最小モデル（物理学）

Family of solved 2D conformal field theories

理論物理学において、極小モデルまたはヴィラソロ極小モデルは、そのスペクトルがヴィラソロ代数の有限個の既約表現から構成される2次元共形場理論である。極小モデルは分類されており、 ADE分類が成立している。^{[1]ほとんどの極小モデルは解かれており、すなわち、その3点構造定数は解析的に計算されている。極小モデルという用語は}、W代数など、ヴィラソロ代数よりも大きな代数に基づく有理CFTを指すこともある。

ヴィラソロ代数の関連表現

表現

極小モデルでは、ヴィラソロ代数の中心電荷は次のような値を取る。

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .}$

ここで は互いに素な整数であり、 となる。すると、退化表現の共形次元は ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q\geq 2}$

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,}$

そして彼らはアイデンティティに従う

${\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .}$

極小モデルのスペクトルは、ヴィラソロ代数の既約で退化した最低重み表現から構成され、その共形次元は次のような型である。 ${\displaystyle h_{r,s}}$

${\displaystyle 1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .}$

このような表現は、無限個の非自明な部分加群によるヴェルマ加群の剰余類である。それがユニタリとなるのは、 のときのみである。与えられた中心電荷に対して、このタイプの表現が複数存在する。これらの表現、あるいはそれらの共形次元の集合は、パラメータ を持つカック表と呼ばれる。カック表は通常、大きさ の長方形として描かれ、関係 により各表現は2回現れる。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$ ${\displaystyle |p-q|=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q-1)\times (p-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .}$

融合ルール

多重退化表現の融合規則は、そのすべてのヌルベクトルから制約を符号化する。したがって、これらの融合規則は、個々のヌルベクトルから制約を符号化する単純退化表現の融合規則から演繹することができる。^[2]明示的には、融合規則は以下の通りである 。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,}$

合計は 2 ずつ増加します。

分類とスペクトル

極小モデルは、任意のリーマン面上で無矛盾な唯一の2次元CFTであり、ヴィラソロ代数の有限個の表現から構築されます。^[2]球面上でのみ無矛盾な有理CFTは他にも多数存在します。これらのCFTは極小モデルのサブモデルであり、融合に関して閉じたカック表のサブセットから構築されます。このようなサブモデルは分類も可能です。^[3]

Aシリーズの最小モデル：対角線ケース

となる互いに素な整数に対して、そのスペクトルに Kac 表の各異なる表現の 1 つのコピーが含まれる対角極小モデルが存在する。 ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

とモデルは同じです。 ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q,p)}$

2 つのフィールドの OPE には、対応する表現の融合規則によって許可されるすべてのフィールドが含まれます。

Dシリーズの最小モデル

中心電荷を持つD級数極小モデルは、またはが偶数で少なくとも であるとき存在する。対称性を用いて、 が偶数であると仮定すると、は奇数となる。スペクトルは ${\displaystyle c_{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

ここで、 の和は2ずつ増加します。任意のスペクトルにおいて、各表現の多重度は1です。ただし、のタイプの表現は多重度が2です。これらの表現は、スペクトルの式の両方の項に実際に現れます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$ ${\displaystyle q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4}$

2つの体のOPEは、対応する表現の融合規則によって許可され、対角性の保存を尊重するすべての体を含みます。1つの対角体と1つの非対角体のOPEは非対角体のみを生成し、同じタイプの2つの体のOPEは対角体のみを生成します。^[4] この規則では、表現の1つのコピーは対角体としてカウントされ、もう1つのコピーは非対角体としてカウントされます。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$

Eシリーズミニマルモデル

E級数極小モデルには3つの級数があります。各級数は、と互いに素である任意の の与えられた値に対して存在します。（これは実際には を意味します。） という表記を用いると、スペクトルは次のようになります。 ${\displaystyle q\in \{12,18,30\},}$ ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .}$

例

以下のAシリーズの最小モデルは、よく知られた物理システムに関連している：^[2]

• ${\displaystyle (p,q)=(3,2)}$ : 自明なCFT、
• ${\displaystyle (p,q)=(5,2)}$ : ヤン・リーエッジ特異点、
• ${\displaystyle (p,q)=(4,3)}$ :臨界イジングモデル、
• ${\displaystyle (p,q)=(5,4)}$ : 三重臨界イジングモデル、
• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$ : 四重臨界イジングモデル。

