混合ホッジ構造

Algebraic structure

代数幾何学において、混合ホッジ構造（みんかホッジせいぞう）は、一般代数多様体のコホモロジーに関する情報を含む代数構造である。これはホッジ構造の一般化であり、滑らかな射影多様体の研究に用いられる。

混合ホッジ理論では、コホモロジー群の分解が異なる重みの部分空間を持つ場合があり、つまりホッジ構造の直和として ${\displaystyle H^{k}(X)}$

${\displaystyle H^{k}(X)=\bigoplus _{i}(H_{i},F_{i}^{\bullet })}$

ここで、各ホッジ構造の重みは である。このような構造が存在するはずであるという初期の手がかりの一つは、滑らかな射影多様体のペアに関連する長完全列から得られる。この列は、（ に対する）コホモロジー群がとの両方から異なる重みを持つはずであることを示唆している。 ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \dots \to H^{i-1}(Y)\to H_{c}^{i}(U)\to H^{i}(X)\to \dots }$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle H_{c}^{i}(U)}$ ${\displaystyle U=X-Y}$ ${\displaystyle H^{i-1}(Y)}$ ${\displaystyle H^{i}(X)}$

モチベーション

もともとホッジ構造は、滑らかな 射影 代数多様体のコホモロジー群上の抽象ホッジ分解を追跡するためのツールとして導入されました。これらの構造は、トレリの定理、アーベル多様体、滑らかな射影多様体のコホモロジーなど、代数曲線を研究するための新しいツールを幾何学者に提供しました。ホッジ構造を計算するための主要な結果の1つは、グリフィスの留数定理を通してヤコビイデアルと滑らかな射影超曲面のホッジ分解との関係を使用して、滑らかな超曲面のコホモロジー群を明示的に分解することです。この言語を滑らかな非射影多様体と特異多様体に移植するには、混合ホッジ構造の概念が必要です。

意味

混合ホッジ構造^[1]（MHS）は、 ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

1. ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$は有限型の -加群である ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle W_{\bullet }}$増加する濾過、​ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \cdots \subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \cdots }$
3. ${\displaystyle F^{\bullet }}$は減少する濾過であり、 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset \cdots }$

等級分けされたピースの誘導濾過 ${\displaystyle F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Gr}}_{k}^{W}H_{\mathbb {Q} }={\frac {W_{k}H_{\mathbb {Q} }}{W_{k-1}H_{\mathbb {Q} }}}}$

は、重さ の純粋なホッジ構造です。 ${\displaystyle k}$

濾過に関するコメント

ホッジ構造と同様に、混合ホッジ構造では直和分解ではなくフィルトレーションが用いられることに注意してください。これは、反正則項を持つコホモロジー群（ただし ）は正則的に変化しないためです。しかし、フィルトレーションは正則的に変化し、より明確な構造が得られます。 ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle q>0}$

混合ホッジ構造の射影

混合ホッジ構造の射影はアーベル群の写像によって定義される

${\displaystyle f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

そういう

${\displaystyle f(W_{l})\subset W'_{l}}$

そして、 -ベクトル空間の誘導写像は次の性質を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}}$

さらなる定義と特性

ホッジ数

MHSのホッジ数は次元として定義される。

${\displaystyle h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$

は重みホッジ構造であり、 ${\displaystyle {\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle (p+q)}$

${\displaystyle {\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}}$

は重みホッジ構造の -成分です。 ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+q)}$

ホモロジー特性

混合ホッジ構造のアーベル圏^[2]が存在し、これはコホモロジー次数が より大きいときはいつでも 群が消滅する。つまり、混合ホッジ構造が与えられたとき、群 ${\displaystyle {\text{Ext}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0}$

[ ^{2] 83ページ}。 ${\displaystyle p\geq 2}$

二重濾過複合体上の混合ホッジ構造

多くの混合ホッジ構造は、二重フィルター複体から構成できます。これには、正規交差多様体の補集合によって定義される滑らかな多様体の補集合が含まれます。アーベル群の層 の複体とその複体のフィルター^[1]が与えられた場合、 ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(W_{i}A^{\bullet })&\subset W_{i}A^{\bullet }\\d(F^{i}A^{\bullet })&\subset F^{i}A^{\bullet }\end{aligned}}}$

超ホモロジー群には誘導混合ホッジ構造が存在する

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,A^{\bullet }),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

二重濾過複合体から得られる。このような二重濾過複合体は混合ホッジ複合体と呼ばれる。^{[1] : 23} ${\displaystyle (A^{\bullet },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

対数複素数

が正規交差因子である（つまり成分のすべての交点は完全交点である） 滑らかな多様体を考えると、対数ド・ラーム複体には次式で与えられる濾過が存在する。 ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle D=X-U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

これらのフィルタリングにより、対数複体上で定義された混合ホッジ複体から、コホモロジー群上に自然な混合ホッジ構造が定義されることがわかります。 ${\displaystyle H^{n}(U,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

滑らかなコンパクト化

上記の対数複体の構成は、あらゆる滑らかな多様体に拡張され、混合ホッジ構造はそのような任意のコンパクト化の下で同型である。滑らかな多様体の滑らかなコンパクト化は、 滑らかな多様体と、が正規交差因子となるような埋め込みとして定義される点に注意されたい。つまり、境界因子を持つコンパクト化が与えられた場合、混合ホッジ構造の同型が存在する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle D=X-U}$ ${\displaystyle U\subset X,X'}$ ${\displaystyle D=X-U,{\text{ }}D'=X'-U}$

