行列の乗算

Mathematical operation in linear algebra

行列の乗算では、最初の行列の列数は2番目の行列の行数と等しくなければなりません。結果の行列は、最初の行列の行数と2番目の行列の列数を持ちます。

数学、特に線形代数において、行列の乗算は2つの行列から1つの行列を生成する二項演算です。行列の乗算では、最初の行列の列数は2番目の行列の行数と等しくなければなりません。結果として得られる行列は行列積と呼ばれ、最初の行列の行数と2番目の行列の列数を持ちます。行列Aと行列Bの積はABと表されます。^[1]

行列の乗算は、1812年にフランスの数学者ジャック・フィリップ・マリー・ビネによって初めて記述され、^[2]行列で表される線型写像の合成を表現するために用いられました。したがって、行列の乗算は線型代数の基本的なツールであり、数学の多くの分野、さらには応用数学、統計学、物理学、経済学、工学など、多岐にわたる分野で応用されています。^{[3] [4]}行列の積の計算は、線型代数のあらゆる計算応用において中心的な演算です。

表記

この記事では、以下の表記規則を使用します。行列は太字の大文字で表します（例：A ）。ベクトルは太字の小文字で表します（例：a）。ベクトルと行列のエントリはイタリック体（体からの数）で表します（例：Aおよびa ） 。インデックス表記は、定義を表す最も明確な方法であることが多く、文献では標準として使用されています。行列A の i 行 j 列のエントリは、( A ) ij _、 A ij _、またはa _ijで示されます。一方、単一の添字（例：A ₁、A ₂）は、行列のコレクションから行列（行列エントリではない）を選択するために使用されます。

定義

行列×行列

Aがm × n行列でBがn × p行列の場合、行列積C = AB （乗算記号やドットなしで表記）は、i = 1, ..., mおよびj = 1, ..., pに対して、次の式 が成り立つm × p行列^{[5] [6] [7] [8]}と定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$$

つまり、積の項⁠ ⁠は、 ${\displaystyle c_{ij}}$Aのi行目とBのj列目の項を項ごとに掛け合わせ、それらの積を合計することで得られます。言い換えれば、⁠ ⁠はAのi行目とBのj列目のドット積です。 ${\displaystyle c_{ij}}$

したがって、ABは次のようにも書ける。 $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$

したがって、積ABは、 Aの列数がBの行数と等しい場合にのみ定義されます（^[1]この場合はn）。

ほとんどの場合、要素は数値ですが、加算と乗算が定義され、結合法則を持ち、加算が可換法則を持ち、乗算が加算に関して分配法則を持つような、任意の種類の数学的オブジェクトを要素とすることができます。特に、要素は行列自体である場合もあります（ブロック行列を参照）。

行列×ベクトル

長さのベクトルは、要素が で与えられる行列に対応する列ベクトルとして見ることができます。 が行列である場合、 で表される行列とベクトルの積は、列ベクトルとして見ると行列に等しいベクトルです。インデックス表記では、これは次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{i1}=\mathbf {x} _{i}.}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {AX} .}$

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.}$

これを見る一つの方法は、「プレーン」ベクトルから列ベクトルへの変更とその逆の変更が想定され、暗黙的に残されるということです。

ベクトル×行列

同様に、長さのベクトルは行ベクトルと見なすことができ、これは行列に対応します。行ベクトルであることを明確にするために、この文脈では列ベクトルの転置として表すのが慣例です。そのため、次のような表記が見られます。恒等式が成り立ちます。添字表記では、が行列の場合、は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} .}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle y_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{jk}.}$

ベクトル×ベクトル

長さが等しい2 つのベクトルのドット積は 、これらのベクトルを行ベクトルと列ベクトルとして乗算して得られる行列の単一の要素に等しいため、次のようになります(または、同じ行列になります)。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ,}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

図

右の図は、 2 つの行列AとBの積を図式的に示しており、積行列の各交点がAの行とBの列にどのように対応しているかを示しています。 $${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\\cdot &\cdot \\a_{31}&a_{32}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &b_{12}&b_{13}\\\cdot &b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

右の図で円でマークされた交差点の値は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\c_{33}&=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}.\end{aligned}}}$$

