計量テンソル（一般相対性理論）

Tensor that describes the 4D geometry of spacetime

${\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$ 一般相対論における時空の計量テンソルを行列として表すと

一般相対性理論において、計量テンソル（この文脈ではしばしば単に計量と略される）は基本的な研究対象である。計量は時空におけるあらゆる幾何学的・因果的構造を捉えており、時間、距離、体積、曲率、角度、未来と過去の分離といった概念を定義するために用いられる。

一般相対性理論では、計量テンソルは古典重力理論における重力ポテンシャルの役割を果たしているが、関連する方程式の物理的内容は全く異なる。^[1]グートフロイントとレンは「一般相対性理論では重力ポテンシャルは計量テンソルによって表される」と述べている。^[2]

表記法と規則

この記事では、主に正の計量符号（ −++）を使用します。符号規則を参照してください。重力定数は 明示的に示します。この記事では、繰り返しの添え字が自動的に合計されるアインシュタインの和の規則を採用しています ${\displaystyle G}$

意味

数学的には、時空は4次元の微分可能多様体 で表され、計量テンソルは上の共変、2次対称テンソルとして与えられ、慣例的に と表記される。さらに、計量は非退化で、符号は(− + + +)であることが要求される。このような計量を備えた多様体は、ローレンツ多様体の一種である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

明示的に言えば、計量テンソルはの各接空間上の対称双線型形式で、点から点へと滑らかに（または微分可能に）変化する。 の点における2つの接ベクトルとが与えられれば、と上で計量を評価し、実数を与えることができる。これは、通常のユークリッド空間のドット積の一般化である。ドット積が正定値であるユークリッド空間とは異なり、計量は不定値であり、各接空間にミンコフスキー空間の構造を与える。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$

局所座標と行列表現

物理学者は通常、局所座標（つまり、の局所的なパッチ上で定義された座標）で作業します。局所座標（は0から3までの添え字）では、計量は次のように表すことができます。因子は、スカラー座標場 の1形式勾配です。したがって、計量は、座標 の1形式勾配のテンソル積の線形結合です。係数は、16個の実数値関数の集合です（テンソルは、時空多様体のすべての点で定義されるテンソル場であるため）。計量が対称であるためには、10個の独立した係数が必要です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$ ${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$

局所座標が指定されている場合、または文脈から理解されている場合、計量は要素を持つ4 × 4 対称行列として表すことができます。 の非退化性は、この行列が非特異行列である（つまり、ゼロでない行列式を持つ）ことを意味し、 のローレンツシグネチャは、行列が1つの負の固有値と3つの正の固有値を持つことを意味します。物理学者は、この行列または座標自体を計量と呼ぶことがよくあります（ただし、抽象添字表記 を参照）。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

量を無限小座標変位四元ベクトル（上記の同じ表記法の一元形式と混同しないように）の成分とみなすと、計量は無限小線要素の不変二乗を決定する。これはしばしば区間と呼ばれる。区間はしばしば次のように表記される。 ${\displaystyle dx^{\mu }}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

間隔 は時空の因果構造に関する情報を伝えます。 のとき、間隔 は時間に似ており、 の絶対値の平方根は増分固有時間です。質量のある物体は、物理的に時間的な間隔のみを通過できます。 のとき、間隔 は光に似ており、光速で移動する（質量のない）物体のみが通過できます。 のとき、間隔 は空間に似ており、 の平方根は増分固有長さとして機能します。空間的な間隔は、互いの光円錐の外側にあるイベントを接続するため、通過できません。イベントは、互いの光円錐内にある場合にのみ因果関係があります。 ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}<0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

計量成分は局所座標系の選択に依存する。座標系を変更すると、計量成分は次のように変換される。 ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ $${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

性質

計量テンソルは指数操作において重要な役割を果たします。指数表記では、計量テンソルの係数は他のテンソルの共変成分と反変成分を結び付けます。テンソルの反変指数を共変計量テンソルの係数の1つと縮約すると、指数が下がる効果があり 、同様に反変計量係数は指数を上げます。指​​数を上げたり下げたりするこの性質を計量テンソルの成分自体に適用すると、以下の性質が得られます。対角計量（係数、つまり基底ベクトルが互いに直交する計量）の場合、これは計量テンソルの与えられた共変係数が、 対応する反変係数の逆数であることを意味します ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$ $${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$

例

平坦時空

ローレンツ多様体の最も単純な例は平坦時空であり、これは座標と計量を 持つR ⁴として表すことができます。これらの座標は実際にはR ⁴全体をカバーします。平坦空間計量（またはミンコフスキー計量）は、しばしば記号ηで表され、特殊相対論で使用される計量です。上記の座標において、ηの行列表現は（別の慣例により、座標は に置き換えられ、ミンコフスキー空間§標準基底では として定義されます。） ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$ $${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \eta }$

