最大電力伝達定理

Theorem in electrical engineering

電気工学において、最大電力伝達定理とは、内部抵抗を持つ電源から最大の外部電力を得るためには、負荷の抵抗が出力端子から見た電源の抵抗と等しくなければならないというものです。モーリッツ・フォン・ヤコビは1840年頃に最大電力伝達定理を発表し、「ヤコビの法則」とも呼ばれています。^[1]

この定理は、電源から負荷への電力伝送は最大化されるものの、消費される総電力のうち有効電力の効率は最大化されないという結果をもたらす。負荷抵抗を電源抵抗よりも大きくすると、効率は向上する（電源電力のより高い割合が負荷に伝送されるため）が、負荷電力の大きさは減少する（回路全体の抵抗が増加するため）。 ^[2]負荷抵抗を電源抵抗よりも小さくすると、効率は低下する（電力の大部分が最終的に電源で消費されるため）。総消費電力は増加するものの（総抵抗が低下するため）、負荷で消費される電力は減少する。

この定理は、電源抵抗が与えられた場合、（電力伝送を最大化するために）負荷抵抗をどのように選択するかを述べています。この定理を逆のシナリオに適用するのはよくある誤解です。与えられた負荷抵抗に対して電源抵抗をどのように選択するかについては述べられていません。実際には、電圧源からの電力伝送を最大化する電源抵抗は、負荷抵抗の値に関わらず、 常にゼロ（仮想的な理想電圧源）です。

この定理は、リアクタンスを含む交流回路に拡張することができ、負荷インピーダンスが電源インピーダンスの複素共役に等しいときに最大電力伝送が発生することを述べています。

この定理の数学は、他の物理的相互作用にも適用され、例えば^{[2] [3]などである。}

• 2つの物体間の機械的な衝突、
• 2つのコンデンサ間の電荷の共有、
• 2つのシリンダー間の液体の流れ、
• 2つの媒体の境界における光の透過と反射。

電力伝送と電力効率の最大化

電圧V _Sと抵抗R _Sの電源から抵抗R _Lの負荷に電力を供給するための簡略化されたモデル。

この定理はもともと（特にジュール^{[4]によって）誤解されており、}バッテリーで駆動する電動モーターで構成されるシステムの効率は50%を超えないということを意味していました。インピーダンスが整合している場合、バッテリー内で熱として消費される電力は常にモーターに供給される電力に等しいためです。

1880 年に、この仮定はエジソンかその同僚のフランシス・ロビンス・アプトンによって誤りであることが示され、最大効率は最大電力伝送と同じではないことが分かりました。

最大効率を達成するには、電源（電池または発電機）の抵抗を可能な限りゼロに近づける必要がある（あるいは近づけるべきである）。この新たな知見に基づき、彼らは約90%の効率を達成し、電気モーターが熱機関の実用的な代替手段であることを証明した。

赤い曲線は、負荷の電力を最大値に対して正規化して示しています。濃い青の曲線は効率ηを示しています。

効率ηは、負荷抵抗R _Lによって消費される電力と、電圧源の抵抗R _SとR _Lを含む回路で消費される全電力の比です。

$${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}={\frac {R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }}{R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }+1}}\,.}$$

3 つの特定のケースを考えてみましょう (電圧源には何らかの抵抗が必要であることに注意してください)。

• の場合、負荷抵抗がゼロ（短絡）に近づくと、すべての電力がソースで消費され、短絡では電力が消費されないため、効率は 0% に近づきます。 ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }\to \infty }$ ${\displaystyle \eta \to 0.}$
• の場合、負荷抵抗が電源抵抗に等しいとき、効率は 50% のみとなり、これが最大電力伝送の条件となります。 ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }=1}$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}.}$
• の場合、負荷抵抗が無限大に近づくか、電源抵抗がゼロに近づくと、効率は100%に近づきます。 のとき、インピーダンスブリッジと呼ばれます。 ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }\to 0}$ ${\displaystyle \eta \to 1.}$ ${\displaystyle R_{L}\gg R_{S}}$

インピーダンス整合

関連する概念は、反射なしのインピーダンス整合です。

無線周波数伝送線路やその他の電子機器では、伝送線路での反射を避けるために、ソースインピーダンス（送信機側）を負荷インピーダンス（アンテナなど）に一致させる必要があることがよくあります。

純抵抗回路の微積分に基づく証明

電圧Vとソース抵抗R _Sを持つ電源から抵抗R _Lを持つ負荷に電力を供給する簡略化されたモデルでは、オームの法則により、結果として得られる電流Iは単純にソース電圧を全回路抵抗で割ったものになります。 $${\displaystyle I={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

負荷で消費される電力P _Lは、電流と抵抗の積の2乗です。 $${\displaystyle P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.}$$

この式が最大となるR _Lの値は微分することで計算できますが、分母が 最小となるR _{Lの値を計算する方が簡単です。どちらの場合も結果は同じです。分母を}R _Lに関して微分すると： $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.}$$

最大値または最小値の場合、最初の導関数はゼロなので、 $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1}$$ $${\displaystyle R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.}$$

実際の抵抗回路では、R _SとR _{L は}両方とも正なので、上記の正の符号が正しい解となります。

この解が最小値か最大値かを調べるには、分母式を再度微分します。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.}$$

これは、およびの値が正の場合には常に正であり、次の場合に分母が最小値となり、したがってべき乗が最大値となることを示します。 ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {L} }}$ $${\displaystyle R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.}$$