基本的な応用

歴史的に、行列乗算は線形代数における計算を容易にし、明確化するために導入されてきました。行列乗算と線形代数の間のこの強い関係は、物理学、化学、工学、そしてコンピュータサイエンスだけでなく、あらゆる数学において基礎となっています。

線形マップ

ベクトル空間が有限の基底を持つ場合、そのベクトルはそれぞれ、座標ベクトルと呼ばれる有限のスカラー列によって一意に表現されます。座標ベクトルの要素は、ベクトルの基底上の座標です。これらの座標ベクトルは、元のベクトル空間と同型な別のベクトル空間を形成します。座標ベクトルは通常、列行列（列ベクトルとも呼ばれます）として構成されます。列行列は、1列のみを持つ行列です。したがって、列ベクトルは座標ベクトルと、元のベクトル空間のベクトルの両方を表します。

n次元のベクトル空間からm次元のベクトル空間への線型写像 Aは列ベクトルを写す。

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

列ベクトルに

${\displaystyle \mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

線形写像Aは行列によって定義される。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

列ベクトルを行列積に 写像する ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ax} .}$

B が前述のm次元のベクトル空間からp次元のベクトル空間への別の線型写像である場合、それは⁠ ⁠ ${\displaystyle p\times m}$行列で表されます。簡単な計算により、合成写像⁠ ⁠の行列は行列積であることがわかります。関数合成を定義する一般的な式⁠ ⁠ ) は、ここでは行列積の結合性の特定のケースとして例示されています (以下の § 結合性を参照)。 ${\displaystyle \mathbf {B} .}$ ${\displaystyle B\circ A}$ ${\displaystyle \mathbf {BA} .}$ ${\displaystyle (B\circ A)(\mathbf {x} )=B(A(\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle (\mathbf {BA} )\mathbf {x} =\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=\mathbf {BAx} .}$

幾何学的回転

ユークリッド平面における直交座標系を用いると、原点を中心とした角度による回転は線形写像となります。より正確には、 原点とその像は列ベクトルとして表されます。 ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x',y')}$

回転 と回転の合成は、2番目の等式に適切な三角関数の恒等式を用いた行列積に対応します 。つまり、この合成は予想通り、角度 の回転に対応します。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha &-\cos \beta \sin \alpha -\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha &-\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$

経済における資源配分

左下のエントリの計算は、生産フロー グラフ内の基本商品から最終製品までのすべてのパス (強調表示) を考慮することに対応します。 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ ${\displaystyle b_{4}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

例として、架空の工場が4種類の基礎財,を使って3種類の中間財,を生産し、さらにそれらを使って3種類の最終製品,を生産するとします。行列 ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$   そして   ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$

は、与えられた量の中間財に必要な基礎財の量、および与えられた量の最終製品に必要な中間財の量をそれぞれ提供します。例えば、中間財 1単位、基礎財 1単位を生産するには、 2単位、 0単位、 1単位が必要であり、これらは の最初の列に相当します。 ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{3}}$ ${\displaystyle b_{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

行列乗算を使用して計算します

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}};}$

この行列は、与えられた量の最終財に必要な基礎商品の量を直接示します。例えば、左下の はと計算され、 1単位の を生産するにはの単位が必要であることを示しています。実際、 には 1単位、 2単位の それぞれに 1単位、単位を構成する4単位の それぞれに 1単位が必要です（図を参照）。 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ ${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$ ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle b_{4}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle b_{4}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

例えば、最終製品を100ユニット、を80ユニット、を60ユニット生産する場合、必要な基本商品の量は次のように計算できます。 ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{3}}$

${\displaystyle (\mathbf {AB} ){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

つまり、単位、単位、単位、単位が必要である。同様に、積行列は他の最終財量データの基礎財必要量を計算するために使用できる。^[9] ${\displaystyle 1000}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle 1820}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle 1180}$ ${\displaystyle b_{3}}$ ${\displaystyle 2180}$ ${\displaystyle b_{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {AB} }$

線形方程式のシステム

線形方程式系の一般的な形は

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}}$

上記と同じ表記法を用いると、このようなシステムは単一の行列方程式と等価である。

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} .}$

内積、双線形形式、セスクイ線形形式

2つの列ベクトルのドット積は行列積の唯一の要素である。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$

