質量-バネ-ダンパーモデル

質量-バネ-ダンパーモデルは、オブジェクト全体に分散され、バネとダンパーのネットワークを介して相互接続された個別の質量ノードで構成されます。

この形式のモデルは、非線形性や粘弾性などの複雑な材料挙動を持つオブジェクトのモデリングにも適しています。

これらのシステムは、エンジニアリングシミュレーションだけでなく、コンピュータグラフィックスやコンピュータアニメーションにも応用されています。^[1]

導出

このモデルの運動方程式の導出は、通常、質量にかかる力（加えられた外力を含む）を合計することによって行われます。 $F_{\text{external}})$

\Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{external}}=m{\ddot {x}}

この式を変形すると、標準形が得られます。

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=u

どこ

\omega_{n}={\sqrt{\frac{k}{m}}};\quad \zeta ={\frac{c}{2m\omega_{n}}};\quad u={\frac{F_{\text{external}}}{m}}

$\omega _{n}$ は減衰のない固有振動数、は減衰比です。質量ばね系の同次方程式は次のようになります。 $\zeta$

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0

解決策は次のとおりです:

x=Ae^{-\omega _{n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _{n}t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}

が負の場合、平方根は虚数となり、解は振動成分を持つことになります。^[2] $\zeta <1$ $\zeta^{2}-1$

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