球面座標 では、平坦空間計量は という形式をとります。ここで は2 次元球面上の標準計量です。 ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ $${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$$

ブラックホールメトリクス

シュワルツシルト計量は、電荷を帯びず、回転もしないブラックホールを記述します。回転し、電荷を帯びたブラックホールを記述する計量も存在します。

シュワルツシルト計量

平坦空間計量の他に、一般相対論において最も重要な計量はシュワルツシルト計量です。これは、局所座標の一組で次のように表すことができます 。ここで、再び、は2次元球面上の標準計量です。ここで、は重力定数、は質量の次元を持つ定数です。その導出はここで見つけることができます。シュワルツシルト計量は、がゼロに近づくにつれてミンコフスキー計量に近づきます（原点では未定義ですが）。同様に、が無限大に近づくにつれて、シュワルツシルト計量はミンコフスキー計量に近づきます $${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

座標を用いると、この計量は次のように表される。 $${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$$

シュワルツシルト計量には、エディントン・フィンケルシュタイン座標、グルストランド・パンルヴェ座標、クラスカル・シェケレス座標、ルメートル座標など、他の座標系もいくつか考案されています。

回転する荷電ブラックホール

シュワルツシルト解は、空間内で回転せず、電荷も持たない物体を仮定する。電荷を考慮するには、計量は前述のようにアインシュタイン場の方程式に加え、曲がった時空におけるマクスウェル方程式も満たさなければならない。回転しない荷電質量は、ライスナー・ノルドストローム計量によって記述される。

回転するブラックホールは、カー計量（無荷電）とカー・ニューマン計量（荷電）によって記述される。 ^{[さらなる説明が必要]}

その他の指標

その他の注目すべき指標は次のとおりです

• アルクビエレ指標
• デ・シッター/アンチ・デ・シッターのメトリクス、
• フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量、
• 等方座標、
• ルメートル・トルマン計量、
• ペレスメトリック、
• リンドラー座標、
• ワイル・ルイス・パパペトルー座標、
• ゲーデル計量。

それらのいくつかは事象の地平線が存在せず、あるいは重力特異点が存在しない可能性があります。

体積

計量gは自然な体積形式（符号を除いて）を導き、これを使って多様体の領域上で積分することができます。多様体の局所座標が与えられれば、体積形式は次のように表すことができます 。ここで、は与えられた座標系における計量テンソルの成分の行列の行列式です ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$ ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$

曲率

計量は時空の曲率を完全に決定します。リーマン幾何学の基本定理によれば、任意の半リーマン多様体上には、計量と両立し、ねじれのない唯一の接続∇が存在します。この接続はレヴィ・チヴィタ接続と呼ばれます。この接続のクリストッフェル記号は、局所座標における計量の偏微分を用いて、次の式で 与えられます（カンマは偏微分を示します）。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$

時空の曲率は、レヴィ・チヴィタ接続∇によって定義されるリーマン曲率テンソルによって与えられる。局所座標では、このテンソルは次のように与えられる。 $${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

曲率は、純粋にメトリックとその導関数で表現できます。 ${\displaystyle g}$

アインシュタインの方程式

一般相対性理論の核となる考え方の一つは、計量（およびそれに関連する時空の幾何学）は時空の物質とエネルギーの内容によって決定されるというものです。アインシュタインの場の方程式：ここで、リッチ曲率テンソルとスカラー曲率は、計量（およびそれに関連する曲率テンソル）を応力エネルギーテンソルに関連付けます。このテンソル方程式は、計量成分に関する複雑な非線形偏微分方程式の集合です。アインシュタインの場の方程式の厳密な解を見つけるのは非常に困難です $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$ $${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

参照

• 一般相対性理論の代替
• 一般相対性理論の数学入門
• 一般相対性理論の数学
• リッチ計算

参考文献

1. 詳細については、Chow, Tai L. (2008). Gravity, Black Holes, and the Very Early Universe: An Introduction to General Relativity and Cosmology. Springer. ISBN 2.11節「計量テンソルと古典的重力ポテンシャル」を参照 9780387736310。
2. グートフロイント、ハノッホ、レン、ユルゲン (2015). 『相対性理論への道：アインシュタインの『一般相対性理論の基礎』の歴史と意味、アインシュタインの傑作原稿をフィーチャー』、プリンストン大学出版局、75ページ。ISBN 9780691175812。

• 参考文献リストについては、一般相対性理論のリソースをご覧ください

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