ドット積

Algebraic operation on coordinate vectors

数学において、ドット積は、長さの等しい2つの数列（通常は座標ベクトル）を受け取り、1つの数を返す代数演算 です。ユークリッド幾何学において、 2つのベクトルのスカラー積^{[注 1]は、それらの}直交座標のドット積であり、特定の直交座標系の選択とは無関係です。「ドット積」と「スカラー積」という用語は、直交座標系が一度固定されている場合、しばしば同じ意味で使用されます。スカラー積は特定の内積であるため、「内積」という用語もよく使用されます。

代数的には、ドット積は2つの数列の対応する要素の積の和です。幾何学的には、2つのベクトルのスカラー積は、ベクトルの長さとベクトル間の角度のコサインの積です。これらの定義は、直交座標を使用する場合、同じです。現代幾何学では、ユークリッド空間はベクトル空間を用いて定義されることがよくあります。この場合、スカラー積は長さ（ベクトルの長さは、ベクトル自身のスカラー積の平方根です）と角度（2つのベクトル間の角度のコサインは、それらのスカラー積をベクトルの長さの積で割った商です）を定義するために使用されます。

「ドット積」という名前は、 この演算を指定するためによく使用されるドット演算子「  ⋅ 」に由来しています。 ^[1]「スカラー積」という別名は、結果がベクトルではなくスカラーであることを強調しています（ 3次元空間でのベクトル積と同様）。

意味

内積は代数的にも幾何学的にも定義できます。幾何学的定義は、ベクトルの角度と距離（大きさ）の概念に基づいています。これら2つの定義の同値性は、ユークリッド空間に直交座標系が存在することに依存しています。

ユークリッド幾何学の現代的な表現では、空間上の点はその直交座標によって定義され、ユークリッド空間自体は実座標空間 と同一視されることが多い。このような表現では、長さと角度の概念は内積によって定義される。ベクトルの長さはベクトル自身との内積の平方根として定義され、長さ1の2つのベクトル間の（無向の）角度の余弦はそれらの内積として定義される。したがって、内積の2つの定義の同値性は、ユークリッド幾何学の古典的定式化と現代的定式化の同値性の一部である。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

座標の定義

2つのベクトルとの内積は、直交基底に関して指定され、次のように定義されます。^[2]ここで、 ( σ ) は和を表し、はベクトル空間の次元です。例えば、3次元空間では、ベクトル と の内積は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ${\displaystyle [4,-2,-1]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

同様に、ベクトルとそれ自身のドット積は次のようになります。 ${\displaystyle [1,3,-5]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

ベクトルが列ベクトルと同一視される場合、ドット積はの転置を表す行列積として表記することもできます。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} {^{\mathsf {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

上記の例をこのように表現すると、1 × 3 行列 (行ベクトル) に 3 × 1 行列 (列ベクトル)を掛けて、一意のエントリで識別される 1 × 1 行列を取得します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

幾何学的定義

ドット積を使ってベクトル間の角度を求める方法を示す図

ドット積を用いた対称四面体分子構造の結合角の計算

ユークリッド空間において、ユークリッドベクトルは大きさと方向の両方を持つ幾何学的オブジェクトです。ベクトルは矢印で表すことができます。ベクトルの大きさはベクトルの長さ、方向は矢印が指す方向です。ベクトルの大きさは で表されます。2つのユークリッドベクトル と の内積は[ ^{3] [4] [1]}で定義されます。ここで はとの間の角度です。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

特に、ベクトルおよび が直交している場合（つまり、角度がまたは である場合）、 となり、次の式が成り立ちます。反対に、ベクトル および が共方向である場合、ベクトル および の間の角度は 0 となり、 次の式が成り立ちます。これは、ベクトルとそれ自身のドット積が であることを意味し、この式はベクトルのユークリッド長の式を与えます 。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$ ${\displaystyle \cos 0=1}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$ $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

スカラー射影と第一の性質

スカラー投影

ユークリッド ベクトルの 方向へのユークリッド ベクトルのスカラー投影(またはスカラー成分)は、との間の角度であるで与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

ドット積の幾何学的定義では、これは と書き直すことができます。ここで、 は方向の単位ベクトルです。 $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

ドット積の分配法則

ドット積は幾何学的に次のように特徴付けられる^[5]。このように定義されたドット積は各変数のスケーリングの下で​​同次であり、任意のスカラーに対して、分配法則も満たすので、 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

これらの性質は、内積が双線型形式であると言うことで要約できます。さらに、この双線型形式は正定値であり、つまり が負になることはなく、 が零ベクトル の場合にのみ零となります。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

