行列積状態

周期境界条件の場合、5 つの粒子の行列積状態のペンローズ グラフィカル表記(テンソル図表記)。

行列積状態（MPS）は量子多体状態の表現であり、密度行列繰り込み群（DMRG）アルゴリズム の中核を成す。

次元 のスピンのシステムの場合、周期境界条件(PBC)の MPS の一般的な形式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d}$

開いた境界条件の場合、5 つの粒子の行列積状態のペンローズ グラフィカル表記(テンソル図表記)。

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$$

開放境界条件（OBC）の場合、次の形式をとる。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

ここで行列 （は仮想サブシステムの次元）であり、は単一サイト基底状態です。周期境界条件の場合、 、を、開境界条件の場合、を考慮します。パラメータ は粒子間のエンタングルメント  に関連しています。特に、状態 が積状態（つまり、全くエンタングルメントされていない状態）の場合、 を伴う行列積状態として記述できます。はサイト 上の 次元局所空間を表します。量子ビットの場合、です。量子ドット（dレベルシステム）の場合、です。 ${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$ ${\displaystyle D_{i}\times D_{i+1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |s_{i}\rangle }$ ${\displaystyle D_{N+1}=D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=1}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i=1,2,...,N}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$

並進対称な状態の場合、以下のように表現できます。一般に、すべての状態はMPS形式（粒子数Nとともに指数関数的に増加する）で表すことができます。MPS分解は一意ではないことに注意してください。MPSは、が小さい場合、例えば粒子数 に依存しない場合などに実用的です。ごく一部の特殊なケース（「例」のセクションでいくつか言及されているケース）を除いて、このようなことは不可能ですが、多くの場合、良好な近似値として機能します。 $${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

序論については、^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および[ 4 ]}を参照。有限オートマトンに関しては^{[ 5 ]}を参照。テンソルネットワークのグラフィカル推論に重点を置いた解説については、序論を参照。^{[ 6 ]}

行列積状態としての波動関数

それぞれが-次元ヒルベルト空間を持つ格子点のシステムでは、完全に一般的な状態は次のように書ける。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\psi _{s_{1}...s_{N}}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle ,}$

ここでは次元テンソルです。例えば、ハイゼンベルク模型で記述される系の波動関数は次元テンソルで定義されますが、ハバード模型では階数は です。 ${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}}$ ${\displaystyle d^{N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle 4^{N}}$

MPSアプローチの基本的な考え方は、各サイトの物理的自由度を分離し、波動関数を行列の積として書き直すことです。各行列は特定のサイトに対応します。この手順全体は、一連の再整形と特異値分解（SVD）から構成されます。^{[ 7 ] [ 8 ]} ${\displaystyle N}$

波動関数をMPSとして表現する方法には、左正準分解、右正準分解、混合正準分解の3つがある。^{[ 9 ]}

左標準分解

次元テンソルの分解は、最初のサイトの物理的自由度を表す最初のインデックスである、一番左のインデックスの分離から始まります。これは、次のように 変形することで行われます。 ${\displaystyle d^{N}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

この表記法では、は行インデックス、 は列インデックスとして扱われ、係数は次元 である。特異値分解の手順により、 ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle (s_{2}\ldots s_{N})}$ ${\displaystyle \psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}}$ ${\displaystyle (d\times d^{N-1})}$

${\displaystyle \psi _{s_{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}U_{s_{1},\alpha _{1}}D_{\alpha _{1},\alpha _{1}}(V^{\dagger })_{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}U_{s_{1},\alpha _{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{1}}^{r_{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}.}$

最初のサイトの物理的な自由度の分離。

上の関係式において、行列と が掛け合わされて行列と を形成します。は最初の格子点に関する情報を格納します。これは、行列 を要素 を持つ行ベクトルに分解することによって得られます。したがって、状態ベクトルは次の形式をとります 。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}}$ ${\displaystyle r_{1}\leq d}$ ${\displaystyle A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A^{s_{1}}}$ ${\displaystyle A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}=U_{s_{1},\alpha _{1}}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

2番目のサイトの分離は、 と をグループ化し、 次元の行列として 表すことによって行われます。その後の の特異値分解は次のように実行できます。 ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha _{1},(s_{2}...s_{N})}}$ ${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}}$ ${\displaystyle (r_{1}d\times d^{N-2})}$ ${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}}$

${\displaystyle \psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{2}}^{r_{2}}U_{(\alpha _{1}s_{2}),\alpha _{2}}D_{\alpha _{2},\alpha _{2}}(V^{\dagger })_{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}=\sum _{\alpha _{2}}^{r_{2}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}}$。

最初の 2 つのサイトの物理的な自由度の分離。

上で、 次元の行列の集合を 要素で置き換えます。 の次元は要素です。したがって、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (r_{1}\times r_{2})}$ ${\displaystyle A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}=U_{(\alpha _{1}s_{2}),\alpha _{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}}$ ${\displaystyle (r_{2}\times d^{N-2})}$ ${\displaystyle r_{2}\leq r_{1}d\leq d^{2}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}\psi _{(\alpha _{1}s_{2}),(s_{3}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\psi _{\alpha _{2},(s_{3}...s_{N})}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

