最小限の結合

Field theory coupling of charge but not higher moments

解析力学と量子場の理論において、最小結合とは、電荷分布のみを含み、電荷分布の高次多極子モーメントを含まない場間の結合を指す。この最小結合は、例えば電子の磁気モーメントをラグランジアンに直接含めるパウリ結合とは対照的である。^[1]

電気力学

電気力学では、最小結合はすべての電磁相互作用を説明するのに十分である。粒子の高次モーメントは、最小結合と非ゼロスピンの結果である。

電磁場中の非相対論的荷電粒子

デカルト座標では、電磁場における非相対論的古典粒子のラグランジアンは次のようになります（ SI単位系）。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

ここで、 qは粒子の電荷、 φは電気スカラーポテンシャル、A _i、i = 1、2、3は磁気ベクトルポテンシャルの成分であり、すべておよびに明示的に依存する場合があります。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

このラグランジアンはオイラー・ラグランジュ方程式と組み合わされ、ローレンツ力の法則を生み出す。

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

これを最小結合と呼びます。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの値はゲージ変換中に変化し、^[2]ラグランジアン自体も余分な項を取りますが、ラグランジアン内の余分な項はスカラー関数の全時間微分に加算されるため、同じオイラー-ラグランジュ方程式が生成されます。

正準運動量は次のように与えられる。

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

正準運動量はゲージ不変ではなく、物理的に測定できないことに注意する。しかし、運動量

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

ゲージ不変であり、物理的に測定可能である。

したがって、ラグランジアンに対するルジャンドル変換としてのハミルトニアンは

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

この方程式は量子力学で頻繁に使用されます。

ゲージ変換のもとで、

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

ここで、f ( r , t ) は空間と時間の任意のスカラー関数であり、前述のラグランジアン、正準運動量、ハミルトニアン変換は次のように表される。

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

それでも同じハミルトン方程式が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

量子力学では、波動関数はゲージ変換中に局所 U(1)群変換^[3]を受けるため、すべての物理的結果は局所U(1)変換に対して不変でなければならないことを意味する。

電磁場中の相対論的荷電粒子

粒子（静止質量mおよび電荷q ）の相対論的ラグランジアンは次のように与えられます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

したがって、粒子の標準運動量は

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

つまり、運動量と位置運動量の合計です。

速度を解くと、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

つまりハミルトニアンは

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

この結果、力の方程式（オイラー・ラグランジュ方程式に相当） が得られる。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

そこから導き出される

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

上記の導出ではベクトル計算の恒等式を利用しています。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

相対論的（運動）運動量の関数としてのハミルトニアンに対する同等の表現は、P = γm ẋ ( t ) = p - q Aであり、

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

この方法の利点は、運動量Pは実験的に測定できるのに対し、正準運動量pは測定できないことです。ハミルトニアン（全エネルギー）は、相対論的エネルギー（運動エネルギー＋静止エネルギー）E = γmc ²と位置エネルギーV = eφの合計として考えることができることに注意してください。

インフレーション

宇宙論的インフレーションの研究では、スカラー場の最小結合は通常、重力との最小結合を指します。これは、インフレーション場への作用が スカラー曲率と結合していないことを意味します。インフレーション場と重力との唯一の結合は、計量 （プランク単位系）から構成されるローレンツ不変測度との結合です。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

ここで、ゲージ共変微分を利用する。 ${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$

参考文献

1. 「最小カップリング - 概要 | ScienceDirect Topics」www.sciencedirect.com . 2023年1月31日閲覧。
2. スレドニツキ, マーク (2007年1月). 量子場理論. doi :10.1017/cbo9780511813917. ISBN 9780511813917. 2020年5月8日閲覧。 {{cite book}}:|website=無視されました (ヘルプ)
3. ジーン・ジャスティン、ジーン;グイダ、リッカルド (2008-12-04)。 「ゲージ不変性」。スカラーペディア。3 (12): 8287。書誌コード:2008SchpJ...3.8287Z。土井：10.4249/scholarpedia.8287。ISSN  1941-6016。

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