ここで、 は転置によって得られる行ベクトルです。（通常どおり、1×1行列はその一意の要素で識別されます。） ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

より一般的には、有限次元ベクトル空間上の任意の双線型形式は行列積として表現できる。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,}$

そして任意のセクスティライン形式は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,}$

ここで、は の共役転置（転置の共役、または共役の転置と同等）を表します。 ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

一般的な特性

行列の乗算は通常の乗算​​といくつかの性質を共有しています。しかし、最初の因子の列数と2番目の因子の行数が異なる場合、行列の乗算は定義されません。また、因子の順序を入れ替えた後でも積が定義されている場合でも、行列の乗算は非可換です。[ 10 ^{] [11] [12 ]}

非可換性

演算が可換であるとは、積が定義される2つの要素AとBが与えられ、かつも定義され、 ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

AとBがそれぞれサイズ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\times n}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle p\times q}$の行列である場合、⁠ ⁠のときは が定義され、⁠ ⁠のときは が定義されます。したがって、積の片方が定義されていれば、もう片方は定義される必要はありません。⁠ ⁠の場合、2つの積は定義されますが、サイズが異なります。したがって、それらは等しくなれません。⁠ ⁠の場合、つまりAとB が同じサイズの正方行列である場合にのみ、両方の積が定義され、同じサイズになります。この場合でも、一般に ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$ ${\displaystyle n=p}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m=q}$ ${\displaystyle m=q\neq n=p}$ ${\displaystyle m=q=n=p}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .}$

例えば

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

しかし

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

この例は、A が体F ${\displaystyle n\times n}$を 要素とする行列である場合、Fを要素とするすべての行列 B に対して、が成り立つことと、が成り立つこと、またI が単位行列である場合に限ることを示すために拡張できます。体ではなく、要素が環に属すると仮定する場合は、 c が環の中心に属するという条件を追加する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =c\,\mathbf {I} }$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle n\times n}$

交換法則が成り立つ特別なケースとして、DとEが2つの（正方）対角行列（同じサイズ）である場合が挙げられます。このときDE = EDとなります。^[10]また、行列が体ではなく一般環上にある場合、この関係が成り立つためには、それぞれの対応する要素も互いに交換可能でなければなりません。

分配性

行列積は行列の加算に関して分配的である。つまり、A、B、C、Dがそれぞれm × n、n × p、 n × p、p × qの大きさの行列である場合、（左分配性）が成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,}$

そして（右分配性）

${\displaystyle (\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .}$^[10]

これは、係数の分配性から

${\displaystyle \sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}}$

${\displaystyle \sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.}$

スカラーとの積

Aが行列でc がスカラーの場合、行列 と はAのすべての要素にcを左または右に掛けることによって得られます。スカラーが交換法則を持つ場合、 ${\displaystyle c\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} c}$ ${\displaystyle c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.}$

積が定義されている場合（つまり、Aの列の数がBの行の数に等しい場合）、 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$

${\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$そして ${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).}$

スカラーが交換法則を持つ場合、4つの行列はすべて等しい。より一般的には、cが行列の要素を含む環の中心に属する場合、4つの行列はすべて等しい。この場合、すべての行列Xに対してc X = X cとなるためである。

これらの特性はスカラー積の双線型性から生じます。

${\displaystyle c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c).}$

転置

スカラーが交換法則を持つ場合、行列の積の転置は、因子の転置を逆順に積んだものとなる。つまり、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$

ここで、^{T は}転置、つまり行と列の入れ替えを表します。

この恒等式は非可換なエントリには当てはまりません。行列積の定義を展開すると、 AとBのエントリ間の順序が逆になるからです。

複素共役

AとBが複素数要素を持つ場合、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ^{*}}$

ここで、^*は行列の要素ごとの複素共役を表します。

これは、和の共役は加数の共役の和であり、積の共役は因数の共役の積であるという事実を行列積の定義に適用した結果です。

転置は要素の添え字に作用しますが、共役は要素自体に独立して作用します。したがって、AとBが複素要素を持つ場合、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger },}$