定義の同等性

が における標準基底ベクトルである場合、次のように書くことができます。ベクトルは直交基底であり、これはベクトルの長さが単位であり、互いに直角であることを意味します。これらのベクトルは単位長さであり、互いに直角をなすため、 の場合、となります。したがって、一般に、 が成り立ちます。ここで、 はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$ ${\displaystyle i\neq j}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

直交基底のベクトル成分

また、幾何学的定義により、任意のベクトルとベクトルに対して、 が成り立つことがわかります。ここではベクトルの 方向の成分です。等式の最後のステップは図からわかります。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

ここで、幾何学的ドット積の分配法則を適用すると、ドット積の代数的定義と全く同じ式が得られます。つまり、幾何学的ドット積は代数的ドット積に等しくなります。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

プロパティ

、、が実数ベクトルで、、、がスカラーのとき、ドット積は次の性質を満たします。[ ^{2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$

可換性

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$これは定義（はと の間の角度）から導かれる。^[6]交換法則は代数的定義によっても簡単に証明でき、より一般的な空間（角度の概念が幾何学的に直観的ではないかもしれないが、類似の積が定義できる）では、2つのベクトル間の角度は次のように定義できる。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

$${\displaystyle \theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right).}$$

双線形（両方の引数において加法、分配、スカラー乗法）

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )&\cdot (\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} )\\&=\alpha \gamma (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )+\alpha \delta (\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )+\beta \gamma (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )+\beta \delta (\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} ).\end{aligned}}}$$

非結合

スカラーとベクトルの間ではドット積が定義されていないため、結合法則は意味をなさない。^[7]しかし、双線型性は、この性質が「スカラーとドット積の結合法則」と呼ばれることもあり、^[8]「ドット積はスカラー乗算に関して結合法則である」とも言える。^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} ,}$ $${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} ).}$$

直交

2 つの非ゼロベクトルとが直交するのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

キャンセル不可

通常の数の乗算では の場合、 がゼロでない限り常に と等しくなりますが、ドット積は の打ち消し則に従いません。 ${\displaystyle ab=ac}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

かつの場合、 と書くことができます。分配法則により、 ; 上の結果から、これはが に垂直であることを意味し、それでも が許され、したがって が許されることがわかります。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

積の法則

とがベクトル値の微分可能関数である場合、 の導関数（プライムで表記）は次の規則で与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {}'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ $${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

余弦定理への応用

ベクトル辺aとbが角度θで隔てられた三角形

角度 で隔てられた2つのベクトルと（上の図を参照）は、3つ目の辺 を持つ三角形を形成します。、 、の長さをそれぞれ、 、とします。と自身 の内積は次式で表されます。これは余弦定理です。 ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle \color {red}a}$ ${\displaystyle \color {blue}b}$ ${\displaystyle \color {orange}c}$ ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

トリプル積

ドット積とクロス積を含む 2 つの 3項演算があります。

3つのベクトルのスカラー三重積は、次のように定義されます。その値は、 3つのベクトルの直交座標を列とする行列の行列式です。これは、3つのベクトルで定義される平行六面体の符号付き体積であり、 3つのベクトルの外積の3次元特殊ケースと同型です。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

ベクトル三重積は^{[2] [3]}で定義されます。この恒等式はラグランジュの公式としても知られ、どのベクトルが点線で結ばれているかを覚えておけば「ACBマイナスABC」と覚えることができます。この公式は物理学におけるベクトル計算の簡略化に応用されています。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

物理

物理学において、ドット積は2つのベクトルを取り、スカラー量を返します。これは「スカラー積」とも呼ばれます。2つのベクトルのドット積は、2つのベクトルの大きさと、2つのベクトル間の角度のコサインの積として定義できます。つまり、ドット積は、1つ目のベクトルを2つ目のベクトルに射影したものと、2つ目のベクトルの大きさの積として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$

例えば: ^{[10] [11]}

• 機械的な仕事は力と変位ベクトルの内積である。
• パワーは力と速度のドット積です。

一般化

複素ベクトル

複素数要素を持つベクトルの場合、与えられたドット積の定義を使用すると、まったく異なる特性が得られます。たとえば、ベクトル とそれ自身とのドット積は、そのベクトルが零ベクトルでなくても零になることがあります（たとえば、ベクトル ではこれが起こります）。これは今度は、長さや角度などの概念に影響を及ぼします。正定値ノルムなどの性質は、ドット積の対称性と双線形性を放棄する代償として、代わりの定義^{[12] [2]}によって救済することができます。 ここで、は の複素共役です。ベクトルが列ベクトルによって表される場合、ドット積は、上付き文字 H で表される共役転置を含む行列積として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$ ${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

