Set theory concept
数学 、特に 集合論 において 、 測定可能な基数 とは、ある種の 大きな基数 である。この概念を定義するために、 基数 、あるいはより一般的には任意の集合に二値 測度 を導入する。基数の場合、それはそのすべての 部分 集合を、それ自体が大きく、 空集合 と を持つ すべての 単体が小さく、小さい集合の 補集合が 大きく、 その逆も成り立つような、大きな集合 と小さな集合への細分として記述できる。大きな集合 よりも少ない集合の 交差 もまた、大きい。 [1] κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } { α } {\displaystyle \{\alpha \}} α ∈ κ {\displaystyle \alpha \in \kappa } κ {\displaystyle \kappa }
二値測度を備えた 無数基数は ZFC から存在が証明できない大きな基数であることが判明した 。 [2]
測定可能な基数の概念は 1930年に スタニスワフ・ウラムによって導入されました。 [3]
意味 正式には、測定可能な基数は、 のべ き集合 上に -加法的で、非自明で、0-1 値の 測度 が存在するような非可算 基数 です。 κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } μ {\displaystyle \mu } κ {\displaystyle \kappa }
ここで、 -加法とは、 任意の-サイズの ペアワイズ分離部分集合の 集合 に対して 、 κ {\displaystyle \kappa } λ < κ {\displaystyle \lambda <\kappa } λ {\displaystyle \lambda } { A β } β < λ {\displaystyle \{A_{\beta }\}_{\beta <\lambda }} A β ⊆ κ {\displaystyle A_{\beta }\subseteq \kappa }
μ ( ⋃ β < λ A β ) = ∑ β < λ μ ( A β ) {\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{\beta <\lambda }A_{\beta }{\Big )}=\sum _{\beta <\lambda }\mu (A_{\beta })} 。 同様に、が可測基数であることと、それが -完全かつ非主 超フィルタ を持つ非可算基数であることは同値である。これは、超フィルタ内の - 個 未満の任意 の集合の交差 も超フィルタ内に存在することを意味する。 κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa }
同様に、 が可測であるとは、それが 宇宙 の 推移的類 への 非自明な 基本埋め込みの 臨界点である場合である。この同値性は ジェローム・ケイスラー と ダナ・スコット によるもので 、 モデル理論の 超冪 構成を用いている 。が 真類 であるため 、超冪を考える際に通常は存在しない技術的な問題に対処する必要があり、これは現在 スコットのトリック と呼ばれている。 κ {\displaystyle \kappa } V {\displaystyle V} M {\displaystyle M} V {\displaystyle V}
プロパティ が非自明な -加法測度を許容する場合、 は 正則で なければならないこと は自明です 。非自明性と - 加法性により、 未満の基数の部分集合はいずれも 測度 0 を持つ必要があり、再び -加法性により、集合全体が 未満の 基数のセットの和集合より少ない数であってはならないことを意味します 。最後に、 の場合、 はあり得ません 。これが当てはまる場合、 長さ の 0-1 シーケンスのコレクションと同一視できます 。シーケンス内の各位置について、その位置に 1 を持つシーケンスのサブセットか、その位置に 0 を持つサブセットのいずれかが、測度 1 を持つ必要があります。 したがって、これらの - 個の測度 1 サブセットの共通部分も測度 1 を持つ必要がありますが、これには 1 つのシーケンスしか含まれないため、測度の非自明性と矛盾します。したがって、 選択公理を仮定すると、 は 強極限基数 である と推論でき、これによりその 到達不能性 の証明が完了します 。 κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } λ < κ {\displaystyle \lambda <\kappa } κ ≤ 2 λ {\displaystyle \kappa \leq 2^{\lambda }} κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } λ {\displaystyle \lambda } κ {\displaystyle \kappa }
ZFC から、 すべての測定可能基数は 到達不可能 （つまり、 非言明基数 、 ラムゼー基数 など）であることが導かれるが、 測定可能基数は 後続基数になり得ることは ZFと整合している。ZF + AD から、 測定可能基数 [ 4] であり、すべての部分集合は 閉非有界 部分集合を含むか、またはそれと素であることが導かれる 。 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}}
