最大要素と最小要素

Extreme element of a preorder

60の約数集合Pのハッセ図。関係「xはyを割る」に従って部分的に順序付けられている。赤色の部分集合= {1,2,3,4} には、2つの最大元（3と4）と1つの最小元（1）があり、これは最小元でもある。 ${\displaystyle S}$

数学、特に順序理論において、ある順序付き集合の部分集合の最大元とは、 の他のどの元よりも小さくない の元である。ある順序付き集合の部分集合の最小元とは、 の他のどの元よりも大きくない の元として双対的に定義される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

最大元と最小元の概念は、それぞれ最大値と最小値としても知られる最大元と最小元の概念よりも弱い。順序付き集合の部分集合の最大値は、その要素が の他のどの要素よりも大きいか等しいものであり、 の最小値はこの場合も双対的に定義される。部分的に順序付けられた集合の特定のケースでは、最大値と最小値は最大で 1 つしか存在できないが、最大元または最小元は複数存在してもよい。^{[1] [2]さらに}全順序付き集合に特化すると、最大元と最大値の概念は一致し、最小元と最小値の概念は一致する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$

例えば、包含関係によって順序付けられた集合において、要素{ d , o }は集合内に集合を含まないため最小であり、要素{ g , o , a , d }は集合内にそれを含む集合がないため最大であり、要素{ d , o , g }はどちらでもなく、要素{ o , a , f }は最小かつ最大である。対照的に、 $${\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}$$ ${\displaystyle S.}$

ツォルンの補題は、すべての全順序付き部分集合が上界を持つようなすべての半順序付き集合は、少なくとも1つの極大元を含むことを述べています。この補題は、整列定理および選択公理^{[3]と同義であり、}ハーン・バナッハの定理、キルシュブラウンの定理、ティコノフの定理、すべてのベクトル空間に対するハメル基底の存在、すべての体に対する代数的閉包の存在といった、他の数学分野における重要な結果を示唆しています。

意味

を順序付き集合とし、に対するの最大元は、 ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m\in S}$

を満たすならば必然的に ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

同様に、の最小 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$元 は、 ${\displaystyle m\in S}$

を満たすならば必然的に ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m,}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

同様に、はに関しての最小元であり、 は に関しての最大元である場合に限ります。ここで、定義により、の場合に限ります(すべての に対して)。 ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle q\geq p}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p,q\in P}$

サブセットが指定されていない場合は、明示的に、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:=P.}$の最大元（それぞれ、最小元）、 に関しての最大（それぞれ、最小）元である。 ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S:=P}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

順序付き集合が半順序集合でもある場合（またはより一般的には、制約が半順序集合である場合）、はの最大元であり、が よりも厳密に大きい元を含まない場合に限ります。明示的には、となる元は存在しないことを意味します。 最小元の特徴付けは、の代わりにを使用することで得られます。 ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m;}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m\neq s.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

存在と唯一性

フェンスは最小要素と最大要素のみで構成されます (例 3)。

最大要素が存在する必要はありません。

• 例 1:が実数を表すとします。 を除くすべての場合（つまり ですが、は除きます） について、 となります。 ${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\in S,}$ ${\displaystyle s=m+1\in S}$ ${\displaystyle m<s}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m=s}$
• 例 2:が有理数、 が無理数を表すとします。 ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

一般に、 は 上の部分順序のみです。が最大要素である場合、 もも存在しない可能性が残ります。これにより、複数の最大要素が存在する可能性が残ります。 ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

• 例 3:画像に示すように、フェンス ではすべてが最小で、すべてが最大です。 ${\displaystyle a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• 例4: Aを少なくとも2つの要素を持つ集合とし、を単集合部分集合から成る冪集合の部分集合とし、部分集合を とする。これは、2つの要素が比較できない離散的半集合であり、したがってすべての要素が最大(および最小)である。さらに、任意の異なるも でもないに対して、 ${\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}}$ ${\displaystyle \wp (A)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .}$ ${\displaystyle \{a\}\in S}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}}$ ${\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.}$

最大要素と最小要素

部分的に順序付けられたセットの場合、の非反射核は と表され、の場合に で定義されます。任意のメンバーに対して、次のいずれかのケースが適用されます。 ${\displaystyle (P,\leq ),}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x,y\in P,}$