上記の証明は、電源抵抗が固定であると仮定しています。電源抵抗が可変の場合、負荷に伝達される電力は を減らすことで増加します。例えば、 の 100 ボルト電源は、負荷に 250 ワットの電力を供給します。 を に減らすと、供給される電力は 1000 ワットに増加します。 ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle 10\,\Omega }$ ${\displaystyle R_{\textrm {S}}}$ ${\displaystyle 0\,\Omega }$

これは、最大電力伝送は負荷電圧が電源のテブナン電圧の半分に等しいと解釈することもできることを示していることに注意されたい。^[5]

リアクティブ回路では

電力伝送定理は、電源や負荷が純粋に抵抗性ではない場合にも適用されます。

最大電力定理の改良によれば、電源と負荷の無効成分は大きさが等しく、符号が反対である必要があります。(導出については以下を参照してください。 )

• これは、ソースインピーダンスと負荷インピーダンスが互いの複素共役になる必要があることを意味します。
• 純粋な抵抗回路の場合、 2 つの概念は同一です。

物理的に実現可能なソースと負荷は通常、純粋に抵抗性ではなく、何らかの誘導性または容量性のコンポーネントを持っているため、この定理の実用的な応用は、複素共役インピーダンス整合という名前で実際に存在します。

ソースが完全に誘導性（容量性）である場合、抵抗損失がない完全な容量性（誘導性）負荷は、ソースからエネルギーの 100% を受け取りますが、1/4 サイクル後にそれを送り返します。

結果として生じる回路は、エネルギーが振動し続ける共振LC回路に他なりません。この振動は無効電力と呼ばれます。

力率補正（誘導性リアクタンスを使用して容量性リアクタンスを「バランスさせる」）は、まったく異なる理由で行われますが、本質的には複素共役インピーダンス整合と同じ考え方です。

固定された無効電力源の場合、最大電力定理は、負荷を電源に複素共役一致させることによって、負荷に供給される有効電力 (P) を最大化します。

固定無効負荷の場合、力率補正により、有効電力伝送量を同じに維持しながら、送電線によって伝導される 皮相電力(S) (および不要な電流) を最小限に抑えます。

これは、負荷にリアクタンスを追加して負荷自体のリアクタンスとバランスを取り、無効負荷インピーダンスを抵抗負荷インピーダンスに変更することによって行われます。

証拠

ソースと負荷のインピーダンス図

この図では、交流電力は、位相ベクトルの大きさが電圧（正のピーク電圧）で、固定のソースインピーダンス（ソースはS）を持つ電源から、インピーダンス（負荷はL）を持つ負荷に伝送され、その結果、位相ベクトルの大きさが（正の）電流になります。この大きさは、電源電圧の大きさを回路全体のインピーダンスの大きさで割ることで得られます。 ${\displaystyle |V_{\text{S}}|}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |I|}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |I|}$ $${\displaystyle |I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.}$$

負荷で消費される平均電力は、電流の2乗に負荷インピーダンスの抵抗部分（実部）を乗じた値です。ここで、 と は抵抗（実部）を表し、 と はリアクタンス（虚部）を表します。リアクタンスはそれぞれ、電源インピーダンスと負荷インピーダンスとで表されます。 ${\displaystyle P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{S}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}}}$

与えられた電源、電圧、インピーダンスに対して、この電力式が最大となる負荷インピーダンスの値を決定するには、まず、 の固定された正の値ごとに、分母が 最小となるリアクタンス項の値を求めます。リアクタンスは負の値になる場合もあるため、これは負荷リアクタンスを次のように適応させることで実現できます。 ${\displaystyle V_{\text{S}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{S}},}$ ${\displaystyle Z_{\text{L}},}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle X_{\text{L}}}$ $${\displaystyle (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}}$$ $${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.}$$

これにより、上式は次のように簡約されます。そして、この式を最大化する値を求めることが残ります。この問題は、純粋に抵抗的な場合と同じ形をとり、したがって最大化条件は次のようになります。 $${\displaystyle P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle R_{\text{L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.}$

2つの最大化条件:

• ${\displaystyle R_{\text{L}}=R_{\text{S}}}$
• ${\displaystyle X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}}$

は、ソースインピーダンスの複素共役を表し、次のように簡潔に組み合わせることができます。 ${\displaystyle {}^{*},}$ $${\displaystyle Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.}$$

参照

• 最大電力点追跡

注記

1. トンプソン・フィリップス（2009年5月30日）「ダイナモ・エレクトリック・マシナリー; 電気技術学生のためのマニュアル」BiblioBazaar, LLC, ISBN 978-1-110-35104-6
2. ハリソン, マーク (2013-02-22). 「物理的衝突と最大電力定理：機械​​的状況と電気的状況の類似性」.物理教育. 48 (2): 207– 211. Bibcode :2013PhyEd..48..207H. doi :10.1088/0031-9120/48/2/207. ISSN  0031-9120. S2CID  120330420.
3. Atkin, Keith (2013-08-22). 「エネルギー伝達と再帰的数学関数」.物理教育. 48 (5): 616– 620. Bibcode :2013PhyEd..48..616A. doi :10.1088/0031-9120/48/5/616. ISSN  0031-9120. S2CID  122189586.
4. Magnetics, Triad. 「最大電力定理を理解する」. info.triadmagnetics.com . 2022年6月8日閲覧。
5. 「初心者から上級者までを対象とした電子工学の基礎チュートリアルと復習」。

参考文献

• HW Jackson (1959)『電子回路入門』、Prentice-Hall。

外部リンク

• 共役整合と無反射整合（PDF）は電磁波とアンテナから引用
• スパークトランスミッター。2. パワーの最大化、パート 1。

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