次の D シリーズ最小モデルは、よく知られた物理システムに関連しています。

• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$:臨界状態における 3状態ポッツモデル、
• ${\displaystyle (p,q)=(7,6)}$ : 三臨界3状態ポッツモデル。

これらのモデルの Kac 表は、 を含む他のいくつかの Kac 表と合わせて次のようになります。 ${\displaystyle 2\leq q\leq 6}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}}$

極小モデルの解

極小モデルの 3 点構造定数は、シリーズに応じて異なる形をとります。

• Aシリーズの極小モデルについては、1980年代にクーロン気体技術を用いてガンマ関数を用いた表現が得られました。 ^[5]
• Dシリーズ極小モデルについては、融合行列を用いた表現が知られている。^[4]
• となるE系列極小モデルについては、二重ガンマ関数を用いた表現が知られている。^[6] A系列とD系列の構造定数も同じ特殊関数を用いて書き直すことができる。^[7] ${\displaystyle q=12}$

関連する共形場理論

剰余類実現

インデックス付きAシリーズ最小モデルは、WZWモデルの次の剰余類と一致する：^[2] ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle {\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .}$

と仮定すると、レベルが整数となるのは、すなわち、最小モデルがユニタリとなる場合のみです。 ${\displaystyle p>q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p=q+1}$

対角的か否かに関わらず、WZWモデルの剰余類として、特定の極小モデルの他の実現も存在するが、必ずしも群に基づいているわけではない。^[2] ${\displaystyle SU(2)}$

一般化極小モデル

任意の中心電荷に対して、そのスペクトルがすべての退化した表現から構成される対角CFTが存在する。 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

中心電荷が に近づくとき、一般化極小モデルは対応するAシリーズ極小モデルに近づく。^[8]これは特に、Kac表にない退化した表現が分離することを意味する。 ${\displaystyle c_{p,q}}$

リウヴィル理論

リウヴィル理論は、場が退化しているとみなされると一般化された極小モデルに簡約されるため、 ^[8]中心電荷が に送られると、Aシリーズ極小モデルにさらに簡約されます。 ${\displaystyle c_{p,q}}$

さらに、Aシリーズの極小モデルは、連続スペクトルを持つ対角CFTとして明確に定義された極限を持ち、これはルンケル・ワッツ理論と呼ばれ、 ^[9]のときのリウヴィル理論の極限と一致します。^[10] ${\displaystyle c\to 1}$ ${\displaystyle c\to 1^{+}}$

最小モデルの積

2つの極小モデルの積である極小モデルには3つのケースがある。^[11]スペクトルレベルでは、関係は次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .}$

極小モデルのフェルミオン拡張

ならば、A系列とD系列の極小モデルはそれぞれフェルミオン的拡張を持つ。これら2つのフェルミオン的拡張は半整数スピンを持つ場を含み、パリティシフト操作によって互いに関連している。^[12] ${\displaystyle q\equiv 0{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$

参考文献

1. A. Cappelli, JB. Zuber, 「ADEによる共形場理論の分類」、Scholarpedia
2. P. Di Francesco、P. Mathieu、および D. Sénéchal、共形場の理論、1997、ISBN 0-387-94785-X
3. ベネデッティ、ヴァレンティン；カシーニ、オラシオ；マガン、ハビエル・M. (2024). 「極小モデルのRGフローの選択規則」arXiv : 2412.16587 [hep-th].
4. Runkel, Ingo (2000). 「DシリーズVirasoro極小模型の構造定数」. Nuclear Physics B. 579 ( 3). Elsevier BV: 561– 589. arXiv : hep-th/9908046 . Bibcode :2000NuPhB.579..561R. doi : 10.1016/s0550-3213(99)00707-5 . ISSN  0550-3213.
5. Dotsenko, Vl.S.; Fateev, VA (1985). 「中心電荷C≤1を持つ2次元共形不変理論における4点相関関数と作用素代数」Nuclear Physics B . 251 : 691–734 . doi :10.1016/S0550-3213(85)80004-3.
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