ウラムは、非自明な可算加法的な二値測度を許容する 最小の基数は、実際には -加法測度を許容しなければならないことを示した。（もし 測度0 より少ない部分集合の集合があり、その和が である 場合、この集合上の誘導測度は の極小性に対する反例となるだろう 。）そこから、（選択公理を用いて）そのような最小の基数は必ず到達不可能であることを証明できる。 κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa }
が測定可能で、 かつ （の超冪 ）が を満たす 場合、 を満たす の 集合は（実際には測度 1 の集合） において定常です 。特に、 が 式で あり を満たす場合 、 は それを満たし、したがって の定常集合に対して を満たします 。この性質を用いて、 が測定可能よりも弱いほとんどの種類の大きな基数の極限であることを示すことができます。 が 測定可能であることを示す超フィルタまたは測度は には含まれないことに注意してください。 なぜなら、そのような測定可能な最小の基数は、それより下にそのような別の基数を持つ必要があるからです。これは不可能です。 κ {\displaystyle \kappa } p ∈ V κ {\displaystyle p\in V_{\kappa }} M {\displaystyle M} V {\displaystyle V} ψ ( κ , p ) {\displaystyle \psi (\kappa ,p)} α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } V {\displaystyle V} ψ ( α , p ) {\displaystyle \psi (\alpha ,p)} κ {\displaystyle \kappa } ψ {\displaystyle \psi } Π 1 {\displaystyle \Pi _{1}} V {\displaystyle V} ψ ( κ , p ) {\displaystyle \psi (\kappa ,p)} M {\displaystyle M} V {\displaystyle V} ψ ( α , p ) {\displaystyle \psi (\alpha ,p)} α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } M {\displaystyle M}
臨界点 を持つ へ の の 基本埋め込みから始めると、 上の 超フィルタ を として定義できます 。次に、 上の の超冪を取ることで、 へ の 別の基本埋め込みを得ることができます 。ただし、 であることを覚えておくことが重要です。したがって、 強い基数 などの他の種類の大きな基数も測定可能である可能性がありますが、同じ埋め込みは使用されません。強い基数は 測定可能であり、 その下に - 個の測定可能な基数
を持つ ことが示されます。 j 1 {\displaystyle j_{1}} V {\displaystyle V} M 1 {\displaystyle M_{1}} κ {\displaystyle \kappa } U {\displaystyle U} κ {\displaystyle \kappa } { S ⊆ κ ∣ κ ∈ j 1 ( S ) } {\displaystyle \{S\subseteq \kappa \mid \kappa \in j_{1}(S)\}} V {\displaystyle V} U {\displaystyle U} j 2 {\displaystyle j_{2}} V {\displaystyle V} M 2 {\displaystyle M_{2}} j 2 ≠ j 1 {\displaystyle j_{2}\neq j_{1}} κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa }
あらゆる測定可能な基数 は 0- 巨大基数 である。なぜなら 、 つまりから へのあらゆる関数 が に含まれるからである 。したがって、である 。 κ {\displaystyle \kappa } κ M ⊆ M {\displaystyle ^{\kappa }M\subseteq M} κ {\displaystyle \kappa } M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} V κ + 1 ⊆ M {\displaystyle V_{\kappa +1}\subseteq M}
存在の含意 測定可能な基数が存在する場合、 （ 解析階層 に関して ）すべての実数集合は ルベーグ測度 を持つ。 [4] 特に、 測定不可能な 実数集合はであってはならない 。 Σ 2 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}} Σ 2 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}}
実数値測定可能 基数は 、 のべき集合上に -加法的な 確率測度 があり、 それが単体で消えるとき、 実数値で可測と 呼ばれます。実数値で可測な基数は、 ステファン・バナッハ (1930) によって導入されました。バナッハとクラトフスキー (1929) は、 連続体仮説 から、 は 実数値で可測ではないことが示されました。 スタニスワフ・ウラム(1930) は、実数値で可測な基数は弱アクセス不可能 (実際には 弱マホ ) であることを示しました (ウラムの証明の一部については下記を参照) 。すべての可測基数は実数値で可測であり、実数値で可測な基数 が可測なのは、 が より大きい場合かつその場合のみ です。したがって、基数が可測なのは、実数値で可測かつ強アクセス不可能である場合かつその場合のみです。実数値の測定可能な基数がそれ以下で あるのは、 ルベーグ測度 が 実数のすべての集合に 可算に加法拡張される場合に限り、またある空でない集合のべき集合に 原子のない 確率測度が存在する場合に限ります。 κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} κ {\displaystyle \kappa } κ {\displaystyle \kappa } c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}
