行列の解析関数

Function that maps matrices to matrices

数学では、あらゆる解析関数は、複素数要素を持つ正方行列を同じサイズの正方行列にマッピングする行列関数を定義するために使用できます。

これは、線形微分方程式系の閉じた形式の解に関係する行列の指数を定義するために使用されます。

スカラー関数を行列関数に拡張する

興味深い性質を維持しながら実関数を正方行列関数に変換する手法はいくつかあります。以下の手法はすべて同じ行列関数を生成しますが、関数が定義される定義域は異なる場合があります。

べき級数

解析関数 f がテイラー展開を持つ場合、 x を正方行列で置き換えることで行列関数を定義できます。行列のべき乗は行列のべき乗に、加算は行列の和に、係数による乗算はスカラー乗算になります。級数が について収束する場合、対応する行列級数はを満たす行列ノルムに対してとなるような行列Aについて収束します。 $${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle A\mapsto f(A)}$ ${\displaystyle |x|<r}$ ${\displaystyle \|A\|<r}$ ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

対角化可能な行列

正方行列Aが対角化可能であるとは、逆行列 Pが存在し、その逆行列Pが対角行列である、つまりDが次の形状を持つときである。 ${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

設定するのは自然なことです ${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$ $${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

行列f ( A )はPの特定の選択に依存しないことが検証できます。

例えば、 ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

一つは $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

この式を適用すると、 $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

同じく、 $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

ジョーダン分解

対角化可能かどうかに関わらず、すべての複素行列はジョルダン正規形 を持ちます。ここで、行列Jはジョルダンブロックから構成されます。これらのブロックを個別に考え、ジョルダンブロックに冪級数を適用します。 ${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$ $${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

この定義は、スペクトル半径が冪級数の収束半径よりも小さい行列の集合を超えて、行列関数の定義域を拡張するために用いることができる。また、差分商との関連もあることに注意されたい。

関連する概念は、行列を対角化可能部分とべき零部分の合計として表現するジョルダン・シュヴァレー分解です。

エルミート行列

エルミート行列はすべての実固有値を持ち、スペクトル定理によれば、常にユニタリ行列Pによって対角化できる。この場合、ジョルダン定義は自然である。さらに、この定義により、実関数に対する標準的な不等式を拡張することができる。

のすべての固有値 に対して であれば、 です。(慣例により、は半正定値行列です。) 証明は定義から直接得られます。 ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$ ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$

コーシー積分

複素解析におけるコーシーの積分公式は、スカラー関数を行列関数に一般化するためにも使用できます。コーシーの積分公式は、集合D ⊂ C上で定義された任意の解析関数 fに対して、 xを囲む領域D内の閉単純曲線Cが 成り立つことを述べています。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$

ここで、 x を行列Aに置き換え、 Aのすべての固有値を含むD内の経路Cを考える。これを実現する一つの方法は、任意の行列ノルム‖ · ‖に対して、C を原点を中心とし、半径が‖ A ‖より大きい円とすることである。この場合、f  ( A )は次のように定義される。 $${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

この積分は、台形則を用いて数値的に容易に評価できます。この台形則は、この場合指数収束します。つまり、節点数が倍になると、結果の精度も倍になります。通常のケースでは、シルベスターの公式によってこの問題は回避されます。

この考え方を、無限行列として見ることができるバナッハ空間上の有界線形演算子に適用すると、正則関数計算が生まれます。

行列摂動

上記のテイラー級数により、スカラーを行列に置き換えることができます。ただし、についてを展開する場合、 でない限り、これは一般には成り立ちません。反例として があり、これは有限長のテイラー級数を持ちます。これは以下の2つの方法で計算できます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

• 分配法則: $${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• スカラーテイラー展開を使用し、最後にスカラーを行列に置き換えます。 ${\displaystyle f(a+\eta b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

スカラー式は可換性を前提としていますが、行列式はそうではありません。したがって、 でない限り、両者を直接的に等しくすることはできません。あるf ( x ) については、スカラーテイラー級数と同じ方法で扱うことができます。例えば、です。 が存在する場合、 です。最初の項の展開は、上記のべき級数に従います。 ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

べき級数の収束基準が適用され、適切な行列ノルムの下で十分に小さくなることが要求されます。2つの行列が可換となるように書き直すことができないより一般的な問題の場合、ライプニッツ則を繰り返し適用することによって生成される行列積の順序を追跡する必要があります。 ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$

2×2行列の任意関数

2×2行列Aの任意の関数f ( A )のシルベスターの公式は次のように簡略化され ます。ここで、は特性方程式の固有値、| A − λI | = 0、であり、次のように与えられます。ただし、退化がある場合は次の式が使用されます。ここで、f'はfの導関数です。 $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$ $${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

例

• 行列多項式
• 行列の根
• 行列対数
• 行列指数
• 行列の符号関数^[1]

行列関数のクラス

半正定値順序（は半正定値、は正定値）を用いると、スカラー関数のいくつかのクラスをエルミート行列の行列関数に拡張することができる。^[2] ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ ${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$

オペレーターの単調さ

関数fは、 fの定義域にスペクトルを持つ任意の自己随伴行列A , Hに対して、作用素単調であるとき、かつそのときに限り、作用素単調と呼ばれる。これは、スカラーの場合の単調関数に類似している。 ${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$

凹/凸演算子

関数fは、スペクトルがfとの領域にあるすべての自己随伴行列A , Hに対してとなるとき、かつそのときに限り、凹演算子と呼ばれる 。この定義は、凹スカラー関数に類似している。凸演算子関数は、上記の定義においてに切り替えることで定義できる。 $${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \succeq }$

例

対数行列は、演算子単調性と演算子凹性の両方を持ちます。正方行列は演算子凸性を持ちます。指数行列は、これらのいずれでもありません。ロウナーの定理は、開区間上の関数が演算子単調性とは、その関数が複素上半平面と下半平面に解析的拡張を持ち、上半平面がそれ自身に写像される場合に限ると述べています。^[2]

参照

• 代数リカッチ方程式
• シルベスターの式
• ローナー秩序
• 行列計算
• トレース不等式
• 行列の三角関数

注記

1. Higham, Nick (2020年12月15日). 「行列の符号関数とは何か？」Nick Higham . 2020年12月27日閲覧。
2. Bhatia, R. (1997).行列解析. 大学院数学テキスト. 第169巻. Springer.

参考文献

• ハイアム、ニコラス・J. (2008).行列の関数理論と計算. フィラデルフィア: 産業応用数学協会. ISBN 9780898717778。

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