上記の手順に従うと、状態は行列の積として表すことができます。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N-1}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}A_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

-行列の最大次元は、正確な分解、すなわち単純化のために最初のサイトから最後のサイトまでが偶数であると仮定した場合に発生します。しかし、ほとんどの場合、行列の次元は指数関数的に増加するため、正確な分解を行うことは不可能です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (1\times d),(d\times d^{2}),\ldots ,(d^{N/2-1}\times d^{N/2}),(d^{N/2}\times d^{N/2-1}),\ldots ,(d^{2}\times d),(d\times 1)}$

デュアルMPSは、各行列を次のように置き換えることによって定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle \Psi |=\sum \limits _{\{s\}}\sum \limits _{\alpha '_{1},...,\alpha '_{N-1}}A_{\alpha '_{1}}^{*s'_{1}}A_{\alpha '_{1},\alpha '_{2}}^{*s'_{2}}...A_{\alpha '_{N-2},\alpha '_{N-1}}^{*s'_{N-1}}A_{\alpha '_{N-1}}^{*s'_{N}}\langle s'_{1}...s'_{N}|.}$

SVDの各行列は、という性質を持つ半ユニタリ行列であることに注意してください。これは、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

${\displaystyle \delta _{\alpha _{i},\alpha _{j}}=\sum _{\alpha _{i-1}s_{i}}(U^{\dagger })_{\alpha _{i},(\alpha _{i-1}s_{i})}U_{(\alpha _{i-1}s_{i}),\alpha _{j}}=\sum _{\alpha _{i-1}s_{i}}(A^{s_{i}\dagger })_{\alpha _{i},\alpha _{i-1}}A_{\alpha _{i-1},\alpha _{j}}^{s_{i}}=\sum _{s_{i}}(A^{s_{i}\dagger }A^{s_{i}})_{\alpha _{i},\alpha _{j}}}$。

より正確に言うと、行列は左正規化されているため、この合成を左標準的と呼びます。 ${\displaystyle \sum _{s_{i}}A^{s_{i}\dagger }A^{s_{i}}=I}$

右標準分解

同様に、分解は右端から始めることができます。最初の添え字を分離した後、テンソルは 次のように変換されます。 ${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}}$

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\psi _{(s_{1}...s_{N-1}),s_{N}}=\sum _{\alpha _{N-1}}U_{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}D_{\alpha _{N-1},\alpha _{N-1}}(V^{\dagger })_{\alpha _{N-1},s_{N}}=\sum _{\alpha _{N-1}}\psi _{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$。

行列は行列とを掛け合わせることで得られ、を列ベクトルに変形すると となる。一連の変形と特異値分解を実行すると、状態ベクトルは次の形になる。 ${\displaystyle \psi _{(s_{1}...s_{N-1}),\alpha _{N-1}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (V^{\dagger })_{\alpha _{N-1},s_{N}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N-1}}B_{\alpha _{1}}^{s_{1}}B_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}|s_{1}\ldots s_{N}\rangle .}$

SVDにおける各行列はの性質を持つ半ユニタリ行列であるため、-行列は右正規化され に従う。したがって、この分解は右標準的と呼ばれる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\dagger }V=I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sum _{s_{i}}B^{s_{i}}B^{s_{i}\dagger }=I}$

混合正準分解

分解は右からと左から両方から実行される。左標準分解が最初のn個のサイトで実行されたと仮定すると、 次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}}$

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{n-1},\alpha _{n}}^{s_{n}}D_{\alpha _{n},\alpha _{n}}(V^{\dagger })_{\alpha _{n},(s_{n+1}...s_{N})}}$。

混合正準分解によって得られた MPS 表現。

次のステップでは、を として再形成し、右からサイト までの一連の再形成と SVD を続行します。 ${\displaystyle (V^{\dagger })_{\alpha _{n},(s_{n+1}...s_{N})}}$ ${\displaystyle \psi _{(\alpha _{n}s_{n+1}...s_{n-1}),s_{N}}}$ ${\displaystyle s_{n+1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{(\alpha _{n}s_{n+1}...s_{n-1}),s_{N}}&=&\sum _{\alpha _{n+1}...\alpha _{N}}U_{(\alpha _{n}s_{n+1}),\alpha _{n+1}}D_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}\\&=&\sum _{\alpha _{n+1}...\alpha _{N}}B_{\alpha _{n},\alpha _{n+1}}^{s_{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}\end{aligned}}}$。

その結果、

${\displaystyle \psi _{s_{1}...s_{N}}=\sum _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N}}A_{\alpha _{1}}^{s_{1}}A_{\alpha _{1},\alpha _{2}}^{s_{2}}\ldots A_{\alpha _{n-1},\alpha _{n}}^{s_{n}}D_{\alpha _{n},\alpha _{n}}B_{\alpha _{n},\alpha _{n+1}}^{s_{n+1}}B_{\alpha _{n+1},\alpha _{n+2}}^{s_{n+2}}\ldots B_{\alpha _{N-2},\alpha _{N-1}}^{s_{N-1}}B_{\alpha _{N-1}}^{s_{N}}}$。