ここで、^{† は}共役転置（転置の共役、または共役の転置と同等）を表します。

結合性

3つの行列A、B、Cが与えられたとき、積( AB ) CとA ( BC )は、 Aの列数がBの行数に等しく、かつBの列数がCの行数に等しい場合に限り定義されます（特に、積の1つが定義されている場合、もう1つも定義されます）。この場合、結合法則が成り立ちます。

${\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).}$

結合演算と同様に、括弧を省略して上記の積を次のように書くことができます。 ${\displaystyle \mathbf {ABC} .}$

これは次元が一致する限り、任意の数の行列の積に自然に拡張されます。つまり、A ₁、A ₂、…、A _nが行列であり、A _iの列数がA _{i + 1}の行数と等しい場合（i = 1, …, n – 1 ）、積は

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}}$

は定義されており、行列の順序が固定されている場合、乗算の順序に依存しません。

これらの性質は、単純だが複雑な加法操作によって証明できる。この結果は、行列が線型写像を表すという事実からも導かれる。したがって、行列の結合法則は、単に関数合成の結合法則の特殊なケースに過ぎない。

計算の複雑さは括弧の付け方に依存する

一連の行列積の結果は演算の順序に依存しませんが(行列の順序が変更されない限り)、計算の複雑さはこの順序に大きく依存する可能性があります。

たとえば、A、B、Cがそれぞれ10×30、30×5、5×60のサイズの行列である場合、( AB ) Cの計算には10×30×5 + 10×5×60 = 4,500 回の乗算が必要ですが、 A ( BC )の計算には30×5×60 + 10×30×60 = 27,000回の乗算が必要です。

積の最適な順序を選択するためのアルゴリズムが設計されている。行列連鎖乗算を参照のこと。行列の数nが増加すると、最適な順序の選択の複雑さは^{[13] [14]}になることが示されている。 ${\displaystyle O(n\log n).}$

類似性への応用

任意の可逆行列は 相似変換を定義する（ と同じサイズの正方行列に対して） ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

${\displaystyle S_{\mathbf {P} }(\mathbf {A} )=\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .}$

相似変換は積を積に写像する。つまり

${\displaystyle S_{\mathbf {P} }(\mathbf {AB} )=S_{\mathbf {P} }(\mathbf {A} )S_{\mathbf {P} }(\mathbf {B} ).}$

実際、

${\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {AB} )\mathbf {P} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} (\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1})\mathbf {B} \mathbf {P} =(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} )(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} \mathbf {P} ).}$

正方行列

環R（実際には体であることが多い）内の要素を持つn × n正方行列の集合を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$

において、積は行列のあらゆるペアに対して定義されます。これにより環 が形成され、その単位行列I を単位元（対角成分が1で、その他の成分がすべて0である行列）として持ちます。この環は結合的R代数でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$

n > 1の場合、多くの行列は逆行列を持たない。例えば、ある行（またはある列）のすべての要素が0であるような行列には逆行列は存在しない。もし逆行列が存在する場合、行列Aの逆行列はA ⁻¹と表され、したがって

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .}$

逆行列を持つ行列は可逆行列と呼ばれます。逆行列を持たない行列は特異行列と呼ばれます。

行列の積が逆行列を持つのは、各因子が逆行列を持つ場合のみである。この場合、

${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}$

Rが可換な場合、特に体の場合、積の行列式は行列式の積となる。行列式はスカラーであり、スカラーは可換なので、

${\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {BA} )=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {B} ).}$

他の行列不変量は積に対してはうまく機能しない。しかしながら、Rが可換であれば、ABとBAは同じトレース、同じ特性多項式、そして同じ重複度を持つ同じ固有値を持つ。しかし、AB ≠ BAの場合、固有ベクトルは一般に異なる。

行列の累乗

正方行列は、通常の数と同様に、自身を繰り返し乗じることで、任意の非負整数乗にすることができます。つまり、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}=\mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } _{k{\text{ times}}}.}$

行列のk乗を計算するには、単純なアルゴリズム（繰り返し乗算）を用いると、1回の行列乗算のk – 1倍の時間がかかります。これは非常に時間がかかる可能性があるため、一般的には2乗によるべき乗法が好まれます。この方法では2 log ₂ k回の行列乗算よりも少ない回数で済むため、はるかに効率的です。