1. ${\displaystyle x<y}$;
2. ${\displaystyle x=y}$;
3. ${\displaystyle y<x}$;
4. ${\displaystyle x}$そして比較できないものです。 ${\displaystyle y}$

部分集合といくつかの ${\displaystyle S\subseteq P}$ ${\displaystyle x\in S,}$

• ケース 1 がいずれにも当てはまらない場合は、は上記で定義されたの最大元です。 ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$
• ケース1と4がいずれにも当てはまらない場合、は最大元と呼ばれます。 ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

したがって、最大元の定義は極大元の定義よりも強力です。

同様に、部分集合の最大元は、その中の他のどの元よりも大きい元として定義できます 。部分集合には最大元が1つしか存在できません。^[証明1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

の最大元が存在する場合、それは の最大元でもあります^{[証明 2]}。また、唯一の元でもあります。 ^{[証明 3] 。}対比により、に複数の最大元がある場合、 は最大元を持つことはできません。例 3 を参照してください。 が昇順チェーン条件を満たす場合、 のサブセットが最大元を持つ場合、かつ に1 つの最大元がある場合に限り、 のサブセットが最大元を持ちます。^{[証明 4]} ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

への制約が全順序であるとき（一番上の図は例です）、最大元と最大元の概念は一致する。^[証明5] これは必要条件ではありません。 が最大元を持つときはいつでも、上記のように、これらの概念も一致します。の2元部分集合のすべてにおいて最大元と最大元の概念が一致するとき、は全順序です。^[証明6] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$

双対最大は、最大から最大と同じように最小に関連する最小要素の概念です。

有向集合

全順序集合では、最大元と最大元という用語は一致するため、解析学などの全順序のみが考慮される分野では両方の用語が互換的に使用されます。この観察は、任意の半順序集合の全順序部分集合だけでなく、有向集合を介した順序論的な一般化にも当てはまります。有向集合では、すべての要素のペア（特に比較できない要素のペア）は、集合内に共通の上限を持ちます。有向集合に最大元がある場合、それは最大元でもあり、^{[証明 7]}したがって唯一の最大元です。最大元や最大元のない有向集合については、上記の例 1 および 2 を参照してください。

最小要素についても同様の結論が成り立ちます。

さらに詳しい入門情報については、順序理論に関する記事をご覧ください。

プロパティ

• 空でない有限部分集合はそれぞれ、最大元と最小元の両方を持つ。無限部分集合は、例えば通常の順序を持​​つ整数のように、これらのいずれの元も持つ必要はない。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 部分集合の極大元の集合は常に反連鎖である。つまり、 の異なる2つの極大元は比較できない。極小元についても同様である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

例

• パレート効率において、パレート最適はパレート改善の部分順序に関する最大要素であり、最大要素の集合はパレートフロンティアと呼ばれます。
• 意思決定理論において、許容される意思決定規則は、支配的な意思決定規則の半順序に関する最大要素です。
• 現代ポートフォリオ理論では、リスクとリターンの積の順序に関する最大要素の集合を効率的フロンティアと呼びます。
• 集合論では、包含関係に従って順序付けられたときに、すべての空でない部分集合の族が最小の要素を持つ場合のみ、集合は有限です。
• 抽象代数学では、最大公約数の概念は、要素の集合の公約数が複数の最大要素を持つ可能性がある数値体系に最大公約数を一般化するために必要です。
• 計算幾何学では、点集合の最大値は座標支配の半順序に関して最大​​になります。

消費者理論

経済学では、部分順序の代わりに前順序（一般的には全前順序）を使用して、反対称公理を緩和することができます。最大要素に類似した概念は非常に似ていますが、以下に詳述するように、異なる用語が使用されます。

消費者理論において、消費空間は何らかの集合 であり、通常は何らかのベクトル空間の正直交座標であり、それぞれが経済における既存の各商品について指定された消費量を表す。消費者の選好は通常、全事前順序で表され、 およびは次のように読み取れる。は最大でも と同じくらい好まれる。 および のとき、消費者は と の間で無差別であると解釈されるが、選好関係が反対称であると仮定されることは決してないと結論付ける理由にはならない。この文脈では、任意の について、 がを意味する場合、要素は最大要素と言われ、はであり ではないという意味で他のどのバンドルにも支配されない消費バンドルとして解釈される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in B}$ $${\displaystyle y\in B}$$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\prec y,}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x.}$