例

グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー状態

グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー状態は、 N個の粒子に対してN個の0とN個の1の 重ね合わせとして表される。

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

正規化を除けば、行列積状態として表現することができ、

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

または、次の表記法を用いると同等である: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

この記法では、要素が状態ベクトル（複素数ではなく）である行列を用い、行列の乗算には、要素のテンソル積（2つの複素数の積ではなく）を用いる。このような行列は次のように構成される。

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

テンソル積は可換ではないことに注意してください。

この特定の例では、2 つのA行列の積は次のようになります。

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

W州

W 状態、つまりハミング重み1 のすべての計算基底状態の重ね合わせ。

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

状態は順列対称であるが、その最も単純なMPS表現はそうではない。^{[ 1 ]}例えば：

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

AKLTモデル

MPSアプローチの歴史的な例であるAKLT基底状態波動関数^{[ 11 ]}は、 選択^{[ 9 ]に対応する。}

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

ここで、はパウリ行列、または ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

マジュムダール・ゴーシュモデル

マジュムダール・ゴーシュ基底状態はMPSで表すことができ、

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

参照

• 密度行列繰り込み群
• 変分法（量子力学）
• 繰り込み
• マルコフ連鎖
• テンソルネットワーク

参考文献

1. Perez-Garcia, D.; Verstraete, F.; Wolf, MM (2008). 「行列積状態表現」. Quantum Inf. Comput . 7 : 401. arXiv : quant-ph/0608197 .
2. Orús, Román (2014). 「テンソルネットワークの実践的入門：行列積状態と投影されたエンタングルドペア状態」Annals of Physics . 349 : 117-158. arXiv : 1306.2164 . Bibcode : 2014AnPhy.349..117O . doi : 10.1016/j.aop.2014.06.013 .
3. Verstraete, F ; Murg, V. ; Cirac, JI (2008). 「量子スピン系における行列積状態、射影エンタングルドペア状態、および変分繰り込み群法」. Advances in Physics . 57 (2): 143– 224. arXiv : 0907.2796 . Bibcode : 2008AdPhy..57..143V . doi : 10.1080/14789940801912366 . S2CID 17208624 . 
4. Bridgeman, Jacob C; Chubb, Christopher T (2017-06-02). 「Hand-waving and interpretive dance: an introductory course on tensor networks」 . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (22): 223001. arXiv : 1603.03039 . Bibcode : 2017JPhA...50v3001B . doi : 10.1088/1751-8121/aa6dc3 . ISSN 1751-8113 . 
5. Crosswhite, Gregory M.; Bacon, Dave (2008-07-29). 「行列積アルゴリズムにおけるキャッシュのための有限オートマトン」 . Physical Review A. 78 ( 1) 012356. arXiv : 0708.1221 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2356C . doi : 10.1103/PhysRevA.78.012356 . ISSN 1050-2947 . 
6. Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (2017). 「テンソルネットワークの概要」. arXiv : 1708.00006 [ quant-ph ].
7. ベイカー、トーマス E.デロジエ、サミュエル。トレンブレイ、マキシム。トンプソン、マーティン P. (2021)。「身体の緊張を解く計算方法」。カナダ物理学ジャーナル。99 (4 ) : 207–221。arXiv : 1911.11566 。ビブコード: 2021CaJPh..99..207B。土井：10.1139/cjp-2019-0611。ISSN 0008-4204。 
8. Baker, Thomas E.; Thompson, Martin P. (2021-09-07)、独自のテンソルネットワークライブラリを構築する: DMRjulia I. 密度行列再正規化群の基本ライブラリ、arXiv : 2109.03120
9. Schollwöck, Ulrich (2011). 「行列積状態の時代における密度行列再正規化群」Annals of Physics . 326 (1): 96– 192. arXiv : 1008.3477 . Bibcode : 2011AnPhy.326...96S . doi : 10.1016/j.aop.2010.09.012 . S2CID 118735367 . 
10. Crosswhite, Gregory; Bacon, Dave (2008). 「行列積アルゴリズムにおけるキャッシュのための有限オートマトン」. Physical Review A. 78 ( 1) 012356. arXiv : 0708.1221 . Bibcode : 2008PhRvA..78a2356C . doi : 10.1103/PhysRevA.78.012356 . S2CID 4879564 . 
11. アフレック, イアン; ケネディ, トム; リーブ, エリオット H.; 田崎, ハル (1987). 「反強磁性体の価電子結合基底状態に関する厳密な結果」. Physical Review Letters . 59 (7): 799– 802. Bibcode : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 . 

外部リンク

• テンソルネットワークのアルゴリズム、アプリケーション、ソフトウェアに焦点を当てたオープンソースのレビュー記事
• 行列積状態の状態 – Physics Stack Exchange
• テンソルネットワークの実践的入門：行列積状態と投影されたエンタングルドペア状態
• 手振りと表現ダンス：テンソルネットワーク入門コース
• テンソルネットワークの要点：テンソルネットワーク入門

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