Solovay (1971) は、ZFC の測定可能基数、ZFC の実数値測定可能基数、および ZF の測定可能基数の存在は 等矛盾しない ことを示しました。
実数値可測基数の弱い到達不可能性 集合 上の外測度を とする 。 基数が ウラム数 である とは、次の条件が満たされるときを言う 。[5] [注 1] μ {\displaystyle \mu } X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha }
μ ( X ) ≤ ∞ {\displaystyle \mu (X)\leq \infty } 、 1
μ ( { x } ) = 0 {\displaystyle \mu (\{x\})=0} すべての に対して 、 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 2
すべて μ 測定可能 であり 、 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 3
は を意味します 。 | X | ≤ α {\displaystyle |X|\leq \alpha } μ ( X ) = 0 {\displaystyle \mu (X)=0}
同様に、 が の互いに素な部分集合の集合である場合 、 がウラム数であるときは、 F {\displaystyle F} X {\displaystyle X} α {\displaystyle \alpha }
μ ( ⋃ F ) < ∞ {\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)<\infty } 、 μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} のために 、 A ∈ F {\displaystyle A\in F} ⋃ G {\displaystyle \textstyle \bigcup G} はあらゆる に対して測定可能 であり 、 μ {\displaystyle \mu } G ⊂ F {\displaystyle G\subset F} は を意味します 。 | F | ≤ α {\displaystyle |F|\leq \alpha } μ ( ⋃ F ) = 0 {\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)=0}
最小の無限基数 ℵ 0 はウラム数である。ウラム数の類は 基数後続 演算に関して閉じている。 [6] 無限基数が 直前の基数 としてウラム数を持つ場合、 が性質( 1 )–( 3 )を 満たすと仮定する 。順序数と基数のフォン ・ノイマンモデル において、 の各 に対して、 単射関数 を選び 、集合を定義する。 β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha } μ {\displaystyle \mu } X = β {\displaystyle X=\beta } x ∈ β {\displaystyle x\in \beta } f x : x → α {\displaystyle f_{x}:x\to \alpha }
U ( b , a ) = { x ∈ β ∣ f x ( b ) = a } {\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta \mid f_{x}(b)=a\}} 。 関数 は単射なので、集合 f x {\displaystyle f_{x}}
{ U ( b , a ) ∣ b ∈ β } {\displaystyle \{U(b,a)\mid b\in \beta \}} 固定 された a ∈ α {\displaystyle a\in \alpha } そして
{ U ( b , a ) ∣ a ∈ α } {\displaystyle \{U(b,a)\mid a\in \alpha \}} 固定 された b ∈ β {\displaystyle b\in \beta } は互いに素である。 の性質（ １ ）により 、集合 μ {\displaystyle \mu }
{ b ∈ β ∣ μ ( U ( b , a ) ) > 0 } {\displaystyle \{b\in \beta \mid \mu (U(b,a))>0\}} は 可算な ので、
| { ( b , a ) ∈ β × α ∣ μ ( U ( b , a ) ) > 0 } | ≤ ℵ 0 ⋅ α {\displaystyle {\big |}\{(b,a)\in \beta \times \alpha \mid \mu (U(b,a))>0\}{\big |}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha } 。 したがって 、 b 0 ∈ β {\displaystyle b_{0}\in \beta }
μ ( U ( b 0 , a ) ) = 0 {\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0} すべてのために 、 a ∈ α {\displaystyle a\in \alpha } これは、 ウラム数であり、2番目の定義を用いると、 α {\displaystyle \alpha }
