物質派生物

Time rate of change of some physical quantity of a material element in a velocity field

連続体力学において、物質微分^{[1] [2]は}、空間と時間に依存する巨視的速度場を受ける物質要素の、ある物理量（熱や運動量など）の時間変化率を記述する。物質微分は、連続体変形のオイラー的記述とラグランジュ的記述を結びつける役割を果たすことができる。^[3]

例えば、流体力学では、速度場は流速であり、関心のある量は流体の温度である可能性があります。この場合、物質微分は、ある流体塊が経路（軌跡）に沿って流れる際の、時間に伴う温度変化を記述します。

その他の名前

物質派生物には、次のような他の名称も多数あります。

• 移流微分^[4]
• 対流微分^[5]
• 運動に続く導関数^[1]
• 流体力学的微分^[1]
• ラグランジアン微分^[6]
• 粒子微分^[7]
• 実質的派生商品^[1]
• 名詞派生語^[8]
• ストークス微分^[8]
• 全微分[ ^{1] [9]}物質微分は実際には全微分^{[9]の特別な場合であるが、}

意味

物質微分は、マクロなテンソル場 に対して定義され、位置と時間座標のみに依存するという意味で、次のように表されます。ここで、 はテンソルの共変微分、 は流速です。一般に、場 の共変微分を含む場 の対流微分は、場 の流線テンソル微分を含むものと、場 の流線方向微分を含むもののどちらでも解釈でき、どちらの場合も同じ結果になります。^[10] 流速を含むこの空間項のみが流れの中での場の輸送を記述し、もう一方の項は流れの有無に関わらず場の固有の変化を記述します。紛らわしいことに、「対流微分」という名称が空間項 のみではなく、物質微分全体に対して使用されることがあります。^[2]定義における時間に依存しない項の効果は、スカラーおよびテンソルの場合にそれぞれ移流および対流として知られています。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=y(x,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$$ ${\displaystyle \nabla y}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\ y}$ ${\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla }$

スカラー場とベクトル場

たとえば、マクロなスカラー場 とマクロなベクトル場の場合、定義は次のようになります。 ${\displaystyle \phi (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

スカラーの場合、 は単にスカラーの勾配であり、 はマクロベクトルの共変微分です（これはの関数としてののヤコビ行列と考えることもできます）。特に、3次元直交座標系のスカラー場の場合、速度の成分は であり、対流項は次のように表されます。 ${\displaystyle \nabla \phi }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$$

発達

スカラー量φ ( x , t )を考える。ここでtは時間、xは位置である。ここでφは温度や化学濃度などの物理変数である。スカラー量φを持つこの物理量は連続体として存在し、その巨視的速度はベクトル場u ( x , t )で表される。

φの時間に関する（全）微分は多変数連鎖律を用いて展開される。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} (t),t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

この微分は、空間における選択された経路x ( t )を記述するベクトルに依存することは明らかです。例えば、 を選択した場合、時間微分は偏時間微分と等しくなります。これは偏微分の定義と一致します。偏微分とは、ある変数（この場合は時間）に関して、他の変数（この場合は空間）を一定に保ちながら微分をとることです。これは、 の場合、微分はある一定の位置でとられるため、理にかなっています。この静的位置微分はオイラー微分と呼ばれます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$

このケースの一例として、早朝の湖でじっと立っている水泳者が温度変化を感じる場面が挙げられます。水は太陽熱によって徐々に温まっていきます。この場合、この用語は温度変化の速度を表すのに十分です。 ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$

太陽が水を温めていない場合 (つまり)、経路x ( t )が停止していない場合、経路によってφの時間微分が変化することがあります。たとえば、水泳者が屋内で太陽の影響を受けない、静止した水のプールにいるとします。一方の端はたまたま一定の高温になっており、もう一方の端は一定の低温になっています。一方の端からもう一方の端まで泳ぐことで、水泳者は、与えられた (静的な) 点の温度が一定であっても、時間の経過に伴う温度変化を感じます。これは、微分が水泳者の変化する場所で取られ、右側の第 2 項で温度変化率を表すのに十分だからです。水泳者に取り付けられた温度センサーは、プールの一方の端からもう一方の端までの温度変化によって、時間と共に変化する温度を示します。 ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$

