質量フラックス

Vector quantity describing mass flow rate through a given area

物理学および工学において、質量流束とは単位面積あたりの質量流量のことです。SI単位系はkg⋅s ⁻¹ ⋅m ⁻²です。一般的な記号はj、J、q、Q、φ、またはΦ（ギリシャ文字の小文字または大文字のファイ）で、質量が流量であることを示すために 添え字mが付くこともあります。

このフラックス量は、単に「質量流量」とも呼ばれます。^{[1] 「質量フラックス」は、}分子量を含むフィックの法則、または質量密度を含むダルシーの法則におけるフラックスの別の形式を指すこともあります。^{[2]あまり一般的ではありませんが、この記事における質量フラックスの定義式は}、質量流量の定義式と互換的に使用されます。^[a]

意味

質量流束は、質量電流（単位時間tあたりの質量mの流れ）の限界として定義され、Aは質量が流れる面積です。 $${\displaystyle j_{\text{m}}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{\text{m}}}{A}},}$$ $${\displaystyle I_{\text{m}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}$$

質量流束をベクトルj _mとした場合、それを表面Sにわたって面積分し、さらに時間t ₁からt _{2にわたって積分すると、その時間 (} t ₂ − t ₁ )に表面を流れる質量の総量が得られます。 $${\displaystyle \Delta m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{\text{m}}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

フラックスを計算するために必要な領域は、実数または虚数、平面または曲面、断面積または表面のいずれかになります。

例えば、フィルターや膜を通過する物質の場合、実表面積は、フィルターの（一般的には曲面状の）表面積であり、マクロ的には、フィルター／膜の孔によって張られる面積は無視されます。これらの空間は断面積となります。パイプを通過する液体の場合、面積は、対象とする断面におけるパイプの断面積です。

ベクトル面積は、質量が通過する面積の大きさAと、その面積に垂直な単位ベクトルの組み合わせです。関係は です。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

質量流束j _{m が}面法線に対して角度θで面を通過する場合、 ·は単位ベクトルの内積です。つまり、面を通過する（つまり面法線に垂直な）質量流束の成分はj _m cos θです。面の接線方向を通過する質量流束の成分はj _m sin θで与えられますが、実際には接線方向に面を通過する質量流束はありません。面の法線方向を通過する質量流束の成分は、コサイン成分のみです。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{m}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{\text{m}}\cos \theta }$$

例

流水のパイプを考えてみましょう。パイプの断面積は一定で、直線部分（曲がりや接合部なし）を仮定し、標準条件下では水が一定速度で流れているとします。面積Aはパイプの断面積です。パイプの半径r = 2 cm = 2 × 10 ⁻² mとします。面積は $${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$$

質量流束j _m（大きさ）を計算するには、その領域を通過する水の質量と、通過に要した時間も必要です。体積V = 1.5 L = 1.5 × 10 ⁻³ m ^3が時間t = 2 sで通過すると仮定します。水の密度をρ = 1000 kg⋅m ⁻³と仮定すると、次の式が得られます。 （領域を通過する最初の体積は0で、最終的な体積はVなので、対応する質量はmです。）したがって、質量流束は $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle j_{\text{m}}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.}$$

値を代入すると次のようになります。 $${\displaystyle j_{\text{m}}={\frac {(\mathrm {1000\ kg{\cdot }m^{-3}} )\times (\mathrm {1.5\times 10^{-3}\ m^{3}} )}{\pi \times (\mathrm {2\times 10^{-2}\ m} )^{2}\times (\mathrm {2\ s} )}}\approx \mathrm {596.8\ kg{\cdot }s^{-1}{\cdot }m^{-2}} .}$$

流体の方程式

代替方程式

ベクトル定義を用いると、質量流束は次の式に等しくなります: ^[4]ここで: $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }$$

• ρ = 質量密度、
• u =流れる質量要素の速度場（つまり、空間内の各点における物質要素の速度は速度ベクトルuです）。

この式はj _{m を}ベクトルとして定義するために使用されることもあります。

複合流体の質量流束とモル流束

質量フラックス

流体が純粋でない場合、つまり物質の混合物（技術的には複数の成分物質を含む）である場合、質量流束は混合物の各成分ごとに個別に考慮する必要があります。

流体の流れ（すなわち物質の流れ）を記述する場合、質量流束が適切です。粒子輸送（多数の粒子の移動）を記述する場合、モル流束と呼ばれる類似の量を用いると便利です。

質量を用いると、成分iの質量流束は $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.}$$

成分iの重心質量流束は、混合物中の全成分の平均質量速度であり、次の ように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$$

• ρ = 混合物全体の質量密度、
• ρ _i = 成分iの質量密度、
• u _i = 成分iの速度。

コンポーネントの速度の平均が取られます。

モルフラックス

密度ρ を「モル密度」、濃度 cに置き換えると、モルフラックスの類似物が得られます。

モルフラックスは単位時間当たりの単位面積あたりのモル数であり、一般的には次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .}$$

したがって、成分iのモル流束は(単位時間あたり単位面積あたりのモル数) であり、成分i の重心モル流束は(この時間は混合物中のすべての成分の平均モル速度で あり、次のように表されます)です 。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$$

使用法

質量流束は流体力学のいくつかの方程式、特に流体の質量保存則を記述する連続の方程式に現れます。 流体力学では、質量はある場所から別の場所へのみ流れます。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}$$

モル流束はフィックの拡散の第一法則で発生します。ここで、Dは拡散係数です。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n}$$

参照

• 質量流束分率
• フラックス
• フィックの法則
• ダーシーの法則
• エアリー波動理論 § 波の質量流束と波の運動量
• 定義式（物理化学）
• 運動量密度

注記

1. 例えば、流体力学、Schaumら ^[3]は質量流量の記事で質量流束の定義を式として使用しています。

参考文献

1. 「ISO 80000-4:2019 数量及び単位 – パート4：力学」. ISO . 2024年10月2日閲覧。
2. 「シソーラス: 質量フラックス」 。 2008年12月24日閲覧。^{[永久リンク切れ]}
3. 流体力学、M.ポッター、DCウィガート、シュアムのアウトライン、マグロウヒル（米国）、2008年、 ISBN 978-0-07-148781-8
4. R. Aris (1989)、ベクトル、テンソル、流体力学の基本方程式、Dover Publications、ISBN 0-486-66110-5

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