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)),W_{\bullet },F^{\bullet })\cong (\mathbb {H} ^{k}(X',\Omega _{X'}^{\bullet }(\log D')),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

混合ホッジ構造は滑らかなコンパクト化に対して不変であることを示す。^[2]

例

例えば、種数平面曲線上の対数コホモロジーと、その正規交差因子は^、複素数の項が ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}\xrightarrow {d} \Omega _{C}^{1}(\log D)}$

はどちらも非巡回的である。すると、ハイパーコホモロジーは

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})\xrightarrow {d} \Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}(\log D))}$

最初のベクトル空間は定数セクションなので、微分は零写像である。2つ目は、ベクトル空間が

${\displaystyle \mathbb {C} \cdot {\frac {dx}{x-p_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} {\frac {dx}{x-p_{k-1}}}}$

次に、重み混合ホッジ構造を持ち、重み混合ホッジ構造を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{0}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ ${\displaystyle 0}$

例

滑らかな射影多様体の閉部分多様体による補集合

次元の滑らかな射影多様体と閉部分多様体が与えられたとき、コホモロジーには長い完全列が存在する^{[4] pg7-8} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots }$

特徴的な三角形から来る

${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]} }$

構成可能層の。もう一つの長完全列が存在する。

${\displaystyle \cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots }$

特徴的な三角形から

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]} }$

が滑らかな場合は常に、ホモロジー群はボレル・ムーアホモロジーと呼ばれ、これは一般空間のコホモロジー の双対であり、テイト構造による平均テンソル化は重みフィルタリングに重みを追加することに注意されたい。ヴェルディエ双対性はを意味し、が滑らかな場合は常にを意味するため、滑らかさの仮説が必要である。また、 の双対化複体は重み を持つため、 となる。また、への写像を持つためには、ボレル・ムーアホモロジーからの写像を重み までねじる必要がある。また、完全双対性ペアリングが存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{k}^{BM}(X)}$ ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)^{\otimes n}}$ ${\displaystyle -2n}$ ${\displaystyle i^{!}D_{X}=D_{Y}}$ ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)}$ ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle H^{m}(X)}$

${\displaystyle H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z} }$

2つのグループの同型性を与えます。

代数的トーラス

1次元代数トーラスは多様体 と同型であり、したがってそのコホモロジー群は と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

長い正確なシーケンスは次のようになります

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{2}^{BM}(Y)(-1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{1}^{BM}(Y)(-1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\end{matrix}}}$

となので、これは正確な順序を与える。 ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0}$

混合ホッジ構造の明確に定義された写像には重みのねじれが存在するので、同型性が存在する。

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)}$

四次K3曲面から種数3の曲線を引いたもの

4次K3曲面 と、の一般切断の消失軌跡で定義される種数3の曲線が与えられると、それは種数3の次平面曲線と同型となる。すると、ギシン数列は長完全数列を与える。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:C\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to }$

しかし、写像が 型のホッジ類から 型のホッジ類になることは結果である。^[5] K3曲面と曲線の両方のホッジ構造はよく知られており、ヤコビアンイデアルを用いて計算することができる。曲線の場合、2つの零写像が存在する。 ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+1,q+1)}$

${\displaystyle \gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0}$ ${\displaystyle \gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0}$

したがって、重みは1個分です。次元は ですが、Leftschetzクラスはマップによって消去されます。 ${\displaystyle H^{2}(U)}$ ${\displaystyle H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L} }$ ${\displaystyle 22}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$

${\displaystyle \gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)}$

のクラスをのクラスに送る。すると、原始コホモロジー群はの重み2の部分となる。したがって、 ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle H^{0}(C)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)}$ ${\displaystyle H_{\text{prim}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle H^{2}(U)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}}$

これらの段階的部分に対する誘導濾過は、各コホモロジー群から生じるホッジ濾過です。

参照

• 動機（代数幾何学）
• ヤコビアンイデアル
• ミルナーファイバー
• 混合ホッジモジュール

参考文献

1. フィリピン人、サラ・アンジェラ;ルダット、ヘルゲ。アラン・トンプソン (2015)。 「ホッジ構造の紹介」。カラビ・ヤウの品種: 算術、幾何学、物理学。フィールズ研究所のモノグラフ。 Vol. 34. ページ 83–130 . arXiv : 1412.8499。土井：10.1007/978-1-4939-2830-9_4。ISBN 978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589。
2. Peters, C. (Chris) (2008).混合ホッジ構造. Steenbrink, JHM ベルリン: Springer. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC  233973725。
3. ベズーの定理を使用していることに注意してください。これは超平面との交差の補集合として与えることができるためです。
4. Corti, Alessandro. 「混合ホッジ理論入門：LSGNTへの講義」（PDF） . 2020年8月12日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
5. グリフィス、シュミット (1975). ホッジ理論の最近の発展：手法と結果に関する議論. オックスフォード大学出版局. pp.  31– 127.

• フィリッピーニ, サラ・アンジェラ; ラダット, ヘルゲ; トンプソン, アラン (2015). 「ホッジ構造入門」.カラビ・ヤウ多様体：算術、幾何学、物理学. フィールズ研究所モノグラフ. 第34巻. pp.  83– 130. arXiv : 1412.8499 . doi :10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN 978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589。

例

• 混合ホッジ理論への素朴なガイド
• 極限混合ホッジ構造入門
• 正規交差特異点のみを持つ射影多様体に対するドリーニュの混合ホッジ構造

鏡面対称

• 局所Bモデルと混合ホッジ構造

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