マイクロバンドル

数学において、微小束（みきょうみゅう）はベクトル束の概念を一般化したもので、1964年にアメリカの数学者ジョン・ミルナーによって提唱された。 ^[1]微小束を用いることで、通常は存在しないと考えられるような状況においても、束のような対象を創り出すことができる。例えば、接束は滑らかな多様体に対しては定義されるが、位相的な多様体に対しては定義されない。しかし、微小束を用いることで、位相的な接束を定義できる。

意味

位相空間（「基本空間」）上の（位相的な）-微小束は、三つ組から構成されます。ここで、は位相空間（「全空間」）であり、は連続写像（それぞれ「零断面」と「射影写像」）であり、次のようになります。 $n$ $B$ $(E,i,p)$ $E$ $i:B\to E$ $p:E\to B$

構成はの同一性である。 $p\circ i$ $B$
任意のに対して、の近傍との近傍が存在し、、はに同相であり、写像とはおよびと可換である。 $b\in B$ $U\subseteq B$ $b$ $V\subseteq E$ $i(b)$ $i(U)\subseteq V$ $p(V)\subseteq U$ $V$ $U\times \mathbb {R} ^{n}$ $p_{\mid V}:V\to U$ $i_{\mid U}:U\to V$ $\mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U$ $U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)$

ベクトル束との類似性として、整数はマイクロバンドルの階数またはファイバー次元とも呼ばれます。同様に、最初の条件はベクトル束の零切断と考えることを示唆し、2番目の条件はバンドルの局所自明性条件を模倣していることに注意してください。ここで重要な違いは、マイクロバンドルの「局所自明性」は零切断の近傍付近でのみ成立することです。その近傍から離れると、空間は非常に荒廃する可能性があります。また、マイクロバンドルの局所自明なパッチを繋ぎ合わせる写像は、ファイバーのみと重なり合う可能性があります。 $n\geq 0$ $i$ $E$

マイクロバンドルの定義は、位相空間と連続写像を適切なオブジェクトとモルフィズムに置き換えることで、滑らかなカテゴリよりも一般的な区分線形多様体などの他のカテゴリに適応できます。

例

階数のベクトルバンドルには明らかな基礎となる-microbundleがあり、ここでは 0 セクションです。 $p:E\to B$ $n$ $n$ $i$
任意の位相空間に対して、直積（への射影およびへの写像との組み合わせ）は、階数の標準自明な微分束と呼ばれる -微分束を定義する。これは、階数の自明なベクトル束の基底微分束と同義である。 $B$ $B\times \mathbb {R} ^{n}$ $B$ $x\mapsto (x,0)$ $n$ $n$ $n$
次元の位相多様体を考えると、直積と最初の要素への射影および対角線写像を組み合わせると、の接線微小束と呼ばれる -微小束が定義されます。 $n$ $M\times M$ $\Delta :M\to M\times M$ $n$ $M$
上の-微小束、部分空間、連続写像が与えられると、空間は上の -微小束を定義し、によるプルバック（または誘導）微小束と呼ばれる。これは、射影と零切断との組み合わせで定義される。がベクトル束である場合、その基礎となる微小束のプルバック微小束は、標準のプルバック束の基盤となる微小束と正確に一致する。 $n$ $(E,i,p)$ $B$ $A\subseteq B$ $f:A\to B$ $f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}$ $n$ $A$ $f$ $p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A$ $i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))$ $p:E\to B$
上の-微小束と部分空間が与えられたとき、とも表記される制限微小束は、包含に関する引き戻し微小束です。 $n$ $(E,i,p)$ $B$ $A\subseteq B$ $E_{\mid A}=p^{-1}(A)$ $A\hookrightarrow B$

モルフィズム

同じ空間上の2 つの-微小束とが同型(または同等) であるとは、の近傍との近傍が存在し、さらに射影および零切断と可換な同相写像が存在する場合をいいます。 $n$ $(E_{1},i_{1},p_{1})$ $(E_{2},i_{2},p_{2})$ $B$ $V_{1}\subseteq E_{1}$ $i_{1}(B)$ $V_{2}\subseteq E_{2}$ $i_{2}(B)$ $V_{1}\cong V_{2}$

より一般的には、マイクロバンドル間の射影は、上記のように零セクションの近傍間の連続写像の胚から構成されます。 $V_{1}\to V_{2}$

-微小束は、階数の標準的な自明な微小束と同型である場合に自明と呼ばれます。したがって、微小束の定義における局所自明性条件は、次のように言い換えることができます。任意のに対して、制約が自明となる近傍が存在する。 $n$ $n$ $b\in B$ $U\subseteq B$ $E_{\mid U}$

平行化可能な滑らかな多様体と同様に、位相多様体は、その接線微小束が自明である場合に、位相的に平行化可能であると呼ばれます。

プロパティ

ジェームズ・キスターとバリー・マズールの定理によれば、零切断の近傍は、実際にはファイバーと構造群（原点を固定した同相写像群）を持つファイバー束である。この近傍は同位体を除いて一意である。したがって、あらゆる微小束は本質的に一意な方法で実際のファイバー束に細分化できる。^[2] $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)$ $\mathbb {R} ^{n}$

接線微小束に含まれるファイバー束をとると、位相接線束が得られる。直感的には、この束はの小さなチャートの系をとり、各チャートにチャート内の各点にファイバーを持たせ、これらの自明な束を遷移写像に従ってファイバーを重ね合わせることで得られる。 $(M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )$ $M$ $U$ $U$

マイクロバンドル理論は、ロビオン・カービーとローラン・C・ジーベンマンによる高次元多様体上の滑らかな構造とPL構造に関する研究の不可欠な部分である。^[3]

参考文献

^ ミルナー、ジョン・ウィラード(1964). 「マイクロバンドル I」.トポロジー. 3 : 53–80 . doi :10.1016/0040-9383(64)90005-9. MR 0161346.
^ Kister, James M. (1964). 「マイクロバンドルは繊維束である」. Annals of Mathematics . 80 (1): 190– 199. doi :10.2307/1970498. JSTOR 1970498. MR 0180986.
^ カービー, ロビオン C. ;ジーベンマン, ローラン C. (1977). 位相多様体、平滑化、三角分割に関する基礎論文(PDF) . Annals of Mathematics Studies. 第88巻. プリンストン, ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08191-3. MR 0645390。

ゴールド, デイヴィッド; グリーンウッド, シーナ (2000). 「マイクロバンドル、多様体、そして計量可能性」.アメリカ数学会誌. 128 (9): 2801– 2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . MR 1664358.
スウィッツァー、ロバート・M. (2002).代数的位相幾何学 ― ホモトピーとホモロジー. 数学の古典. ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-42750-6. MR 1886843。第14章を参照してください。

外部リンク

マニフォールドアトラスのマイクロバンドル。

[1] ミルナー、ジョン・ウィラード(1964). 「マイクロバンドル I」.トポロジー. 3 : 53–80 . doi :10.1016/0040-9383(64)90005-9. MR 0161346.

[2] Kister, James M. (1964). 「マイクロバンドルは繊維束である」. Annals of Mathematics . 80 (1): 190– 199. doi :10.2307/1970498. JSTOR 1970498. MR 0180986.

[3] カービー, ロビオン C. ;ジーベンマン, ローラン C. (1977). 位相多様体、平滑化、三角分割に関する基礎論文(PDF) . Annals of Mathematics Studies. 第88巻. プリンストン, ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08191-3. MR 0645390。