指数関数の簡単な例としては、対角行列があります。対角行列の積は、対応する対角要素同士を単純に掛け合わせるだけなので、対角行列のk乗は、各要素をk乗することで得られます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{bmatrix}}.}$

抽象代数

行列積の定義では、要素が半環に属していることが必要であり、半環の元の乗算が可換である必要はない。多くのアプリケーションでは、行列の要素は体に属しますが、熱帯半環もグラフ最短経路問題でよく選択されます。^[15]体上の行列の場合でも、積は一般に可換ではありませんが、結合法則があり、行列の加算に対して分配法則があります。単位行列（主対角線の外側の要素が 0 で主対角線の要素が 1 である正方行列）は、行列積の単位元です。したがって、環上のn × n行列は環を形成し、n = 1で基底環が可換である場合を除いて非可換です。

正方行列には逆行列が存在する場合があり、これを逆行列と呼びます。要素が可換環 Rに属する一般的なケースでは、行列の行列式がRに逆行列を持つ場合のみ、行列は逆行列を持ちます。正方行列の積の行列式は、因子の行列式の積です。逆行列を持つn × n行列は行列乗法のもとで群を形成し、その部分群は行列群と呼ばれます。多くの古典的な群 (すべての有限群を含む) は行列群と同型です。これが群表現の理論の出発点です。

行列は、行列の圏である圏の射である。対象は行列の大きさを測る自然数であり、射の合成は行列の乗算である。射のソースは対応する行列の列数であり、ターゲットは行数である。

計算の複雑さ

行列乗算の計算複雑性に対する指数ωの推定値の経時的改善 ${\displaystyle O(n^{\omega })}$

定義から得られる行列乗算アルゴリズムは、最悪の場合、 2つの正方n ${\displaystyle n^{3}}$× n行列の積を計算するために、スカラー値の乗算と加算を必要とします。したがって、 ${\displaystyle (n-1)n^{2}}$スカラー演算が定数時間かかる計算モデルでは、その計算複雑度は⁠ ⁠ ${\displaystyle O(n^{3})}$です。

驚くべきことに、この計算量は最適ではない。1969 年にVolker Strassenが、現在Strassen のアルゴリズムと呼ばれる計算量が^[16]のアルゴリズムを提案した。 Strassen のアルゴリズムは並列化することでさらに性能を向上させることができる。^[17] 2024 年 1 月現在、最も優れた査読済みの行列乗算アルゴリズムはVirginia Vassilevska Williams、 Yinzhan Xu、 Zixuan Xu、および Renfei Zhou によるもので、計算量O ( n ^2.371552 )である。^{[18] [19]行列乗算が}n ^{2 + o(1)}時間 で実行できるかどうかは不明である。^[20]これは、行列を別の行列と乗算するためには行列の要素を読み取る必要があるため、最適であると考えられる。 ${\displaystyle O(n^{\log _{2}7})\approx O(n^{2.8074}).}$^[update] ${\displaystyle n^{2}}$

行列の乗算は多くのアルゴリズムの基礎を形成し、行列に対する多くの演算は行列の乗算と同じ複雑さ（乗法定数まで）を持つため、行列の乗算の計算複雑さは数値線形代数と理論計算機科学の全体に現れます。

一般化

その他の種類の行列積には次のものがあります。

• ブロック行列演算
• クラコフ積は、A ∧ B = B ^T Aと定義される。
• フロベニウスの内積、ベクトルとしてみなされる行列のドット積、または、同等にアダマール積の要素の和
• 同じ大きさの2つの行列のアダマール積は、同じ大きさの行列を生成する。これは、各要素の積である。
• クロネッカー積またはテンソル積は、前述の任意のサイズへの一般化である。
• カトリ・ラオ積と面分割積
• 外積は、2つの列行列の二項積またはテンソル積とも呼ばれ、 ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$
• スカラー乗算

参照

• 行列計算、行列の乗算と計算の相互作用

注記

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20. つまり、時間n ^2+f(n)において、ある関数fに対して、 n →∞ のときf ( n ) → 0 となる

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