μ ( ⋃ a ∈ α U ( b 0 , a ) ) = 0 {\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a){\Big )}=0} 。 ならば 、 。 したがって b 0 < x < β {\displaystyle b_{0}<x<\beta } f x ( b 0 ) = a x {\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}} x ∈ U ( b 0 , a x ) {\displaystyle x\in U(b_{0},a_{x})}
β = b 0 ∪ { b 0 } ∪ ⋃ a ∈ α U ( b 0 , a ) {\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)} 。 性質( 1 )により、、であり 、また 、( 3 )、( 1 )および( 2 )により、である 。したがって、が成り立つ 。結論として、は ウラム数である。 μ ( { b 0 } ) = 0 {\displaystyle \mu (\{b_{0}\})=0} | b 0 | ≤ α {\displaystyle |b_{0}|\leq \alpha } μ ( b 0 ) = 0 {\displaystyle \mu (b_{0})=0} μ ( β ) = 0 {\displaystyle \mu (\beta )=0} β {\displaystyle \beta }
同様の証明として、ウラム数集合のウラム数を持つ ものの上限は、やはりウラム数であるという証明 [7] がある。先の証明と合わせると、ウラム数ではない基数は 弱到達不可能で あることがわかる 。 S {\displaystyle S} | S | {\displaystyle |S|}
参照
注記
引用 ^ マディ 1988 ^ ジェック 2002 ^ ウラム 1930 ^ ab T. Jech, "The Brave New World of Determinacy" (PDFダウンロード). Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 5, number 3, November 1981 (pp.339--349). ^ フェデラー 1996、セクション2.1.6 ^ Federer 1996、セクション2.1.6の定理の後半部分。 ^ Federer 1996、セクション2.1.6の定理の最初の部分。
参考文献 Banach、Stefan (1930)、「Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen」、 Fundamenta Mathematicae 、 15 : 97–101 、 doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 、 ISSN 0016-2736 。 ステファン・バナッハ ; Kuratowski、Kazimierz (1929)、「Sur une généralisation du questione de la mesure」、 Fundamenta Mathematicae 、 14 : 127–131 、 doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 、 ISSN 0016-2736 。 ドレイク, FR (1974), 集合論: 大規模基数入門 (論理学と数学の基礎研究; V. 76) , エルゼビア・サイエンス社, ISBN 978-0-7204-2279-5 。 フェデラー, H. (1996) [1969], 幾何学的測度論 , 数学の古典（第1版復刻版）, ベルリン, ハイデルベルク, ニューヨーク: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567 。 ジェック、トーマス （2002）、 集合論、第三千年紀版（改訂・拡張） 、シュプリンガー、 ISBN 3-540-44085-2 。 金森 章弘 (2003)、『 The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings』 (第 2 版)、Springer、 ISBN 3-540-00384-3 。 マディ、ペネロペ （1988）「公理を信じるII」、 記号論理学ジャーナル 、 53 （3）： 736-764 、 doi ：10.2307/2274569、 JSTOR 2274569、 S2CID 16544090 この記事の第 I 部と第 II 部の訂正版は著者の Web ページから入手できます。 Solovay, Robert M. (1971), 「実数値可測基数」, 公理的集合論 (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, California, 1967) , プロビデンス, RI: Amer. Math. Soc., pp. 397– 428, MR 0290961 。 ウラム、スタニスワフ (1930)、「Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre」、 Fundamenta Mathematicae 、 16 : 140–150 、 doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 、 ISSN 0016-2736 。 