最終的に、経路x ( t )が流体速度に等しい速度を持つように選択された ときに、物質微分が得られる。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

つまり、経路は流体の速度場uによって記述される流体の流れに沿っている。したがって、スカラーφの物質微分は $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

このケースの一例として、軽くて浮力のない粒子が川の流れに沿って流され、その過程で温度変化を経験することが挙げられます。川の一部が日当たりが良く、他の部分が日陰になっているために水温が局所的に上昇する場合もありますが、日が経つにつれて水全体が温まる場合もあります。粒子の運動（それ自体が流体の運動によって引き起こされる）による変化は、移流（またはベクトルが輸送される場合は対流）と呼ばれます。

上記の定義は流体の流れの物理的性質に基づいていますが、物理法則は援用されていません（例えば、川の中の軽量粒子は水流の速度に従うと仮定しています）。しかし、多くの物理的概念は物質微分を用いて簡潔に記述できることが分かっています。しかし、移流の一般的なケースは流体の流れの質量保存則に基づいています。移流が非保存媒体で起こる場合、状況は若干異なります。

上記のスカラーについては経路のみを考慮しました。ベクトルの場合、勾配はテンソル微分となります。テンソル場の場合、流体の動きによる座標系の並進だけでなく、回転や伸縮も考慮する必要があるかもしれません。これは、上側の対流時間微分によって実現されます。

直交座標

直交座標において、ベクトル場の物質微分の対流項のj^{番目の成分は[11]}で与えられることが示される。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

ここで、h _iは計量テンソルと次の関係にある。 ${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$

3次元直交座標系（x、y、z）の特殊なケースで、A が1テンソル（3つの成分を持つベクトル）である場合、これは次のようになります。 $${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

ここではヤコビ行列です。 ${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$

の場合にもベクトル・ドット・デル恒等式が存在し、ベクトル場に対する物質微分は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }.}$

参照

• ナビエ・ストークス方程式
• オイラー方程式（流体力学）
• 導関数（一般化）
• 流れ場のラグランジュおよびオイラー指定
• リー微分
• レヴィ＝チヴィタ接続
• 空間加速
• 空間勾配

参考文献

1. Bird, RB; Stewart, WE; Lightfoot, EN (2007).輸送現象（改訂第2版）. John Wiley & Sons. p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8。
2. Batchelor, GK (1967).流体力学入門. ケンブリッジ大学出版局. pp.  72– 73. ISBN 0-521-66396-2。
3. Trenberth, KE (1993). Climate System Modeling . Cambridge University Press. p. 99. ISBN 0-521-43231-6。
4. Majda, A. (2003).大気と海洋における偏微分方程式と波動入門. クーラント数学講義ノート. 第9巻. アメリカ数学会. p. 1. ISBN 0-8218-2954-8。
5. オッケンドン, H. ;オッケンドン, JR (2004).波と圧縮性流れ. シュプリンガー. p. 6. ISBN 0-387-40399-X。
6. メラー、GL (1996).物理海洋学入門. シュプリンガー. p. 19. ISBN 1-56396-210-1。
7. ストーカー, JJ (1992). 『水の波：応用を伴う数学理論』 ワイリー. p. 5. ISBN 0-471-57034-6。
8. Granger, RA (1995).流体力学. クーリエ・ドーバー出版. p. 30. ISBN 0-486-68356-7。
9. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987).流体力学. 理論物理学講座. 第6巻（第2版）. Butterworth-Heinemann. pp. 3–4 & 227. ISBN 0-7506-2767-0。
10. エマニュエル、G. (2001).解析流体力学（第2版）. CRC Press. pp.  6– 7. ISBN 0-8493-9114-8。
11. Eric W. Weisstein . 「対流演算子」. MathWorld . 2008年7月22日閲覧。

さらに読む

• コーエン、アイラ・M.; クンドゥ、ピジュシュ・K. (2008).流体力学（第4版）.アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-373735-9。
• ライ, マイケル; クレンプル, エアハルト; ルーベン, デイヴィッド (2010). 『連続体力学入門』（第4版）. エルゼビア. ISBN 978-0-7506-8560-3。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Material_derivative&oldid=1320386156"