正式な定義は、順序集合の最大元と非常によく似ていることに注意すべきである。しかし、が前置順序のみである場合、上記の性質を持つ元は、順序付けにおける最大元と非常によく似た振る舞いをする。例えば、最大元はに対して一意ではないが、の可能性を排除するわけではない（ただし、 と はを意味するのではなく、単に無差別 を意味する）。選好前置順序における最大元の概念は、最も好ましい選択の概念となる。つまり、 を持つは を意味する。 ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x\in B}$ $${\displaystyle y\in B}$$ ${\displaystyle y\prec x.}$

明らかな応用として、需要対応の定義が挙げられます。を 上の汎関数のクラスとします。要素は価格汎関数または価格システムと呼ばれ、あらゆる消費バンドルをその市場価値 に写像します。予算対応は、任意の価格システムと任意の所得水準を部分集合 に写像する対応です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \Gamma \colon P\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$ $${\displaystyle \Gamma (p,m)=\{x\in X~:~p(x)\leq m\}.}$$

需要対応は、任意の価格と任意の所得水準をの -最大要素の集合にマッピングします。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \Gamma (p,m)}$ $${\displaystyle D(p,m)=\left\{x\in X~:~x{\text{ is a maximal element of }}\Gamma (p,m)\right\}.}$$

この理論は、消費者の合理的選択が何らかの要素によって決定されると予測しているため、需要対応と呼ばれています。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}\in D(p,m).}$

関連する概念

半順序集合の部分集合は、任意のに対して、次のものが存在するとき、共終的であると言われます。極大要素を持つ半順序集合のすべての共終的部分集合には、すべての極大要素が含まれていなければなりません。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in Q}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

部分順序集合の部分集合は、下向きに閉じている場合、その下集合であると言われる。有限順序集合のすべての下集合は、その最大要素をすべて含む最小の下集合に等しい。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\in L.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L.}$

参照

• 最大元と最小元 – 数学における概念
• 最小値と最大値 – 最大の下限と最小の上限
• 上限と下限 – 数学における主項と副項

注記

証明

1. と が両方とも最大であれば、 であり、したがって反対称性によりとなります。 ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ${\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. がの最大元である場合、反対称性により、(および) は不可能になります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq g.}$ ${\displaystyle g\leq s}$ ${\displaystyle g\neq s}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. が最大要素である場合、 （が最大であるため）であり、したがっては最大である。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\leq g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m=g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. の場合のみ: 上記を参照。 —の場合:最大要素が 1 つしかなく、最大要素がない矛盾を と仮定します。は最大でないため、と比較できないものが存在する必要があります。したがって は最大になることはできません。つまり、がいくつかに対して成立する必要があります。後者はとも比較できない必要があります。は の最大性と矛盾し、 はおよびの比較不可能性と矛盾するためです。この議論を繰り返すと、無限の上昇チェーンが見つかります (それぞれがと比較できず、最大ではありません)。 これは、上昇チェーン条件と矛盾します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\in S.}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m<s_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{2}\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}.}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
5. を最大元とすると、 または のいずれかになります。2番目のケースでは、最大元の定義により となることが求められるため、 となります。言い換えると、は最大元です。 ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$ ${\displaystyle s=m,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
6. 比較できない場合は、最大値は 2 つあるが、最大要素は存在せず、一致と矛盾します。 ${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle S=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
7. を最大とする。 を任意とする。すると、との共通上限はを満たすので、最大性により となる。の定義により が成り立つので、 が成り立つ。したがって は最大の元である。 ${\displaystyle m\in D}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u\geq m}$ ${\displaystyle u=m}$ ${\displaystyle x\leq u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

• 数学ポータル

1. リッチモンド、ベティーナ；リッチモンド、トーマス（2009）「離散的高度数学への移行」アメリカ数学会、p. 181、ISBN 978-0-8218-4789-3。
2. スコット、ウィリアム・レイモンド（1987年）、群論（第2版）、ドーバー、p.22、ISBN 978-0-486-65377-8
3. ジェック、トーマス(2008) [初版1973年]. 『選択の公理』 .ドーバー出版. ISBN 978-0-486-46624-8。

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