最大部分群

数学において、最大部分群という用語は、代数のさまざまな分野で若干異なる意味として使用されます。

群論において、群Gの最大部分群Hは真部分群であり、真部分群KはH を厳密に含まない。言い換えれば、HはGと等しくない部分群の半順序集合の最大元である。最大部分群は、 Gの原始置換表現と直接関係しているため興味深い。また、有限群論の目的のためにも盛んに研究されている。例えば、最大部分群の交差であるフラッティーニ部分群を参照のこと。

半群論において、半群Sの最大部分群とは、 Sの別の部分群に適切に含まれないSの部分群（つまり、半群演算の下で群を形成する部分半群）のことである。ここでは、最大部分群が適切である必要はないことに注意されたい。したがって、Sが実際に群である場合、その唯一の最大部分群（半群として）はS自身である。半群の部分群、特に最大部分群を考慮すると、半群論において群論的手法を適用できる場合が多い。半群のべき等元と半群の最大部分群の間には 1 対 1 対応があり、各べき等元は唯一の最大部分群の単位元である。

最大部分群の存在

有限群の任意の真部分群は、何らかの極大部分群に包含される。なぜなら、真部分群は包含に関して有限な半順序集合を形成するからである。しかし、プリューファー群のように、極大部分群を含まない無限アーベル群も存在する。

最大正規分布サブグループ

同様に、Gの正規部分群NがGの最大正規部分群（または最大真正規部分群）であるとは、 N < GかつN < K < GとなるGの正規部分群Kが存在しないことを言う。以下の定理が成り立つ。

定理:群Gの正規部分群Nが最大正規部分群となるのは、商G / Nが単純である場合に限ります。

ハッセ図

これらのハッセ図は、対称群S ₄、二面体群D ₄、および巡回群C ₂の3次直冪であるC ₂³の部分群の格子を示しています。最大部分群は、ハッセ図の辺によって群自体（ハッセ図の上）に結び付けられています。

参考文献