実数成分を持つベクトルの場合、この定義は実数の場合と同じです。任意のベクトルとそれ自身の内積は非負の実数であり、零ベクトルを除いて非零です。しかし、複素内積は共役線型であり、において線型ではないため、双線型ではなく二線型です。内積は対称ではありません。 なぜなら、 2つの複素ベクトル間の角度は、 によって与えられるからです 。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

複素ドット積は、数学や物理学で広く使用されているエルミート形式と一般内積空間の概念につながります。

行ベクトルの共役転置を含む複素ベクトルの自己内積は、ユークリッドノルムにちなんで、ノルムの二乗、とも呼ばれます。これは、複素スカラーの絶対値の二乗のベクトル一般化です（二乗ユークリッド距離も参照）。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$ ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$

内積

内積は、実数体または複素数体のいずれかであるスカラー体上の抽象ベクトル空間に内積を一般化する。これは通常、山括弧を用いてと表記される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

複素数体上の2つのベクトルの内積は、一般に複素数であり、双線型ではなく二乗線型である。内積空間はノルム付きベクトル空間であり、ベクトルとそれ自身との内積は実数かつ正定値である。

機能

内積は、有限個の要素を持つベクトルに対して定義されます。したがって、これらのベクトルは離散関数とみなすことができます。つまり、長さベクトルは定義域を持つ関数であり、は関数/ベクトルによるの像の表記です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$

この概念は二乗積分可能な関数に一般化できる。ベクトルの内積が対応する成分の和をとるのと同様に、関数の内積はある測度空間 上の積分として定義される。^[2] ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

たとえば、と が標準ルベーグ測度 を持つのコンパクト部分集合上の連続関数である場合、上記の定義は次のようになります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

これをさらに複素連続関数 およびに一般化すると、上記の複素内積との類推により、次の式が得られます。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

重み関数

内積は重み関数（つまり、内積の各項に値で重みを付ける関数）を持つことができる。明示的には、関数と重み関数の内積は、 ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle r(x)>0}$ $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

二項関係と行列

行列の二重内積はフロベニウスの内積であり、ベクトルの内積に類似している。これは、同じ大きさの2つの行列の対応する成分の積の和として定義される。また、実数行列の場合は、 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

行列を二項行列として記述すると、別の二重ドット積を定義できます ( 「二項行列 § 二項行列と二項行列の積」を参照)。ただし、これは内積ではありません。

テンソル

次数 のテンソルと 次数 のテンソルの内積は次数 のテンソルです。詳細については 、テンソル収縮を参照してください。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n+m-2}$

計算

アルゴリズム

ベクトルの浮動小数点内積を計算する単純なアルゴリズムは、壊滅的な相殺を引き起こす可能性があります。これを回避するため、 Kahan加算アルゴリズムなどの手法が用いられます。

図書館

ドット積関数は以下に含まれています:

• BLASレベル1 実数SDOT、;DDOT複素数CDOTU、、、ZDOTU = X^T * YCDOTCZDOTC = X^H * Y
• Fortranまたはdot_product(A,B)​sum(conjg(A) * B)
• Juliaまたは  A' * B標準ライブラリLinearAlgebradot(A, B)
• R（プログラミング言語）sum(A * B)のベクトル、あるいはより一般的には行列については、A %*% B
• Matlabまたは  A' * B  または  conj(transpose(A)) * B  または  sum(conj(A) .* B)  ​  dot(A, B)
• Python (パッケージNumPy )  np.dot(A, B)  または  np.inner(A, B)
• GNU Octaveおよび  sum(conj(X) .* Y, dim)Matlab と同様のコード
• Intel oneAPI 数値演算カーネル ライブラリ 実数 p?dot dot = sub(x)'*sub(y); 複素数 p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

参照

• コーシー・シュワルツの不等式
• 外積
• グラフのドット積表現
• ユークリッドノルム、自己内積の平方根
• 行列の乗算
• 計量テンソル
• ベクトルの乗算
• 外積

注記

1. スカラー積という用語は、文字通り「結果としてスカラーを持つ積」を意味します。擬ユークリッド空間など、他の対称双線型形式にも用いられます。スカラー乗算と混同しないように注意してください。

参考文献

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外部リンク

• 「内積」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 複素ベクトルを含むドット積の説明
• 「Dot Product」、Bruce Torrence 著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。

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