$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\textstyle x=\log(\exp x)}$

${\displaystyle 1={\frac {d}{dx}}[\log(\exp(x))]=\log '(\exp(x))\cdot \exp '(x)={\frac {\exp '(x)}{\exp(x)}},}$

すなわち。最終的になので。つまり は、特徴付け4の初期値問題 の唯一の解である。逆 に、がおよび であると仮定し、 をその逆関数として および で定義する。すると、次のようになる。 ${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle \log(1)=0}$ ${\displaystyle \exp '(0)=\exp(0)=1}$ ${\displaystyle y=\exp(x)}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y}$ ${\displaystyle y(0)=1}$ ${\displaystyle y=\exp(x)}$ ${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle \exp(0)=1}$ ${\displaystyle \log(x)}$ ${\displaystyle x=\exp(\log x)}$ ${\displaystyle \log(1)=0}$

${\displaystyle 1={\frac {d}{dx}}[\exp(\log(x))]=\exp '(\log(x))\cdot \log '(x)=\exp(\log(x))\cdot \log '(x)=x\cdot \log '(x),}$

すなわち、微積分学の基本定理により、 ${\displaystyle \log '(x)={\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\log(x)-\log(1)=\log(x).}$$

キャラクター設定5 ⇒ キャラクター設定4

条件f' (0) = 1およびf ( x + y ) = f ( x ) f ( y )は、特性4の両方の条件を意味します。 実際、方程式の両辺をf (0)で割ると初期条件f (0) = 1が得られ、条件f′ ( x ) = f ( x )は条件f′ (0) = 1と次の導関数の定義から得られます。 $${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}}$$

キャラクター設定5 ⇒ キャラクター設定4

特性5を仮定すると、乗法特性と初期条件は次のことを意味します。 ${\displaystyle \exp '(0)=1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {d}{dx}}\exp(x)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\exp(x{+}h)-\exp(x)}{h}}\\&=&\exp(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\exp(h)-1}{h}}\\&=&\exp(x)\exp '(0)=\exp(x).\end{array}}}$$

キャラクター設定5 ⇔ キャラクター設定6

乗法規則を帰納的に適用すると、次式が得られます 。したがって、に対してとなります。すると、条件 はを意味するので、定義により となります。 $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)^{m}=f\left({\frac {n}{m}}+\cdots +{\frac {n}{m}}\right)=f(n)=f(1)^{n},}$$ $${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)={\sqrt[{m}]{f(1)^{n}}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ a^{n/m}}$$ ${\displaystyle a=f(1)}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\tfrac {a^{h}-1}{h}}=1}$ ${\displaystyle a=e}$

また、定義5の正則性条件のいずれかは、実数において連続であることを意味する（下記参照）。逆も同様である。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

キャラクター設定5 ⇒ キャラクター設定6

を、 の乗法性を満たすルベーグ積分可能な非零関数とする。HewittとStrombergの演習18.46に従い、ルベーグ積分可能であることは連続性を意味することを証明する。これは、上記のように議論すれば、特徴づけ6に従って が成り立つことを示唆するのに十分である。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ ${\displaystyle f(1)=e}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

まず、いくつかの基本的な特性:

1. がどこでも非ゼロであれば（ とすれば）、 はどこでも非ゼロです。証明：が成り立ちます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$
2. ${\displaystyle f(0)=1}$証明:はゼロではありません。 ${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$ ${\displaystyle f(x)}$
3. ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$。 証拠：。 ${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$
4. がどこでも連続であれば（ とすれば）、 はどこでも連続です。証明:における連続性により、 と同じです。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0}$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle y}$

2 番目と 3 番目の特性は、xが正であることを 証明すれば十分であることを意味します。 ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

はルベーグ積分関数なので、 を定義することができる。すると、 ${\displaystyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$ $${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(t)\,dt=\int _{0}^{y}f(x+t)\,dt=f(x)g(y).}$$

は非ゼロなので、上記の式において、 yを 0 として解くことができる。したがって、 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(y)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$$

とは連続なので、最後の式は必ずゼロになります。したがって、は連続です。 ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

参考文献

1. ウォルター・ルーディン(1987). 実解析と複素解析（第3版）. ニューヨーク:マグロウヒル. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1。
2. イーライ・マオール. e: 数字の物語. p. 156.
3. “Herman Yeung - 微積分学 - 第一原理 find d/Dx(e^x)基本原理求 d/Dx(e^x)”.ユーチューブ。

• Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis、第3版（McGraw-Hill、1976年）、第8章。
• エドウィン・ヒューイットとカール・ストロンバーグ、「実解析と抽象解析」（シュプリンガー、1965 年）。

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