数値解析法

数値解析において、数値法とは数値問題を解くために設計された数学的なツールです。適切な収束チェックを備えた数値法をプログラミング言語で実装したものを数値アルゴリズムと呼びます。

数学的な定義

を適切問題とする。すなわち、入力データセットと出力データセットの直積上に定義された実数または複素関数関係であり、リゾルベントと呼ばれる局所リプシッツ関数が存在する。リゾルベントは、の任意の根に対してという性質を持つ。を近似するための数値法を定義する。一連の問題 $F(x,y)=0$ $F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ $X$ $Y$ $g:X\rightarrow Y$ $(x,y)$ $F$ $y=g(x)$ $F(x,y)=0$

\left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },

であり、任意のに対して成り立つ。この方法を構成する問題は必ずしも適切である必要はない。適切である場合、この方法は安定である、あるいは適切であると言われる。^[1] $F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $x_{n}\in X_{n}$ $y_{n}\in Y_{n}$ $n\in \mathbb {N}$

一貫性

数値法が効果的にを近似するために必要な条件は、のときがのように振舞うことである。したがって、関数列がその解の集合上でに点ごとに収束する場合に限り、数値法は整合的であると言われる。 $F(x,y)=0$ $x_{n}\rightarrow x$ $F_{n}$ $F$ $n\rightarrow \infty$ $\left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ $F$ $S$

\lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.

この方法は厳密に一貫していると言われる。^[1] $F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N}$ $S$

収束

何らかの数値計算法（すなわち）におけるの許容摂動の列ととなる値を持つをで表す。この数値計算法が問題を解くための有意義なツールとなるために満たすべき条件は収束である。 $\ell _{n}$ $x\in X$ $M$ $x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N}$ $y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}$ $F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0$ $F(x,y)=0$

{\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}

の点収束は関連する方法の収束を意味することは簡単に証明できる。[ ^1] $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $y$

参照

参考文献

^ abc Quarteroni, Sacco, Saleri (2000). Numerical Mathematics (PDF) . Milano: Springer. p. 33. 2017年11月14日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2016年9月27日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[quartsaccsal-1] Quarteroni, Sacco, Saleri (2000). Numerical Mathematics (PDF) . Milano: Springer. p. 33. 2017年11月14日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2016年9月27日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)